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（人教版）七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.3 实际问题与二元一次方程组（二）
★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
★2、找等量关系的方法：
（1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等；
（2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
（3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
（4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
★1、球赛积分问题：
①胜场数+平场数+负场数=总场数；
②胜场积分+平场积分+负场积分=总积分.
★2、银行利率问题：
①利息=本金×利率×时间 ；②本息和=本金＋利息
题型突破·典例精析
【例题1】（2023春 木兰县期末）足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 场．
解题技巧提炼 球赛积分问题等量关系式： 胜局场数+平局场数+负局场数=总场数． 胜局积分+平局积分+负局积分=总积分．
【变式1-1】（2023秋 市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（ ）
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
【变式1-2】（2022春 大荔县期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠!某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1-3】（2022 新城区校级二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【变式1-4】（2024春 长沙期中）“篮球赛场见真章，明德学子展风采”．第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜1场得2分，负1场得1分．小组积分赛中，每个队伍要进行24场比赛．
（1）“卧龙队”胜了16场，负了 场，积分是 分．
（2）“雄鹰队”总积分为43分，那么“雄鹰队”胜负场数分别是多少？
【变式1-5】（2022春 思明区校级期中）某次篮球联赛积分榜如表所示：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 9 5 23
远大 14 7 7 21
恒大 14 4 10 18
蓝天 14 0 14 14
（1）通过观察积分表，填空：
胜一场得 分，负一场得 分．
（2）雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．
（3）联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．
【例题2】（2023春 麻阳县校级期中）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．540 B．630 C．210 D．102
解题技巧提炼 利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解．
【变式2-1】（2023秋 泰山区期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝8cm，BC＝12cm，则阴影部分图形的总面积为（ ）cm2．
A．27 B．29 C．34 D．36
【变式2-2】（2023秋 莲池区期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm
【变式2-4】（2023秋 平阴县期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ）
A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2
【变式2-3】（2022 苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【变式2-5】（2024春 长兴县月考）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
（1）若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【例题3】（2022秋 城阳区期末）某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）吨，
A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23
解题技巧提炼 增长率（下降率）或百分比问题等量关系式： （1）增长率问题：原有量×（1+增长率）=增长后的量． （2）下降率问题：原有量×（1－下降率）=下降后的量．
【变式3-1】（2023春 广平县校级月考）某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ）
A．300万元，210万元 B．300万元，200万元
C．400万元，300万元 D．410万元，310万元
【变式3-2】（2023秋 汝州市期末）某水果种植基地，去年的利润（收入﹣支出）为500万元，估计今年的利润为980万元，并且今年的收入比去年增加了15%，支出比去年减少了10%，求：去年的收入与支出各是多少万元？
【变式3-3】（2022秋 渠县校级期末）随着国家“亿万青少年学生阳光体育运动”活动的启动，某区各所中小学也开创了体育运动的一个新局面．你看某校七年级（1）、（2）两个班共有100人，在两个多月的长跑活动之后，学校对这两个班的体能进行了测试，大家惊喜的发现（1）班的合格率为96%，（2）班的合格率为90%，而两个班的总合格率为93%，求七年级（1）、（2）两班的人数各是多少？
【变式3-4】（2024 合肥模拟）某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
【变式3-5】（2023秋 大余县期末）面对“新冠疫情”，甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动．已知甲公司有20人，乙公司有30人，第一次甲公司平均每人捐款比乙公司多100元，甲、乙两公司第一次共捐款8000元．
（1）求第一次甲公司、乙公司平均每人捐款分别为多少元？
（2）为了进一步支持抗击“新冠疫情”，甲、乙两公司全体员工进行了第二次捐款活动，甲公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了30%，乙公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了元；结果甲、乙两公司第二次捐款总额比第一次捐款总额多3000元，求m的值．
【例题4】（2022春 滨州期末）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄
是（ ）
A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．30岁
解题技巧提炼 二元一次方程组解决年龄问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变．年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用，解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键.
【变式4-1】今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022春 封丘县月考）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【变式4-3】（2021 无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？
【变式4-4】（2022秋 汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？
【变式4-5】（2022 南陵县自主招生）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【例题5】（2022春 利津县期末）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的．问这两个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人，依题意可得（ ）
A． B．
C． D．
解题技巧提炼 分配问题即分配前后总量不变，分配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析分配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
【变式5-1】（2023秋 香坊区校级期中）某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，则原来乙组的人数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式5-2】某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为 ．
【变式5-3】某校师生共100人到两个车间参加劳动，到第一车间的人数比到第二车间的人数两倍少8人，到两个车间的人数分别 ．
【变式5-4】某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的．问这两个车间各有多少人？
【变式5-5】定安县服装厂第二车间的人数比第一车间的人数的2倍少10人．如果从第二车间调5人到第一车间后，两个车间的人数一样多．问这两个车间各有多少人？
【例题6】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了20元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了38元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
解题技巧提炼 列二元一次方程组解分段计费问题，常见的等量关系有：总收费=标准内收费＋标准外收费，解题的关键是弄清某次收费包含哪几段费用.
【变式6-1】（2023春 兴宾区期末）某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．
甲说：“我乘出租车走了10千米，付车费21.2元．”
乙说：“我乘出租车走了14千米，付车费27.6元．”
问：（1）出租车起步价是多少元？超过3千米的部分每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车走了5.5千米，应付车费多少元？
【变式6-2】（2023春 肥城市期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过15吨（含15吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过15吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）小明家3月份用水25吨，他家应交水费多少元？
【变式6-3】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
月份 用水量/m3 水费/元
4 16 50
5 20 70
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为多少m3．
【变式6-4】（2023秋 锦州期末）锦州某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克时，超出的部分按每千克计费（不足1千克的均按1千克收费）、小亮分别寄快递到北京和重庆，快递的收费标准及小亮邮寄物品的重量和付费金额如表1和表2：
表1：快递的收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
北京 12 b
重庆 14 b+4
表2：小亮邮寄物品的重量和付费金额
目的地 物品的重量（千克） 付费金额（元）
北京 2 a﹣5
重庆 3 a+7
（1）求a，b的值；
（2）按照此收费标准，小明从锦州分别寄5千克的物品到北京，7千克的物品到重庆共需付费多少元．
【变式6-5】（2022秋 宣州区期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）
阶梯 电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度）
一档 0＜x≤180 a
二档 180＜x≤400 b
三档 x＞400 0.95
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．
【例题7】（2021秋 郫都区校级月考）某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税），则两种储蓄的存款分别为（ ）
A．400元，600元 B．500元，500元
C．300元，700元 D．800元，200元
解题技巧提炼 银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）；
③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
【变式7-1】某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 万元．
【变式7-2】有甲乙两种债券，年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？
【变式7-3】小韩家以两种储蓄方法分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息税后可得利息43.92元；如果这两笔钱的两种储蓄方法交换一下，一年后全部取出，扣除利息税后，只能得到利息33.84元．已知利息税为20%，问当时这两种储蓄的年利率各是多少？
【变式7-4】小李和小马两人共存款1000元，小李存款时的年利率是2.5%，小马存款时的年利率是2.7%，若不考虑得利息税，一年后银行支付给他们的利息一共是26.2元，问小李和小马各存款多少元？
【变式7-5】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？
【例题8】（2023春 淅川县期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）分别求每个水瓶和每个水杯的钱数．
（2）王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数．
解题技巧提炼 解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题．
【变式8-1】（2023秋 平远县期末）梅州金柚，声名远播，今年又是一个丰收年．某经销商为了打开销路，对1000个金柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．当销售总收入为7280元时．
（1）若这批金柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋？
（2）若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装送人，其余纸盒装全部售出，求b的值．
【变式8-2】（2022秋 南关区校级月考）根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．
【变式8-3】（2024 肇源县开学）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题：
区票价成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价8折优惠（10张及以上） 咱们一行9人，购票需要多少元？
我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．
（1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
（2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？若省钱省多少？若不省钱，多花多少？
【变式8-4】（2023秋 东至县期末）某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）
商品 价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？
【变式8-5】（2022春 南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 100元 80元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：
（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【例题9】（2023秋 修水县期末）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
（2）若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案．
解题技巧提炼 解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案．
【变式9-1】（2023 南江县一模）某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
（1）若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你设计出商场的进货方案；
（2）商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？
【变式9-2】（2024春 福清市期中）福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？
【变式9-3】小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决下列问题．
（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？
【变式9-4】5（2023春 涪城区期末）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
【变式9-5】（2024春 海门区期中）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
运载量（箱/辆） 20 30 40
运费（元/辆） 300 400 450
（1）全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车 辆；
（2）若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5100元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并写出最少运费．中小学教育资源及组卷应用平台
（人教版）七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.3 实际问题与二元一次方程组（二）
★1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
★2、找等量关系的方法：
（1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有:“比”“是”“等于”等；
（2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
（3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
（4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
★3、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
★1、球赛积分问题：
①胜场数+平场数+负场数=总场数；
②胜场积分+平场积分+负场积分=总积分.
★2、银行利率问题：
①利息=本金×利率×时间 ；②本息和=本金＋利息
题型突破·典例精析
【例题1】（2023春 木兰县期末）足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 场．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可．
【解答】解：设这支球队胜了x场，平了y场，则
，
解得 ，
所以球队胜了9场．
故答案为9．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
解题技巧提炼 球赛积分问题等量关系式： 胜局场数+平局场数+负局场数=总场数． 胜局积分+平局积分+负局积分=总积分．
【变式1-1】（2023秋 市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（ ）
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
【分析】设小明做对的题为x道，做错的题为y道，由题意：做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小明做对的题为x道，做错的题为y道，
根据题意得：，
解得：，
即他做对的题为19道，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-2】（2022春 大荔县期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠!某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设该班获胜的场数为x场，平场为y场，由题意：某班开局11场保持不败，积23分，胜一场得3分，平一场得1分，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该班获胜的场数为x场，平场为y场，
由题意得：，
解得：，
即该班获胜的场数为6场，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-3】（2022 新城区校级二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【分析】设该队获胜x场，平y场，利用总积分＝3×获胜场次数+1×平的场次数，结合“该队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该队获胜x场，平y场，
依题意得：，
解得：．
答：该队获胜7场．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式1-4】（2024春 长沙期中）“篮球赛场见真章，明德学子展风采”．第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜1场得2分，负1场得1分．小组积分赛中，每个队伍要进行24场比赛．
（1）“卧龙队”胜了16场，负了 场，积分是 分．
（2）“雄鹰队”总积分为43分，那么“雄鹰队”胜负场数分别是多少？
【分析】（1）由题意知“卧龙队”负了24﹣16＝8（场），而16×2+8×1＝40（分），故“卧龙队”积分为40分；
（2）设“雄鹰队”胜了x场，负了y场，可得：，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵每个队伍要进行24场比赛，
∴“卧龙队”胜了16场，负了24﹣16＝8（场），
∵16×2+8×1＝40（分），
∴“卧龙队”积分为40分；
故答案为：8，40；
（2）设“雄鹰队”胜了x场，负了y场，
由题意可得：，
解得，
答：“雄鹰队”胜了19场，负了5场．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题．
【变式1-5】（2022春 思明区校级期中）某次篮球联赛积分榜如表所示：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 9 5 23
远大 14 7 7 21
恒大 14 4 10 18
蓝天 14 0 14 14
（1）通过观察积分表，填空：
胜一场得 分，负一场得 分．
（2）雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．
（3）联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．
【分析】（1）根据积分表即可确定；
（2）设雄鹰队胜了x场，负了y场，根据获得积分25分，列二元一次方程组，求解即可；
（3）设该队胜了m场，则负了（14﹣m）场，根据“获得胜场和负场的积分一样多”列方程，即可确定．
【解答】解：（1）根据积分表可知，胜一场得2分，负一场得1分，
故答案为：2，1；
（2）设雄鹰队胜了x场，负了y场，
根据题意，得，
解得，
答：雄鹰队胜了11场，负了3场；
（3）设该队胜了m场，则负了（14﹣m）场，
根据题意，得2m＝14﹣m，
解得m，
∵m是正整数，
∴该队长在说谎．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键．
【例题2】（2023春 麻阳县校级期中）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．540 B．630 C．210 D．102
【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长×2＝小长方形的宽×5；小长方形的长+宽＝21，据此可以列出方程组求解．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y．
由图可知：，
解得，
∴长方形ABCD的长为2×15＝30，宽为21，
∴长方形ABCD的面积为30×21＝630．
故选：B．
【点评】本题主要题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
解题技巧提炼 利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解．
【变式2-1】（2023秋 泰山区期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝8cm，BC＝12cm，则阴影部分图形的总面积为（ ）cm2．
A．27 B．29 C．34 D．36
【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出x和y的值，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意，得：，
解得：，
∴每个小长方形的面积为2×6＝12（cm2），
∴阴影部分的面积＝8×12﹣5×12＝36（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-2】（2023秋 莲池区期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．77cm B．78cm C．79cm D．80cm
【分析】设桌子的高度是x cm，结合图形列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：设桌子的高度是x cm，长方体木块的长是a cm，宽是b cm，
由题意得，
解得：x＝78，
∴桌子的高度是78cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确找出等量关系、列出方程组是解题的关键．
【变式2-4】（2023秋 平阴县期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ）
A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2
【分析】设小长方形花圃的长为x m，宽为y m，根据小长方形的2个长+一个宽＝18m，小长方形的一个长+2个宽＝15m，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m，
由题意得：，
解得：，
∴xy＝7×4＝28，
即一个小长方形花圃的面积为28m2，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式2-3】（2022 苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm，
那么可得出方程组为：，
解得：，
则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2），
答：小长方形的面积为135cm2．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【变式2-5】（2024春 长兴县月考）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
（1）若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且150＜a＜171，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合150＜a＜171即可求出a的值，此题得解．
【解答】解：（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，
根据题意得：，
∴．
∵n，a为正整数，
∴a为5的倍数，
又∵150＜a＜171，
∴满足条件的a为：155，160，165，170．
答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【例题3】（2022秋 城阳区期末）某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）吨，
A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23
【分析】设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，由题意：去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论．
【解答】解：设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，
则该农场去年实际生产小麦（1+15%）x吨，玉米（1+10%）y吨，
依题意得：，
解得：，
∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5．
即该农场去年实际生产小麦11.5吨，玉米5.5吨，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼 增长率（下降率）或百分比问题等量关系式： （1）增长率问题：原有量×（1+增长率）=增长后的量． （2）下降率问题：原有量×（1－下降率）=下降后的量．
【变式3-1】（2023春 广平县校级月考）某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ）
A．300万元，210万元 B．300万元，200万元
C．400万元，300万元 D．410万元，310万元
【分析】设2020年的总收入和总支出分别为x，y万元，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设2020年的总收入和总支出分别为x，y万元，
由题意可得：，
解得，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程组．
【变式3-2】（2023秋 汝州市期末）某水果种植基地，去年的利润（收入﹣支出）为500万元，估计今年的利润为980万元，并且今年的收入比去年增加了15%，支出比去年减少了10%，求：去年的收入与支出各是多少万元？
【分析】设去年的收入为x万元，支出为y万元；根据去年的利润为500万元，估计今年的利润为980万元得：，即可解得答案．
【解答】解：设去年的收入为x万元，支出为y万元；
根据题意得：，
解得，
答：去年的收入为2120万元，支出为1620万元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程组．
【变式3-3】（2022秋 渠县校级期末）随着国家“亿万青少年学生阳光体育运动”活动的启动，某区各所中小学也开创了体育运动的一个新局面．你看某校七年级（1）、（2）两个班共有100人，在两个多月的长跑活动之后，学校对这两个班的体能进行了测试，大家惊喜的发现（1）班的合格率为96%，（2）班的合格率为90%，而两个班的总合格率为93%，求七年级（1）、（2）两班的人数各是多少？
【分析】设（1）班有x人，（2）班有y人，根据题目中所述的两个等量关系可得出方程组，解出即可得出答案．
【解答】解：设（1）班有x人，（2）班有y人，
依题意得：，
解得：．
答：（1）、（2）班各有50个人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解决此类题目的关键是仔细审题，将等量关系找到，然后用方程解决．
【变式3-4】（2024 合肥模拟）某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
【分析】设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，根据去年计划实现总销售利润200万元，实际总销售利润为225万元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，
根据题意得：，
解得：，
∴（1+5%）x＝（1+5%）×50＝52.5，（1+15%）y＝（1+15%）×150＝172.5，
答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式3-5】（2023秋 大余县期末）面对“新冠疫情”，甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动．已知甲公司有20人，乙公司有30人，第一次甲公司平均每人捐款比乙公司多100元，甲、乙两公司第一次共捐款8000元．
（1）求第一次甲公司、乙公司平均每人捐款分别为多少元？
（2）为了进一步支持抗击“新冠疫情”，甲、乙两公司全体员工进行了第二次捐款活动，甲公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了30%，乙公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了元；结果甲、乙两公司第二次捐款总额比第一次捐款总额多3000元，求m的值．
【分析】（1）设第一次甲公司平均每人捐款为x元，乙公司平均每人捐款为y元，由题意：甲公司有20人，乙公司有30人，第一次甲公司平均每人捐款比乙公司多100元，甲、乙两公司第一次共捐款8000元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意：甲公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了30%，乙公司第二次平均每人捐款在第一次的基础上增加了元；结果甲、乙两公司第二次捐款总额比第一次捐款总额多3000元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设第一次甲公司平均每人捐款为x元，乙公司平均每人捐款为y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次甲公司平均每人捐款为220元，乙公司平均每人捐款为120元；
（2）由题意得：20×220×（1+30%）+30×（120）＝8000+3000，
解得：m＝280，
答：m的值为280．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【例题4】（2022春 滨州期末）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄
是（ ）
A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．30岁
【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，根据甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，列出方程组解答即可．
【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，
根据题意得：
解得：，
答：乙现在的年龄是20岁．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
解题技巧提炼 二元一次方程组解决年龄问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变．年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用，解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键.
【变式4-1】今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设今年哥哥x岁，妹妹y岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，可得x＝2y，再根据2年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍可得x﹣2＝3（y﹣2），进而可得答案．
【解答】解：设今年哥哥x岁，妹妹y岁，由题意得：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【变式4-2】（2022春 封丘县月考）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意：小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【变式4-3】（2021 无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？
【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，
依题意得：，
解得：．
答：小民爷爷是70岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式4-4】（2022秋 汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄 学生今年的年龄＝学生今年的年龄﹣3；老师42岁 老师今年的年龄＝老师今年的年龄 学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【解答】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
答：数学老师今年的年龄是29岁，
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式4-5】（2022 南陵县自主招生）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【分析】甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意：甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出二元一次方程组，即可解决问题．
【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，
由题意可得：，
即，
由此可得，3（x﹣y）＝15，
∴x﹣y＝5，
即甲、乙现在的年龄的差为5岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例题5】（2022春 利津县期末）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的．问这两个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人，依题意可得（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可知，第二车间的人数＝第一车间的人数30，（第一车间﹣10）第二车间+10，根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有：
，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
解题技巧提炼 分配问题即分配前后总量不变，分配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析分配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
【变式5-1】（2023秋 香坊区校级期中）某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，则原来乙组的人数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设原来乙组有x人，甲组有y人，由题意：甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设原来乙组有x人，甲组有y人，
依题意，得：，
解得：，
即原来乙组有12人，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-2】某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为 ．
【分析】设调往A地段x人，B地段y人，根据总共调来29人；A地段的人数是B地段人数的2倍，可得出方程组，解出即可．
【解答】解：设调往A地段x人，B地段y人，
由题意得，，
解得．
所以调往A、B地段分别是20人，9人．
故答案为：20，9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，难度一般．
【变式5-3】某校师生共100人到两个车间参加劳动，到第一车间的人数比到第二车间的人数两倍少8人，到两个车间的人数分别 ．
【分析】根据题意可知此题存在两个等量关系，即第一车间的人数+第二车间的人数＝100人，第一车间的人数＝第二车间的人数两倍﹣8，根据这两个等量关系可列出方程组．
【解答】解：设到第一车间的人数为x人，到第二车间的人数为y人，
则可列方程组为，
解得
答：到第一、第二车间的人数分别为64人和36人．
故填64，36．
【点评】解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．特别是第一车间的人数＝第二车间的人数两倍﹣8这个等量关系式．
【变式5-4】某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的．问这两个车间各有多少人？
【分析】根据题意可知，第二车间的人数＝第一车间的人数30，（第一车间﹣10）第二车间+10，根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有：
，
解得．
答：第一车间有250人，第二车间有170人．
【点评】注意要根据题意给出的等量关系第二车间的人数＝第一车间的人数30，（第一车间﹣10）第二车间+10，来列出方程组，计算出的数据要符合现实．
【变式5-5】定安县服装厂第二车间的人数比第一车间的人数的2倍少10人．如果从第二车间调5人到第一车间后，两个车间的人数一样多．问这两个车间各有多少人？
【分析】设第一车间原来有x个工人，第二车间原来有y个工人．根据“第二车间工人人数比第一车间工人人数的2倍少10人，若从第二车间抽调5人到第一车间，那么两个车间的人数一样多”列出方程组并解答．
【解答】解：设第一车间原来有x个工人，第二车间原来有y个工人．
依题意得：，
解得：．
答：第一车间20人，第二车间30人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
【例题6】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了20元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了38元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
【分析】首先根据题意设出未知数，找出其中的相等关系：①出租车走了11千米，付了20元；
②出租车走了23千米，付了38元，列出方程组，解出得到答案.
【解答】解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，
由题意得：
解得：
答：出租车的起步价是8元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
解题技巧提炼 列二元一次方程组解分段计费问题，常见的等量关系有：总收费=标准内收费＋标准外收费，解题的关键是弄清某次收费包含哪几段费用.
【变式6-1】（2023春 兴宾区期末）某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．
甲说：“我乘出租车走了10千米，付车费21.2元．”
乙说：“我乘出租车走了14千米，付车费27.6元．”
问：（1）出租车起步价是多少元？超过3千米的部分每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车走了5.5千米，应付车费多少元？
【分析】（1）设出租车起步价是x元，超过3千米的部分每千米收费y元，由题意：甲说：“我乘出租车走了10千米，付车费21.2元．”乙说：“我乘出租车走了14千米，付车费27.6元．”列出方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【解答】解：（1）设出租车起步价是x元，超过3千米的部分每千米收费y元，
由题意得：，
解得：，
答：出租车起步价是10元，超过3千米的部分每千米收费1.6元；
（2）10+（5.5﹣3）×1.6＝14（元），
即小张乘出租车走了5.5千米，应付车费14元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式6-2】（2023春 肥城市期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过15吨（含15吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过15吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）小明家3月份用水25吨，他家应交水费多少元？
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价是x元，市场调节价是y元，根据“小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价；
（2）利用小明家3月份应交水费＝15×3.5+超过15吨的部分×4.5，即可求出小明家3月份应交水费的金额．
【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价是x元，市场调节价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每吨水的政府补贴优惠价是3.5元，市场调节价是4.5元．
（2）15×3.5+（25﹣15）×4.5
＝15×3.5+10×4.5
＝52.5+45
＝97.5（元）．
答：小明家3月份用水25吨，他家应交水费97.5元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【变式6-3】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
月份 用水量/m3 水费/元
4 16 50
5 20 70
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为多少m3．
【分析】（1）分两种情况：当x＜6时；当x＞6时；求得用户用水为x立方米时的水费；
先判断这个月一定超过15立方米，再根据等量关系：15立方米的水费+超过15立方米的水费=80元，列出方程求解即可.
【解答】解：（1）设基本水费价格为：x元/m3，超过的部分水费价格为：y元/m3，
， 解得： ，
答：基本水费价格为：3元/m3，超过的部分水费价格为：5元/m3；
（2）∵3×15=45＜80（元），
∴这个月一定超过15立方米，
则15×3+5（a﹣15）=80， 解得：a=22．
答：这个月该用户用水22立方米．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【变式6-4】（2023秋 锦州期末）锦州某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克时，超出的部分按每千克计费（不足1千克的均按1千克收费）、小亮分别寄快递到北京和重庆，快递的收费标准及小亮邮寄物品的重量和付费金额如表1和表2：
表1：快递的收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
北京 12 b
重庆 14 b+4
表2：小亮邮寄物品的重量和付费金额
目的地 物品的重量（千克） 付费金额（元）
北京 2 a﹣5
重庆 3 a+7
（1）求a，b的值；
（2）按照此收费标准，小明从锦州分别寄5千克的物品到北京，7千克的物品到重庆共需付费多少元．
【分析】（1）根据小亮从锦州邮寄2千克的物品到北京的付费金额及从锦州邮寄3千克的物品到重庆的付费金额，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值；
（2）利用付费金额＝步价+超出部分的单价×超过1千克的部分的质量，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：a的值为19，b的值为2；
（2）根据题意得：12+2×（5﹣1）+14+（2+4）×（7﹣1）
＝12+2×4+14+6×6
＝12+8+14+36
＝70（元）．
答：小明从锦州分别寄5千克的物品到北京，7千克的物品到重庆共需付费70元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【变式6-5】（2022秋 宣州区期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）
阶梯 电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度）
一档 0＜x≤180 a
二档 180＜x≤400 b
三档 x＞400 0.95
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．
【分析】（1）根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；
（2）根据题意先判断出陈女士所用的电所在的档，再设陈女士家五月份用电量为m度，根据价格表列出等式，求出m的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：a的值是0.58，b的值是0.66；
（2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280，
∴5月份陈女士家用电量超过400度．
设陈女士家五月份用电量为m度，根据题意得：
249.6+（m﹣400）×0.95＝280，
解得：m＝432
答：陈女士家5月份的用电量为432度．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
【例题7】（2021秋 郫都区校级月考）某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税），则两种储蓄的存款分别为（ ）
A．400元，600元 B．500元，500元
C．300元，700元 D．800元，200元
【分析】设年利率为3%的储蓄存了x元，年利率为4%的储蓄存了y元，根据“两种储蓄共存了1000元，且一年后本息和为1035元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出两种储蓄的存款金额．
【解答】解：设年利率为3%的储蓄存了x元，年利率为4%的储蓄存了y元，
依题意得：，
解得：．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼 银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）；
③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
【变式7-1】某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 万元．
【分析】设该公司甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元，根据两种贷款共68万元且每年需付出8.42万元利息，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设该公司甲种贷款的数额为x万元，乙种贷款的数额为y万元，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：26．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-2】有甲乙两种债券，年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？
【分析】设甲债券x元，乙债券y元，则根据“共有400元债券”及“一年后获利45元”可分别列出方程，联立求解可得出答案．
【解答】解：设甲债券x元，乙债券y元，
由题意得：，
解得：，即甲债券150元，乙债券250元．
答：甲债券150元，乙债券250元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此类题目，一定要仔细审题，设出未知数，得出等量关系，然后联立方程求解．
【变式7-3】小韩家以两种储蓄方法分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息税后可得利息43.92元；如果这两笔钱的两种储蓄方法交换一下，一年后全部取出，扣除利息税后，只能得到利息33.84元．已知利息税为20%，问当时这两种储蓄的年利率各是多少？
【分析】两个等量关系为：（2000元×2000元存款的年利率+1000元×1000元存款的年利率）×（1﹣20%）＝43.92；：（2000元×1000元存款的年利率+1000元×2000元存款的年利率）×（1﹣20%）＝33.84，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设两种储蓄的年利率分别为x、y，则：
，
解得：x＝2.25%；y＝0.99%（2分）
答：当时这两种储蓄的年利率分别为2.25%和0.99%．
【点评】考查二元一次方程组的应用；得到交换利率后的两种利息的等量关系是解决本题的关键．
【变式7-4】小李和小马两人共存款1000元，小李存款时的年利率是2.5%，小马存款时的年利率是2.7%，若不考虑得利息税，一年后银行支付给他们的利息一共是26.2元，问小李和小马各存款多少元？
【分析】设小李和小马各存款x、y元，通过分析得到两个相等关系，即：小李的存款+小马的存款＝1000，小李的利息+小马的利息＝26.2，据此列方程组求解．
【解答】解：设小李和小马各存款x、y元．
根据题意得：，
解方程组得：．
答：小李和小马各存款为400元、600元．
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是分析题意找出两个相等关系，列方程组求解．
【变式7-5】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？
【分析】设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，根据两种存储一共存款8000元结合利息＝本金×年利率即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种储蓄存储5000元，乙种储蓄存储3000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据数量关系利息＝本金×年利率结合两种存储一共存款8000元列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【例题8】（2023春 淅川县期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）分别求每个水瓶和每个水杯的钱数．
（2）王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数．
【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）直接列式即可计算出费用．
【解答】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，
根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，
解得：x＝40，
答：一个水瓶40元，一个水杯是8元；
（2）由题意得：（6×40+8×20）×0.8＝320（元）．
答：王老师花的钱为320元．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
解题技巧提炼 解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题．
【变式8-1】（2023秋 平远县期末）梅州金柚，声名远播，今年又是一个丰收年．某经销商为了打开销路，对1000个金柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．当销售总收入为7280元时．
（1）若这批金柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋？
（2）若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装送人，其余纸盒装全部售出，求b的值．
【分析】（1）纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装y 袋，列出方程组计算可得答案；
（2）设纸盒装共包装了m箱，编织袋装共包装m 袋，根据销售总收入为7280元列方程求解即可．
【解答】（1）设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装y 袋，
由题意，得，
解得：，
答：纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋．
（2）设纸盒装共包装了m箱，编织袋装共包装n袋，
由8m+18n＝1000，可得 m，
由题意得，64，
解得：n＝40b，
∵m，n，b都是整数，且m≥0，n＞0，b＞0，
∴b＝9，m＝107，n＝8，
∴b的值为9．
【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
【变式8-2】（2022秋 南关区校级月考）根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．
【分析】设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合小丽两次购买笔和笔记本的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-3】（2024 肇源县开学）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题：
区票价成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价8折优惠（10张及以上） 咱们一行9人，购票需要多少元？
我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．
（1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
（2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？若省钱省多少？若不省钱，多花多少？
【分析】（1）设游玩的家长为x人，学生为y人，由题意列方程组，求出x，y即可；
（2）求出团体购票需要花费的钱数，然后求出团体购票需要花费的钱数比家长和学生分别购买成人票和学生的钱数多多少即可．
【解答】解：（1）设参加游玩的家长为x人，学生为y人，由题意列方程组得：，
化简得：，
②﹣①得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝4，
∴，
答：家长5人，学生4人；
（2）家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，理由如下：
∵购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，
∴团体购票需要购买10张，
∴花费的钱数为：
10×0.8×90
＝8×90
＝720（元），
720﹣630＝90（元），
∵如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为720元，
∵630＜720，
∴家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱，多花了90元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系，列出方程组．
【变式8-4】（2023秋 东至县期末）某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）
商品 价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？
【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件．
根据题意得：，
解得：．
答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．
（2）设B商品打m折出售．
根据题意得：200×（1350﹣1200）+150×2×（12001000）＝54000，
解得：m＝9．
答：B种商品打9折销售的．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【变式8-5】（2022春 南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 100元 80元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：
（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可；
（2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可．
【解答】解：（1）设甲乐团有x名；乙乐团有y名，
根据题意，得，
解得，
答：甲乐团有30名；乙乐团有45名；
（2）由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13a，，
∵每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，
∴或，
∴共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；
②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人．
【点评】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键．
【例题9】（2023秋 修水县期末）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．
（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
（2）若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案．
【分析】（1）等量关系式：3艘小型船可救援人数+2艘大型船可救援人数＝125，1艘小型船可救援人数+3艘大型船可救援人数＝135，据此解方程组即可求解；
（2）可得15m+40n＝500，由m，n为非负整数，即可求解．
【解答】解：（1）设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众，由题意得
，
解得：，
答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众．
（2）由题意得：
15m+40n＝500，
整理得：，
∵m，n为非负整数，
∴或或或，
有4种方案，分别为：
①安排28艘小型船和2艘大型船；
②安排20艘小型船和5艘大型船；
③安排12艘小型船和8艘大型船；
④安排4艘小型船和11艘大型船．
【点评】本题考查了一元二次方程组的应用，求一元二次方程整数解，找出等量关系式，将一元二次方程化为进行求整数解是解题的关键．
解题技巧提炼 解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案．
【变式9-1】（2023 南江县一模）某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
（1）若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你设计出商场的进货方案；
（2）商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？
【分析】（1）由平均价格＝总价÷数量可求出40部手机的均价，结合三种型号手机的单价即可得出必买甲种型号手机，分购进甲和乙两种型号手机及购进甲和丙两种型号手机两种情况，根据购买40部手机共花费40000元，即可得出关于x，y（或a，b）的二元一次方程组，解之即可；
（2）利用总利润＝单部利润×销售数量，分别求出两个方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵40000÷40＝1000（元），
∴必买甲种型号手机．
当购进甲和乙两种型号手机时，设购进甲种型号手机x部，乙种型号手机y部，
依题意，得：，
解得：；
当购进甲和丙两种型号手机时，设购进甲种型号手机a部，丙种型号手机b部，
依题意，得：，
解得：；
∴共有两种进货方案，方案1：购进甲种型号手机30部，乙种型号手机10部；方案2：购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部．
（2）方案1获得的利润为：120×30+80×10＝4400（元），
方案2获得的利润为：120×20+120×20＝4800（元）．
∵4400＜4800，
∴方案2购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部获得的利润多．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-2】（2024春 福清市期中）福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？
【分析】（1）设49座的客车每辆每天的租金是x元，35座的客车每辆每天的租金是y元，根据“49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆49座的客车，n辆35座的客车，根据租用的两种客车满载可乘坐700人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各方案所需租金，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设49座的客车每辆每天的租金是x元，35座的客车每辆每天的租金是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；
（2）设租用m辆49座的客车，n辆35座的客车，
根据题意得：49m+35n＝700，
∴n＝20m．
又∵m，n均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用20辆35座的客车，所需租金为600×20＝12000（元）；
方案2：租用5辆49座的客车，13辆35座的客车，所需租金为800×5+600×13＝11800（元）；
方案3：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，所需租金为800×10+600×6＝11600（元）．
∵12000＞11800＞11600，
∴租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式9-3】小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决下列问题．
（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？
【分析】（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，根据小丽购买的学习用品的总个数和总费用列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据软皮笔记本的购买数量和总价，求出单价，设购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据两种商品的总费用列出二元一次方程，由购买数量为整数，得出所有可能的解．
【解答】解：（1）由表可得签字笔的价格3元/只，自动铅笔的价格1.5元/只，记号笔价格4元/只，圆规的价格3.5元/只，
设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，
根据题意可得，
解得，
答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支．
（2）设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，
根据题意可得m+1.5n＝15，
∵m，n为正整数，
∴或或．
所以共有三种方案：
1本软皮笔记本与7支记号笔；
2本软皮笔记本与4支记号笔；
3本软皮笔记本与1支记号笔．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，列出正确的二元一次方程组是解题的关键．
【变式9-4】（2023春 涪城区期末）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 10 20 1300
（1）求牛奶与咖啡每箱分别为多少元；
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1800元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱．（直接写出答案）
【分析】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由表中数据列出方程组，求解即可；
（2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解，进而求解即可．
【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1800，
整理得：27a+20b＝1800，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
当b＝63时，50×63＝3150＞1800，不合题意舍去；
当b＝36时，50×36＝1800，不合题意舍去；
当b＝9时，50×9＝450＜1800，符合题意；
即此次按原价采购的咖啡有9箱，
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，列出二元一次方程．
【变式9-5】（2024春 海门区期中）某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
运载量（箱/辆） 20 30 40
运费（元/辆） 300 400 450
（1）全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车 辆；
（2）若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5100元，求甲、乙两种车型各需多少辆？
（3）若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并写出最少运费．
【分析】（1）利用所需丙型车的数量＝（货物的总箱数﹣每辆甲型车的运载量×使用甲型车的辆数﹣每辆乙型车的运载量×使用乙型车的辆数）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
（2）设甲型车需x辆，乙型车需y辆，根据“甲、乙两种车型一次性可运送360箱货物，且需运费5100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用（11﹣a﹣b）辆丙型车，根据使用的三种车型一次性可运送360箱货物，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，11﹣a﹣b均为正整数，可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（360﹣20×6﹣30×4）÷40
＝（360﹣120﹣120）÷40
＝120÷40
＝3（辆），
∴全部货物一次性运送可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车3辆．
故答案为：3；
（2）设甲型车需x辆，乙型车需y辆，
根据题意得：，
解得：．
答：甲型车需9辆，乙型车需6辆；
（3）设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用（11﹣a﹣b）辆丙型车，
根据题意得：20a+30b+40（11﹣a﹣b）＝360，
∴b＝8﹣2a．
又∵a，b，11﹣a﹣b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：使用1辆甲型车，6辆乙型车，4辆丙型车；
方案2：使用2辆甲型车，4辆乙型车，5辆丙型车；
方案3：使用3辆甲型车，2辆乙型车，6辆丙型车．
方案1所需运费为300×1+400×6+450×4＝4500（元）；
方案2所需运费为300×2+400×4+450×5＝4450（元）；
方案3所需运费为300×3+400×2+450×6＝4400（元），
∵4500＞4450＞4400，
∴最少运费是4400元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
