6.5.2平面与平面垂直(2) 课件（共22张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册

(共22张PPT)
第六章 立体几何初步
6.5.2 平面与平面垂直(2)
1.使学生经历探索面面垂直的判定定理的过程，初步掌握定理的应用．
2.培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力，进一步感受化归、类比等思维方法.
3.通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣.
平面与平面垂直的判定定理.
平面与平面垂直的判定定理的应用.
为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？
如果你是一名质检员，你会怎样去判断一面墙与地面是否垂直呢？
我们知道，在长方体中，相邻两个面是互相垂直的，你能用二面角的知识来解释为什么吗？
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，我们以平面ABCD和平面CDD′C′为例来探究
A
D
C
B
A′
D′
C′
B′
平面ABCD和平面CDD′C′所成的二面角的平面角是？
∠BCC′（或∠ADD′）
所求二面角是否为直二面角？
是的.故长方体中相邻的两个面都是互相垂直的.
将正方形ABCD沿着对角线BD折起,如何使得平面ABD与平面CBD垂直？
A
B
C
D
要使面面垂直，只需平面ABD和平面CBD所成的二面角的平面角为直角即可．
如何构造二面角的平面角？
连接AC交BD于点O，可得AO、CO都与BD垂直，则当正方形折起时，∠AOC即平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角．
如何使∠AOC为直角？
AO⊥CO即可
O
A
B
C
D
O
此时AO与平面CBD是什么位置关系？
事实上，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直.系有铅锤的线是垂直于地面的，如果系有铅锤的线紧贴墙面，就说明墙面垂直于地面. 这种判断方法的理论依据是什么？
你能证明你的猜想吗？
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
已知：.
求证：
证明：
假设，
∵，∴.
在平面内过点B作直线，
则∠ABC是二面角的平面角.
而，故是直二面角，
∴.
如果一条平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
若则.
符号语言
平面与平面垂直的判定定理
现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直.
如果一条平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
若则.
符号语言
平面与平面垂直的判定定理
线面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直的判定
线面垂直的定义
面面垂直的判定
面面垂直的性质
判断下列命题是否正确，并简要说明理由.
（1）若∥，则；
（2）若，则；
（3）经过已知平面的垂线，有且只有一个平面与已知平面垂直.
（1）∵∥，∴内必存在一条直线b∥a.
又，∴.又，∴.
（2）∵，∴b∥或b .
又，∴结合（1）中结论可得.

（3）不妨设平面的垂线为，显然，过直线的平面有无数个.根据面面垂直的判定定理，过直线的平面都与平面垂直，故命题错误.
如图，在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四个侧面都是矩形.
求证：.
证明：
∵四边形BBCC是矩形，∴.
同理可得.
又，，
∴.
又，∴.
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
，
如图，在四面体A′-ABC中，A′A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA′=AB.
（1）四面体中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角A-A′B-C和A′-BC-A的大小.
要找面面垂直，首先寻找线面垂直.
A
B
C
A′
解：（1）∵，
∴，同理.
∵，∴.
又
∴.∵∴.
故四面体中互相垂直的平面为：
，，.
如图，在四面体A′-ABC中，A′A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA′=AB.
（1）四面体中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角A-A′B-C和A′-BC-A的大小.
由面面垂直可知二面角A-A′B-C为90°；而二面角A′-BC-A的大小需先求其平面角
（2）由（1）知，，
∴二面角A-A′B-C为90°.
∵，∴.
又∴∠A′BA是二面角A′-BC-A的平面角.
在Rt△A′AB中，A′A=AB，
∴∠A′BA=45°，即二面角A′-BC-A为45°.
解：
A
B
C
A′
已知是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若，则∥； ②若∥，则；
③若∥，，则； ④若∥，则∥.
其中所有真命题的序号有 .
①若，则∥或，①错误；
②∵∥∴，又，∴，②正确；
③∵∥，∴，又，∴，③正确；
④若∥，则∥或l、m异面，④错误.
故真命题有②③.
解：
②③
一个三棱锥的四个面中最多有 对面面垂直.
3
A
B
C
D
解：如图，∠ABD=∠ABC=∠CBD=90°，
∵，
∴，又，∴，
同理可得，.
显然三棱锥可以有3对面面垂直，第四个面可采用反证法
M
假设，过D做，垂足为M，
∴，又，∴DM∥BD，
显然不成立，故假设不成立，平面ABC与平面ADC不垂直，
同理，平面ADC与其他平面也不垂直，故一个三棱锥的四个面中最多有3对面面垂直.
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证：
（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
证明：
（1）连接AC、OE，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点.
又点E是PC的中点，∴OE∥AP.
又，
∴PA∥平面BDE.
连接AC、OE，易得AP∥OE，从而可证PA∥平面BDE
P
E
C
O
B
A
D
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证：
（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
证明：
（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC.
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又，
∴BD⊥平面PAC.
又，∴平面PAC⊥平面PBD.
P
E
C
O
B
A
D
平面PAC⊥平面PBD
BD⊥平面PAC
PO⊥AC，AC⊥BD
A
C
B
E
N
B′
C′
A′
M
平面MEB⊥平面BEN
ME⊥平面BEN
ME⊥BN
ME⊥EN
BN⊥平面ACC′A′
△MEN中，
勾股定理的逆定理
如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=4，AA′=，M、N分别是A′C′、AC的中点，E在侧棱AA′上，且A′E=2EA，
求证：平面MEB⊥平面BEN.
证明：在正三棱锥中，∵M、N分别是A′C′、AC的中点，
∴
又，∴，∴.
∵，，
∴，∴
又，∴，
又，∴平面MEB⊥平面BEN.
如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=4，AA′=，M、N分别是A′C′、AC的中点，E在侧棱AA′上，且A′E=2EA，
求证：平面MEB⊥平面BEN.
A
C
B
E
N
B′
C′
A′
M
课堂小结
面面垂直的判定定理：
如果一条平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
若则.
符号语言
线面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直的判定
线面垂直的定义
面面垂直的判定
面面垂直的性质
教材第235页习题6-5A组第4、7题．
再见