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第十九章《一次函数》单元测试卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解，
本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有
【答案】B
【分析】直接根据正比例函数的图象与性质特点逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，
则函数图象不经过点，此项错误，不符合题意；
B、函数中的，
则函数图象经过第一、三象限，此项正确，符合题意；
C、函数中的，
则随的增大而增大，此项错误，不符合题意；
D、只有当时，，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．
3．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（ ）
①； ② ； ③； ④当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴，故①选项不符合题意；
由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，
∴，故②选项不符合题意；
∵一次函数与的图象交于点P，且P的横坐标为1，
∴，故③选项符合题意；
由图象可知，当时，，故④选项不符合题意；
综上，正确的选项只有③，
故选：A．
4．一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：
①它们的交点在直线上；
②；
③不等式的解集为；
④它们与x轴围成的三角形的面积为．
其中，正确的序号是 ．
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
根据两个函数的交点即可判断①；根据当，图象在第一象限，来判定②；找出一次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，x的取值范围即可判断③；分别把，代入函数得出三角形的底和高，利用面积计算公式即可判断④．
【详解】一次函数和交于一点，
，
解得：，
①正确；
一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1，
把代入得：故②正确；
函数图象它们的交点在直线上，
有函数图象可知的解集为，故③正确；
把代入得：，
当代入得：，
当代入得：，
与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误；
综上所述：正确的有①②③；
故选：C．
5．甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①，之间的距离为；②甲行走的速度是乙的倍；③，．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图对各个结论依次进行分析判断即可．
【详解】解：①当时，，
、之间的距离为，结论①正确；
②乙的速度为，甲的速度为，，
乙行走的速度是甲的倍，结论②错误；
③，，结论③正确；
故结论正确的有①③．
故选：B．
6．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与不等式，先求得交点的坐标，进而结合函数图象，即可求解．
【详解】解：将代入，
∴，
解得：，
∴
将代入
∴
解得：
∴
当时，，即与轴的交点为，
根据函数图象可得关于的不等式组的解集是，
故选：D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象等知识点，明确题意、利用正比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
根据正比例图象函数和一次函数图象的性质确定两函数a的取值范围，若矛盾则不符合题意，据此即可解答．
【分析】解：A．由函数得，与图像的矛盾，故本选项不符合题意；
B．函数所过象限错误，故本选项不符合题意；
C．函数所过象限错误，故本选项不符合题意；
D．由函数得，与图像的一致，故本选项符合题意．
故选：D．
8．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第二、三、四象限 B．当时，
C．函数值随自变量的增大而减小 D．图象与轴交于点
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与性质的关系，逐一分析各选项的正误．
【详解】解： ，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意
，
函数值随自变量的增大而增大，
当时，
选项B，C不符合题意；
当时，，
图象与轴交于点，选项D符合题意．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．点的坐标为 D．的周长为
【答案】C
【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的解析式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则∠EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出△AEF的周长．
【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点，
∴当x=0，则y=12，故B（0，12），
当y=0，则x=5，故A（5，0），
∴AO=5，BO=12，
在Rt△AOB中，AB==13，
故AB的长为13；
过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=DA=BC=CD，
∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠HAD=90°，
∴∠OBA=∠HAD，
在△OBA和△HAD中，
，
∴△OBA≌△HAD（AAS），
∴DH=AO=5，AH=BO=12，
∴OH=OA+AH=17，
∴点D的坐标为（17，5），A错误，不符合题意；
∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+∠ABO=90°，
∴∠NCB=∠ABO，
在△CNB和△BOA中，
，
∴△CNB≌△BOA（AAS），
∴BN=AO=5，CN=BO=12，
又∵CF⊥x轴，
∴CF=BO+BN=12+5=17，
∴C的坐标为（12，17），C正确，符合题意；
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BD的解析式为，
∵OF=CN=12，
∴AF=12-5=7，E点的坐标为（12，），
∴EF=≠AF，
∵CF⊥x轴，
∴∠EAF≠45°，B错误，不符合题意；
在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS），
∴AE=CE，
∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7，
∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．
10．如图，等腰直角三角形纸片，底边长为，边长为的正方形纸片的边在直线上，设长为，两个纸片重叠部分图形的面积为，则与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、正方形的性质，学会利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是解题关键．
分三种情况讨论：当时，交于点，则，于是；当时，过作于点，交于点，交于点，则，，，于是；当时，交于点，则，进而得到，于是以此即可得到关于的函数解析式，再判断函数图象即可．
【详解】解：为等腰直角三角形，
，
四边形是边长为的正方形，且边在直线上，
，，
当时，如图，交于点，
则为等腰直角三角形，
，
；
当时，如图，过作于点，交于点，交于点，
则和为等腰三角形，，
，，
；
当时，如图，交于点，
则为等腰直角三角形，
，
，
．
综上，．
故选：．
二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．在高速公路上有、、三地，地位于、两地之间，甲、乙两车分别从、两地出发，沿这条公路匀速行驶同时至地停止．从甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车各自与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示，当甲车出发 时，两车相距．
【答案】/
【分析】本题主要考查一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键．根据题意结合图象，可得与的距离等于与的距离均为，根据行驶路程与时间的关系，可得两车的速度，设甲出发小时后，两车相距，由题意，得，解出即可完成解答.．
【详解】解：由题意并结合图形可得：，
甲的速度：，
乙的速度：，
设甲出发小时后，两车相距，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．如图，点B、C分别在直线和直线（，为常数）上，A、D是轴上两点，已知四边形是正方形，则的值为 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为，根据正方形的性质分别表示出，两点的坐标，再将的坐标代入函数中从而可求得的值．
【详解】解：设正方形的边长为，则的纵坐标是，
把代入，得
∴，
点B的坐标为，则点的坐标为，
把点的坐标代入中得，，
解得，
故答案 ：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
13．已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，则这个一次函数与坐标轴围成的图形面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了定系数法求一次函数解析式，一次函数的平行问题，以及一次函数与坐标轴的交点．根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，求得函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可．
【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线，
∴，
∴把点代入得，，
解得，
∴，；
∴一次函数的解析式为．
∵时，；时，，
∴函数与x轴、y轴的交点分别为和，
∴所围成的三角形的面积．
故答案为；16．
14．如图，正方形的边长为4，分别在x轴、y轴上，点D是边上的动点，将沿着直线：翻折得到，当直线经过的中点E时，则k的值为 .
【答案】3或1
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据翻折的性质可得，，，利用勾股定理分别求出、、，点坐标即可得到值，熟练掌握勾股定理的应用是解答本题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，
正方形的边长为4，直线经过的中点，
，，
沿着直线翻折得到，
，，，
在中，，
设，则，，，
在中，由勾股定理得：，
，解得，
，
在直线图象上，
，
当点与点重合时，也符合条件，此时
故答案为：3或1．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线l经过点A，并与x轴交于点B，且，P是直线l上一个动点，若是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，勾股定理．先求得直线l的解析式，再分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图．∵点，
∴．
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，得．
∴点．
设直线l的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
∴直线l的解析式为．
若是等腰三角形，分三种情况：
①当时，
∵，
∴．
∴是等边三角形．过点作于点D，如图．
∴．
∴点纵坐标为1．
把代入，得．
解得．
∴点；
②当时，过点作于C点，如图．
∵，
∴．
∴°．
∵，
∴．点．
∴纵坐标为3．
把代入，得．
解得．
∴；
③当或时，
∵，
∴是等边三角形，此时点P与①中重合．
综上所述，若是等腰三角形，则点P坐标为或．
故答案为：或．
16．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是 ．
①关于的方程的解为；
②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：；
③若（），则；
④若，且，则当时，．
【答案】①②④
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键．
根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；
利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②；
求出，结合，即得出，解得或，故③错误；
将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④正确．
【详解】解：∵一次函数与的图像交于点，
∴联立的解为，
即方程的解为，故①正确；
将代入，得：，
解得：，
∴．
∵，
∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小，
∴当时，；当时，，
∴无论何时与都为异号，
∴，故②正确；
∵，且，
∴．
∵，
∴，
∴或，
∴或，故③错误；
将代入，得：，
∴．
∵，且，
∴，且，
∴画出图像如图所示．
由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，
∴当时，，故④正确．
故答案为：①②④．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线：；直线l2：，直线上有一点A，且点A的纵坐标是．在直线的右侧作正方形，交直线于点D，交x轴于点E，连接交直线于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①的周长为；
②；
③；
④点P为射线上一动点，的最小值为．
【答案】②
【分析】如图所示，过点A作轴于M，先求出，则，利用勾股定理求出，如图将绕点O顺时针旋转90度得到，则，，证明B、C、H三点共线，，则可证明，得到，进而得到，则的周长，故①错误；如图所示，取中点K，连接，证明是等边三角形，推出，得到，，设，则，则，利用勾股定理得到，解得，则，故②正确；如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，证明，得到，由，得到，故③错误；由点P为射线上一动点，，则当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于M，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
如图将绕点O顺时针旋转90度得到，
∴，，
∴，
∴B、C、H三点共线，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，故①错误；
如图所示，取中点K，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图将绕点O逆时针旋转90度得到，连接，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵点P为射线上一动点，，
∴当时，最小，即此时最小，最小值为，故④错误；
故答案为：②．
三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．已知和成正比例，当时，．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若点是该函数图象上的一点，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将代入解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：和成正比例，
设，
代入得，解得，
；
（2）解：由（1）知，
点是该函数图象上的一点，
把点代入，得，解得．
19．项目化学习
项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗．
项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．
研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植；
（2）从种植开始每隔两天记录一次数据；
（3）数据分析，形成结论．
数据记录：
已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 …
甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 …
乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 …
初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系．
问题解决：请根据上述材料完成下列问题．
(1)在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；
(2)求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度；
(3)观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为
(3)甲种菜苗先开花，理由见解析
【分析】（1）根据数据，应用描点法，即可求解，
（2）设，代入点，解得，，将代入，即可求解，
（3）根据两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解，
本题考查了，画一次函数图像，求一次函数解析式，从函数图像获取信息，解题的关键是：熟练掌握一次函数的性质．
【详解】（1）解：（1）作图如解图；
（2）解：设与x的函数关系式为，代入点，
得，解得，
∴与x的函数关系式为，
当时，，
∴第18天甲种菜苗的高度为
故答案为：与x的函数关系式为，第18天甲种菜苗的高度为，
（3）（3）甲种菜苗先开花，理由如下：
由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时（即与的交点处）都未达到的高度，
达到相同高度后的图象始终在的图象上方，
∴甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度，
故答案为：甲种菜苗先开花．
20．茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．为了对中国茶文化有更深的认识，王叔叔开车从家出发，前往离家的某茶园进行参观后，原路返回家中，在整个过程中，王叔叔离家的距离y（km）与离家后的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段y与x之间的函数关系式；
(2)当x的值为多少时，王叔叔距离茶园？
【答案】(1)
(2)1.5或5.3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解；
【详解】（1）解：（1）设图中段y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
解得
图中段y与x之间的函数关系式为．
（2）设图中段y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
，
解得，
图中段y与x之间的函数关系式为．
在中，令，得，
在中，令，得，
当x的值为1.5或5.3时，王叔叔距离茶园80km．
21．为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元．已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．
(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；
(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍．为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售．已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？
【答案】(1)甲销售单价为20元，乙销售单价为30元；
(2)甲订购74个，乙订购36个，最大利润为694元
【分析】（1）设甲种荧光棒的销售单价为元，乙种荧光棒的单价为元，利用乙比甲的数量少列方程求解即可；
（2）设乙种的购买数量为，甲种数量为个。利用甲不少于乙的2倍列不等式求出的取值范围，再用含有的代数式表示总利润关于数量的解析式，根据一次函数的性质判断最大值．
【详解】（1）解：设甲种荧光棒的销售单价为元，乙种荧光棒的单价为元，
由题意得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴乙种单价为：（元）
答：甲种荧光棒的单价为20元，乙种荧光棒的单价为30元．
（2）解：设乙种荧光棒的购买数量为，甲种数量为个，
由题意得：
解得：，且为正整数，
设总利润为
∵
∴随着的增大而增大，且为正整数，
∴当时，
答：当甲种荧光棒订购74,乙种订购36个，总利润最大为694元
【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式和一次函数，熟练利用题中数量关系列方程以及不等式，利用一次函数的性质判断最大值是解决本题的关键．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求该函数解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等．
（1）将点和代入中即可得到本题答案；
（2）根据可得与轴交于，再画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案．
【详解】（1）解：由题意得：将点和代入中得：
，解得：，
∴该函数解析式为：；
（2）解：当时，代入得：，
在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图：
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴当过时满足题意
∴，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于，
∴当过时满足题意，
∴，，
综上：满足条件的n的取值范围为：．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点．
(1)求直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，便得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为：
(2)点的坐标
(3)存在，点的坐标为，，理由见详解
【分析】（1）根据直线，点的坐标分别求出点的坐标，由此即可求解；
（2）根据题意分别算出的坐标，算出的面积，再算出的面积，设，根据，即可求解；
（3）根据题意可得，图形结合，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交点，
∴令时，；令时，；
∴，，
∴，则，
∵点是直线与线段的交点，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由（1）可知直线的解析式为：，
令时，，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为直线上一动点，且直线的解析式为，
∴设，如图所示，连接，
∴，
，
当点在轴右边时，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）；
当点在轴左边时，，
∴，
解得，，
∴；
当时，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标；
（3）解：存在，点的坐标为，，理由如下，
已知，，
∴直线的解析式为：，
∴，，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴若，则，
第一种情况，如图所示，连接交于点，
∵，，
∴是等腰三角形，，，
∵是的外角，即，
∴点即为所求点的位置，
设直线的解析式为，，，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
联立直线与直线的解析式，
∴，
解得，，
∴；
第二种情况，如图所示，关于的对称，则，
∴，
由第一种情况可得，，，
根据中点坐标公式得，，
综上所述，存在，点的坐标为，．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与二元一次方程组求交点，相似三角形的判定和性质，角度的和差计算的方法，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点，经过点的直线交轴于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，过点作轴的平行线交直线于点，交直线于点．设线段的长为，运动时间为（秒），求与时间（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的值．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)；
(3)符合条件的值为秒或秒．
【分析】（1）先求得点的坐标以及的长，再利用求得点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）求得点的坐标，得到点和点的坐标，分当和时，两种情况讨论，利用两点间的距离公式求解即可；
（3）利用平行四边形的性质得到，利用（2）的结论分两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点，
令，则；令，则；
∴，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由题意得，且，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
∴当时，，
当时，，
综上，；
（3）解：∵轴，即，
∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
综上，符合条件的值为秒或秒．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点，勾股定理，平行四边形的性质等知识点，灵活运用所学知识点解题是本题的关键．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，且，，过作交轴和轴于点和点，过点作轴的垂线，交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)在第一象限内，是否存在P，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接，线段上有一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒．连接，求的面积与运动时间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)
【分析】（1）根据已知条件和含30度角的直角三角形的性质求出点E和点F的坐标，利用待定系数法可求直线的解析式；
（2）分四种情况：当，时；当，时；当，，且点P在左侧时；当，，且点P在右侧时，通过作辅助线构造全等三角形，利用垂直平分线的性质等，分别求解即可；
（3）先证，分两种情况，当点N在线段上时，当点N在线段上时，用含t的代数式表示出和点P到的距离，然后代入三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：，，
是等边三角形，，
，
，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，将，，代入：
得，
解得，
设直线的解析式为；
（2）解：如图，作轴于点B，
是等边三角形，，，
，
．
当，时，作轴于点，如图：
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
；
当，时，作交的延长线于点，如图：
同可证，
，，
，，
；
当，，且点P在左侧时，作轴于点，连接交延长交于点K，如图：
，，
垂直平分，
，，
，
，， ，
，
，
，
，，
；
当，，且点P在右侧时，作轴于点，如图：
同理可得，
则，，
；
综上可知，存在，点P的坐标为或或或；
（3）解：由（1）知，，，
轴，，
垂直平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由题意得：，
当点N在线段上时，，过点N作于点P，如图：
则，，
，
，，
；
当点N在线段上时，，过点N作于点T，如图：
则，，
，
，，
；
综上，．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，二次函数的应用，勾股定理，三角形面积公式等，综合性强，难度大，适当添加辅助线，会运用分类讨论思想是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章《一次函数》单元测试卷
一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有
3．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（ ）
①； ② ； ③； ④当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：
①它们的交点在直线上；②；
③不等式的解集为；
④它们与x轴围成的三角形的面积为．
其中，正确的序号是 ．
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④
5．甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①，之间的距离为；②甲行走的速度是乙的倍；③，．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集是( )
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第二、三、四象限 B．当时，
C．函数值随自变量的增大而减小 D．图象与轴交于点
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．点的坐标为 D．的周长为
10．如图，等腰直角三角形纸片，底边长为，边长为的正方形纸片的边在直线上，设长为，两个纸片重叠部分图形的面积为，则与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．在高速公路上有、、三地，地位于、两地之间，甲、乙两车分别从、两地出发，沿这条公路匀速行驶同时至地停止．从甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车各自与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示，当甲车出发 时，两车相距．
12．如图，点B、C分别在直线和直线（，为常数）上，A、D是轴上两点，已知四边形是正方形，则的值为 ．
13．已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，则这个一次函数与坐标轴围成的图形面积为 ．
14．如图，正方形的边长为4，分别在x轴、y轴上，点D是边上的动点，将沿着直线：翻折得到，当直线经过的中点E时，则k的值为 .
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线l经过点A，并与x轴交于点B，且，P是直线l上一个动点，若是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
16．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是 ．
①关于的方程的解为；
②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：；
③若（），则；
④若，且，则当时，．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线：；直线l2：，直线上有一点A，且点A的纵坐标是．在直线的右侧作正方形，交直线于点D，交x轴于点E，连接交直线于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①的周长为；
②；
③；
④点P为射线上一动点，的最小值为．
三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．已知和成正比例，当时，．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若点是该函数图象上的一点，求的值．
19．项目化学习
项目背景：某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗．
项目主题：探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．
研究步骤：（1）选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植；
（2）从种植开始每隔两天记录一次数据；
（3）数据分析，形成结论．
数据记录：
已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 …
甲种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 …
乙种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 …
初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系．
问题解决：请根据上述材料完成下列问题．
(1)在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象；
(2)求出关于x的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度；
(3)观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由．
20．茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．为了对中国茶文化有更深的认识，王叔叔开车从家出发，前往离家的某茶园进行参观后，原路返回家中，在整个过程中，王叔叔离家的距离y（km）与离家后的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段y与x之间的函数关系式；
(2)当x的值为多少时，王叔叔距离茶园？
21．为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元．已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．
(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；
(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍．为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售．已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求该函数解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点．
(1)求直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，连接，当时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，便得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与轴、轴交于点，经过点的直线交轴于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)点从点出发沿线段以每秒1个单位长度向终点运动，过点作轴的平行线交直线于点，交直线于点．设线段的长为，运动时间为（秒），求与时间（秒）的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的值．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，且，，过作交轴和轴于点和点，过点作轴的垂线，交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)在第一象限内，是否存在P，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接，线段上有一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒．连接，求的面积与运动时间的函数关系式．
