四川省泸州高级中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（含答案）

泸州高中2024年春期高2023级半期考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项。）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（ ）
A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45°
4．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．5 B． C．1 D．
5．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
8．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案）
9．下面关于空间几何体叙述正确的有（ ）
A．圆柱的所有母线长都相等 B．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
C．一个棱台最少有5个面 D．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
10．下列说法不正确的有（ ）
A．或
B．
C．已知，为非零向量，且，则与方向相同
D．若，则与的夹角是钝角
11．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）
A．是图像的一条对称轴 B．在区间上单调递减
C．是图像的一个对称中心 D．在区间的值域为
12．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若D为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角B的平分线与边相交于点E，且的面积，则的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分。）
13．水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为________．
14．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为________（用坐标表示）．
15．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则AB的长为________．
16．设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若，则正实数t的值为________．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
18．已知函数．
x
（1）用五点作图法作出在一个周期上的图象（完成表格后描点连线）；
（2）若且，求的值．
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
20．已知向量，，．
（1）求函数的解析式及在区间的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
21．某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，，在D处测得，．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
（1）求A，C两处景点之间的距离；
（2）栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，点M，N是边AB上的两个动点，当时，求面积的取值范围；
（3）若点M，N是直线AB上的两个动点，记，，．若恒成立，求的值．
泸州高中2024年春期高2023级半期考试数学试题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D A D C A C AC ABD ACD ACD
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）由题意，
因为，则，得，
则，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
则，
故．
18．解：（1）表格如下图：
0
0 2 0 0
（2），所以，
因为，，
所以，
．
19．解：（1）由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，又，∴，∴，
∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周长为．
20．解：（1）
，
由，，得，，
即函数的单调递增区间为．
∵∴当时，，当时，
所以在区间的单调递增区间，
（2）当时，，
又函数在区间上有且只有两个零点，
所以，解得，
即的取值范围为．
21．解（1）由已知在中，，，，
所以，则为等腰三角形，
则，在中，，，，
则，，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，，
由余弦定理，
即A，C两处景点之间的距离为；
（2）在中，，
在中，因为，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以．
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直．
22．解：（1）由，可得．
因为，所以．因为，所以．
由，可得，即，所以．
由正弦定理可得，则，
可得，
则或（舍去），所以，．
（2）设，在中，由正弦定理得，
所以．
在中，由正弦定理得，
所以．
的面积
．
因为，所以，，，
故面积的取值范围为．
（3）因为，
所以，
则，
即．
由题意，是定值，所以是定值，
所以
因为，为的内角，所以，．
故的值为．