3.4 力的合成与分解（原卷版）（人教版2019必修第一册）高中物理同步讲义练习

3.4 力的合成与分解
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学习目标
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课程标准 学习目标
1．知道合力、分力以及力的合成和分解的概念。 2．理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系。 3．知道共点力的概念，会用作图法、计算法求合力。 4．知道力的三角形定则，会区别矢量和标量。 5．会用正交分解法求分力。 6．会通过实验探究力的平行四边形定则。 1．物理观念：知道合力、分力、力的合成和分解的基本概念， 平行四边形定则是矢量运算法则。 2．科学思维：会利用等效替代法分析合力和分力，会用作图法、计算法求解合力与分力。 3．科学态度与责任：应用力的合成和分解分析生活中的相关问题，培养将物理知识应用与生活、生产的实践意识。
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预习导学
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课前研读课本，梳理基础知识：
一、合力和分力
1．共点力
几个力如果都作用在物体的 ，或者它们的作用线相 ，这几个力叫作共点力．
2．合力与分力
假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的 相同，这个力就叫作那几个力的 ，这几个力叫作那个力的 ．
3．合力与分力的关系
合力与分力之间是一种 的关系，合力作用的效果与分力共同作用的效果相同．
二、力的合成和分解
1．力的合成：求 的过程．
2．力的分解：求 的过程．
3．平行四边形定则：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的 就代表合力的大小和方向，如图所示，F表示F1与F2的合力．
4．如果没有限制，同一个力F可以分解为 对大小、方向不同的分力．
5．两个以上共点力的合力的求法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力．
（二）即时练习：
【小试牛刀1】两个力合成，关于合力这两个力的大小关系正确的说法是（　　）
A．合力总是大于这两个力中的每一个力
B．两个力都增大时合力一定增大
C．合力可以比这两个力中的每一个力都小
D．合力至少大于这两个力中的一个力
【小试牛刀2】如图，甲、乙两位同学分别用力 F1、F2共同提着一桶水，水桶静止； 丙同学单独向上用力F也能提着这桶水，让水桶保持静止，则F1和F2的合力（　　）
A．大于F B．小于F C．等于F D．方向向下
【小试牛刀3】（多选）力的合成和分解在生产和生活中有着重要的作用，下列说法中正确的是（　　）
A．高大的桥要建很长的引桥，减小桥面的倾角，是为了减小汽车重力沿桥面向下的分力，达到行车方便和安全的目的
B．幼儿园的滑梯很陡，是为了增加小孩滑滑梯时受到的重力，使小孩下滑得更快
C．运动员做引体向上（缓慢上升）动作时，双臂张开很大的角度时要比双臂竖直平行时觉得手臂用力大，是由于张开时手臂产生的合力增大的缘故
D．帆船能顺风行驶，说明风力一定能分解出沿船前进方向的分力
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探究提升
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【问题探究1】合力与分力的关系
1．合力和分力的“三性”
2.合力与分力的关系
（1）两分力同向(θ＝0)时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向．
（2）两分力反向(θ＝180°)时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同．
（3）当两个分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，合力的大小取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
（4）合力大小可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力．
【典型例题1】关于合力和分力的关系，下列说法正确的是( )
A．两个力的合力至少大于其中一个分力
B．两个分力的夹角不变，其中一个分力变大，那么合力一定变大
C．两个分力的大小不变，夹角逐渐变大，合力一定变小
D．将某一个确定的力分解成两个分力，其中一个分力的大小确定，那么另外一个分力也唯一确定
【典型例题2】两个共点力的合力F跟它的两个分力之间的夹角θ的关系图像如图所示，则这两个分力的大小分别是（　　）
A．1 N和4 N B．2 N和3 N C．1 N和5 N D．2 N和4 N
【对点训练1】如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　)
A．F2就是物体对斜面的压力
B．物体受N、F1、F2三个力作用
C．物体受mg、N、F1、F2四个力作用
D．F1、F2两个分力共同作用的效果跟重力mg的作用效果相同
【对点训练2】两个力的大小分别为F1和F2，两力同向时，合力大小为A，两力反向时，合力大小为B，当两力互相垂直时合力大小为（　　）
A． B．
C． D．
【问题探究2】力的合成
1．力的合成和分解都遵循平行四边形定则。
2．合力的求解
（1）作图法(如图所示)
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
（2）计算法
两分力共线时：
①若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同。
②若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同。
两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。
以下为求合力的两种常见特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为
【典型例题3】某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，对物体所受的合外力说法正确的是(　　)
【典型例题4】为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是(　　)
A．减小上山车辆受到的摩擦力
B．减小上山车辆的重力
C．减小上山车辆对路面的压力
D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力
【对点训练3】三个共面的共点力大小分别是、、，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是（　　）
A．无论、、如何取值，F大小的取值范围一定是
B．F至少比、、中的某一个大
C．若，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力F为0
D．若不能通过平移使三个力组成三角形，则它们的合力一定不为0
【对点训练4】图示为两个互成角度的共点力、的合力F随（为、的夹角）变化的关系，以下说法正确的是（　　）
A．两个分力的大小分别为3N和5N
B．两个分力的大小分别为1N和6N
C．在夹角为180°时合力最小，且最小值为1N
D．在夹角为0°时合力最小，且最小值为1N
【问题探究3】力的分解的讨论
1．一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的。实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力。
2．一个合力分解为一组分力的情况分析
（1）已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。
甲　　　　　 　乙
（2）已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。
甲　　　　　　 乙
（3）已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
① 当Fsin α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示。
② 当F2＝Fsin α时，有唯一解，如图乙所示。
③ 当F2＜Fsin α时，无解，如图丙所示。
④ 当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示。
【典型例题5】将如图所示的力F分解为F1和F2两个分力，已知F、F1的大小和F2、F之间的夹角α(α<90°)。则下列说法正确的是(　　)
A．若F1>Fsin α，则F2一定有两解
B．若F1＝Fsin α，则F2有唯一解
C．若F1D．若F1>F，则F2一定无解
【典型例题6】在现实生活中，力的分解有着广泛的应用。一卡车陷入泥坑中，在紧急状况下，我们可以按如图所示的方法，用钢索把卡车和木桩拴紧，在钢索的中央用较小的垂直于钢索的侧向力F就容易将卡车拉出泥坑。下列说法正确的是（　　）
A．力F一定比它沿钢索分解的两个分力都大
B．一个较小的力F可以分解为两个较大的分力
C．力F的大小等于沿钢索分解的两个分力大小之和
D．当力F作用于钢索时，若钢索上的力一定，钢索形成的夹角越大，力F就越大
【对点训练5】把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A.F　　　　　　　 B．F
C.F D．F
【对点训练6】如图所示漫画中的大力士用绳子拉动汽车，绳中的拉力为F，绳与水平方向的夹角为θ。若将F沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为(　　)
A．F sin θ B．F cos θ
C． D．
【问题探究4】力的正交分解法
1.力的正交分解法
把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法．
如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则
Fx＝Fcos αFy＝Fsin α
2．正交分解法求合力
(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋….
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α则tan α＝.
【温馨提示】　正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法。
【典型例题7】拖拉机拉着耙前进时，拖拉机对耙的拉力大小为F，F斜向上方、与水平方向的夹角为。将F分解到水平和竖直方向，则水平方向分力的大小为（　　）
A．Fsin B．Fcos C．Ftan D．
【典型例题8】减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全，当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，图中弹力F的画法正确且分解合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【对点训练7】科学地佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求耳朵受到口罩带的作用力。
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体系构建
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记忆清单
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一、合力与分力的理解
（1）把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代的关系，不能认为在这两个分力的方向上有两个施力物体.
（2）一个已知力和它的两个分力是同一性质的力，而且产生于同一个物体，作用于同一个物体。
二、力的分解是力的合成的逆运算，在力的分解中，合力真实存在，分力不存在。
合力不一定比分力大，如两个分力反向，合力等于两个分力之差，合力可能比每一个分力都小，也可能比其中一个分力小.
三、解答有关滑轮问题的注意事项
绳跨过滑轮时，两段绳上拉力的大小相等，而如果绳是打结固定的，则不同段绳上力的大小不一定相同.（1）连接处为挂钩、光滑的圆木棒或圆柱体均等效为滑轮，只改变力的方向，不改变力的大小.
（2）结点和滑轮是有明显区别的，绳上力的大小并不像过滑轮绳中的力那样相等，需要利用平行四边形定则解答.
四、求多个力合成有几种巧妙的方法
（1）巧用分组：同一直线上的力优先分为一组，再对各力进行合成.
（2）巧用特殊角：比如120°、60°等.
（3）巧用对称：利用力的对称性，找出它们之间夹角的关系和分力的关系，能抵消就抵消.
五、.由力的三角形定则求力的最小值
（1）当已知合力F及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是两个分力垂直，如图甲所示，最小值F2=Fsin α。
（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是分力F2与合力F垂直，如图乙所示，最小值F2=F1sin α。
（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是已知大小的分力F1与合力F同方向，最小值F2=IF-F1I。
① 正交分解法适用于三个或三个以上力的合成。
② 分解的目的是为了更方便地合成，将力的矢量运算转化为代数运算。
③ 若F＝0，则可推出Fx＝0，Fy＝0。这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法，以后常常用到。
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强化训练
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1. 某同学在单杠上做引体向上，在下列四个选项中双臂用力最小的是　(　　)
2．如图甲所示，射箭时，释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)(　　)
A．53° B．127° C．143° D．106°
3.用斧头劈木柴的情景如图甲所示。劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，当在劈背加一个力F时的受力示意图如乙所示，若不计斧头的重力，则劈的侧面推压木柴的力F1为(　　)
A． B． C． D．
4.大桥的引桥可视为斜面。港珠澳大桥某处引桥的角为θ，引桥上行驶的汽车，所受重为G按效果可沿斜面和垂直斜面两方向分解，如图所示，沿斜面方向的分力为（　　）
A．Gcosθ B． C．Gsinθ D．
5．如图，轻杆左端与固定在墙上的光滑铰链A连接，轻绳的一端固定在墙上C点，另一端连在轻杆上的B点，一质量为m的物体悬挂于B点且保持静止时，轻杆水平且∠ABC=θ。若重力加速度大小为g，轻绳BC所受拉力为T，轻杆所受压力为N。则（　　）
A．T=mg， B．，
C．，N=mgtanθ D．，N=mgtanθ
6．车载手机支架是一种非常实用的小工具，可将其简化成相互垂直的斜面AB和斜面BC（如图），斜面BC与水平面的夹角为θ，质量为m的手机在两个斜面之间保持静止，重力加速度为g。将重力沿AB、BC方向分解，则沿斜面AB的分力大小为（　　）
A．mgsinθ B．mgcosθ C． D．
7．（多选）李强同学设计的一个小实验如图所示，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止。通过实验会感受到（ ）
A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A
C．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大
8.两个力F1和F2间的夹角为θ(0≤θ≤180°)，两力的合力为F，以下说法正确的是(　　)
A．若F1和F2大小不变，则θ角越大，合力F就越大
B．合力F总比F1和F2中的任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能增大，也可能减小
9.如图所示，重力为G的风筝用轻细绳固定于地面上的P点，风的作用力垂直于风筝表面AB，风筝处于静止状态。若位于P点处的拉力传感器测得绳子拉力大小为T，绳与水平地面的夹角为α，则风筝表面与水平面的夹角φ满足(　　)
A．tan φ＝　 B．tan φ＝
C．tan φ＝　 D．tan φ＝
10.（多选）一物体受三个共点力的作用，下面4组组合可能使物体处于平衡状态的是（　　）
A．F1=4N、F2=5N、F3=9N B．F1=8N、F2=2N、F3=11N
C．F1=10N、F2=8N、F3=7N D．F1=7N、F2=1N、F3=5N
11．如图所示，是等边三角形的中心，是三角形中的任意点，如果作矢量、、分别表示三个力，三个力的方向如图中箭头所示，则这三个力的合力大小用的长度表示为（　　）
A． B． C． D．
12．射箭是奥运会比赛项目之一，如图甲为运动员射箭的场景。已知弓的顶部跨度为l，弦均匀且弹性良好，其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为图乙，假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为（弹性限度内），则箭被发射瞬间所受的最大弹力为（设弦的弹力满足胡克定律）（　　）
A．kl B． C． D．2kl
如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO（AO>BO）悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则（　　）
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
14.在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N，方向如图所示，求它们的合力。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
15.上海市的杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面迭合梁斜拉桥，如图1所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图2所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？
　
16．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为多少？