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中考数学冲刺练压轴题——二次函数综合题（原卷版）
1．定义：平面直角坐标系中，若点，点，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“k级变换点”？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（2）点A为直线：上的一点，它的“k级变换点”B在直线上，直接写出直线的函数表达式．
（3）若关于x的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
2．如图，平面直角坐标系中，，，，点为上一点，交于点，且，点是点关于原点的对称点．
（1）求点的坐标；
（2）求的值；
（3）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由．
3．二次函数交x轴于点和点，交y轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为，当四边形的面积为12时，求t的值；
（3）如图2，过点C作轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．是否存在点M使为直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
4．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
5．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O 函数”．这组点称为“HY点”．例如：在函数上，点，在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“ O 函数”，点与点则为一组“HY点”．
（1）请判断函数和是否互为“O 函数”，若是，请写出它们的“HY点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数和函数互为“ O 函数”，求n的最大值并写出此时的“HY点”；
（3）已知二次函数（）与互为“O 函数”且有且仅存在一组“HY点”，如图，若二次函数的顶点为，与轴交于，其中，，过顶点作x轴的平行线l，点在直线l上，记的横坐标为，连接，，．若，求t的最小值．
6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”．
（1）判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是______（填序号）．
（2）若函数y=2x-4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点C和D．
①求的取值范围；
②若的面积为，求的值．
（3）若三个不同的点均在二次函数（a，b，c为常数，且）的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围．
7．【发现问题】
数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题：
例：如图1，在中，点D是射线上一点，连接，若，求证．
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
小睿同学经过分析、思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中，发现了一些规律．
【提出问题】
如图2，点B恰好与点重合，边在x轴上，若点D的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点C的位置发生变化；小睿同学通过描点、观察，提出猜想；按此方式描出的若干个点C都在某二次函数图象上．
【分析问题】
（1）当时，若，所对应的点C的坐标为______．
【解决问题】
（2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想．
【深度思考】
（3）点C的坐标为，当时，n的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点C与点B重合时，依然满足）
8．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：；
（3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
9．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
10．如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式和b的值．
（2）在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
11．已知二次函数（a为常数且）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．
①直接写出a的取值范围；
②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．
12．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？
（3）如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．
13．如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点．设点的横坐标为，试用含的代数式表示的值，并求的最大值．
14．已知：关于的二次函数．
（1）若函数的图象过点，求与的关系；
（2）如图，若函数的图象与轴有两个公共点，，并与动直线：交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由．
15．如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
（3）若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
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中考数学冲刺练压轴题——二次函数综合题（解析版）
1．定义：平面直角坐标系中，若点，点，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“k级变换点”？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（2）点A为直线：上的一点，它的“k级变换点”B在直线上，直接写出直线的函数表达式．
（3）若关于x的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
【答案】
【小问1】存在，
【小问2】直线：
【小问3】
【解析】
【详解】
【分析】
（1）先求出的“k级变换点”的坐标，将该坐标代入反比例函数关系式，即可求得答案；
（2）先设点A的坐标为，求出点B的坐标为，即知点B在直线上，即得答案；
（3）先根据已知求得点A、点B所在的直线为，得到，是一元二次方程的两个根，然后根据韦达定理求得，再求出，令，则，所以，最后根据二次函数的性质即得答案．
【小问1详解】
存在，；理由如下：
由题意得，的“k级变换点”为，
将代入反比例函数表达式得，
解得；
【小问2详解】
直线的函数表达式为；理由如下：
点A在直线上，
设点A的坐标为，
点A的“k级变换点”为点B ，
点B的坐标为，
点B在直线上，
即直线的函数表达式为；
【小问3详解】
点，的“1级变换点”坐标为，，
将，代入得，
则，
即点A在直线上，
同理可得，点B在直线上，
点A、点B所在的直线为，
抛物线与直线的交点为，，
联立方程组得，
消去y得，
整理得，
，是一元二次方程的两个根，
由，，可知，，
，
，，
，
由，，可知，
，
，
解得，
，
令，则，
，
即，
当时，，
当时，，
．
【点睛】
本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系，解不等式等知识,涉及新定义问题，求出的表达式及求的取值范围是解答本题的关键．
2．如图，平面直角坐标系中，，，，点为上一点，交于点，且，点是点关于原点的对称点．
（1）求点的坐标；
（2）求的值；
（3）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】
【小问1】
【小问2】3
【小问3】存在，．
【解析】
【详解】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得，进而在中，解直角三角形得，从而即可得解；
（）由点是点关于原点的对称点得，利用待定系数法求得直线：，直线为：，联立求得，从而根据，列方程求解得，，利用面积公式即可得解；
（）由得，由二次函数，其图象经过点，得，当时，，，对于任意实数的同一个值，都有成立．从而得，，于是二次函数，当时，，同理，当时，解得，进而即可求得二次函数．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：点是点关于原点的对称点．
∴，
∵，
∴，，
设直线为：，
把，代入得，
，
解得，
∴直线：，
设直线为：，
把，代入得，
，
解得，
∴直线为：，
联立和得，
，解得，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：存在满足条件的二次函数．
由得，
∴二次函数，即
∵，
∴对于取任意实数时，总有，二次函数，其图象经过点，
∴，
当时，，，对于任意实数的同一个值，都有成立．
∴，
解得，，
二次函数，
当时，，即
∴>，，
∴
∴，
同理，当时，解得
综述：，，，
所以，存在二次函数，其图象经过点，且对于任意实数的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解直角三角形，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解与两直线交点，熟练掌握二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式以及解直角三角形是解题的关键．
3．二次函数交x轴于点和点，交y轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为，当四边形的面积为12时，求t的值；
（3）如图2，过点C作轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．是否存在点M使为直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】
【小问1】
【小问2】
【小问3】存在，或或或
【解析】
【详解】
【分析】
（1）由题意可设该抛物线解析式为交点式：，再将代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）连接，延长，交y轴于点Q．由抛物线解析式可求出，进而可求出直线的解析式为：，即得出．由旋转的性质可得，即证明四边形是平行四边形，得出．再根据，即得出，求出的长，即可求出t的值；
（3）设，分类讨论：①当，且点P位于点B右侧时时，②当，且点P位于点B左侧时时，③当时和④当时，结合解直角三角形和等腰直角三角形的性质，可分别列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数过点，
∴设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，连接，延长，交y轴于点Q．
由（1）得，
∴抛物线顶点，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∴．
∵抛物线绕点旋转，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：存在．
设，
分类讨论：①如图，当时，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，，
经检验，是原方程的解．
∵此时点P位于B点右侧，
∴舍去，
∴此时；
②如图，当时，
同理可得：，
解得：（舍去），，
∴M点的坐标为，
③如图，当时，
∴是等腰直角三角形，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∴M点的坐标为；
④如图，当时，
∴是等腰直角三角形，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：（舍去），
∴M点的坐标为．
综上所述：满足条件的M点的坐标为或或或．
【点睛】
本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识点，并利用数形结合的思想是解题关键．
4．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】
【小问1】k的值为，m的值为3，n的值为2；
【小问2】①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析；
【小问3】能构成正方形，此时．
【解析】
【详解】
【分析】
（1）根据题意得到即可解答；
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
（3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
【小问2详解】
解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
【小问3详解】
解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
5．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O 函数”．这组点称为“HY点”．例如：在函数上，点，在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“ O 函数”，点与点则为一组“HY点”．
（1）请判断函数和是否互为“O 函数”，若是，请写出它们的“HY点”，若不是，请说明理由；
（2）已知函数和函数互为“ O 函数”，求n的最大值并写出此时的“HY点”；
（3）已知二次函数（）与互为“O 函数”且有且仅存在一组“HY点”，如图，若二次函数的顶点为，与轴交于，其中，，过顶点作x轴的平行线l，点在直线l上，记的横坐标为，连接，，．若，求t的最小值．
【答案】
【小问1】是，“HY点”为与或与
【小问2】n的最大值为2019；此时的“点”为与
【小问3】t的最小值为
【解析】
【详解】
【分析】
（1）设在上，则在上，由此得到方程组，求解方程组即可；
（2）设在上，则在上，由此得到方程组，整理得，当时，n有最大值2019，问可得解；
（3）设在上，则在上，由此可得方程组，整理得，由题意可得，即，从而得到顶点M的纵坐标为，又由根与系数的关系可得，，则，证明，得到，可得，所以当时，t有最小值．
【小问1详解】
设在上，则在上，
∴，
解得或，
根据方程有解，可得函数和互为“O 函数”，
∴“HY点”为与或与；
【小问2详解】
设在上，则在上，
∴，
∴，
当时，n有最大值2019，
当时，，即，
∴，
此时“HY点”为与；
【小问3详解】
设在上，则在上，
∴，
整理得，
∵有且仅存在一组“HY点”，
∴，即，
∴顶点M的纵坐标为，
∵，
∴，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵P的横坐标为，轴，顶点M的纵坐标为，
∴，
∴，
∴当时，t有最小值．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”．
（1）判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是______（填序号）．
（2）若函数y=2x-4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点C和D．
①求的取值范围；
②若的面积为，求的值．
（3）若三个不同的点均在二次函数（a，b，c为常数，且）的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围．
【答案】
【小问1】①②
【小问2】①；②
【小问3】
【解析】
【详解】
【分析】
（1）根据“友好函数”的定义逐个判断即可；
（2）①求出函数的“友好函数”解析式为，由方程 有两个不相等的实数根，且两根均为正数，可得且，即可解得答案；
②记直线与坐标轴的交点为，，则，，设，的横坐标分别为，，知，，根据，可得，结合，，可得的值为；
（3）由得的“友好函数”解析式为，根据，，，，可得，而抛物线对称轴为直线，即，故，可得：，设，即可得，又恒成立，解得．
【小问1详解】
图象上的点和图象上的点关于成中心对称，
∴和是“友好函数”；
图象上的点和图象上的点关于成中心对称，
∴和是“友好函数”；
图象上的点和图象上的点不关于成中心对称，
∴和不是“友好函数”；
∴互为“友好函数”的是①②，
故答案为：①②；
【小问2详解】
①根据“友好函数”的定义得：，
∴，
∴，即函数的“友好函数”解析式为，
∵反比例函数的图象与直线在第一象限内有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均为正数，
整理得：，
∴且，
解得：；
②如图，设C，D的坐标分别为
∴是方程的两根，
∴，且
故
【小问3详解】
由得：，
∴的“友好函数”解析式为，
∵在函数 的上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线，即，
解得:，
设，
当时，；
当时，；
∵恒成立，
∴w≥-1，
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，三角形面积，函数与方程的关系等知识，解题的关键是读懂新定义，列出相关的方程和不等式解决问题．
7．【发现问题】
数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题：
例：如图1，在中，点D是射线上一点，连接，若，求证．
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
小睿同学经过分析、思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中，发现了一些规律．
【提出问题】
如图2，点B恰好与点重合，边在x轴上，若点D的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点C的位置发生变化；小睿同学通过描点、观察，提出猜想；按此方式描出的若干个点C都在某二次函数图象上．
【分析问题】
（1）当时，若，所对应的点C的坐标为______．
【解决问题】
（2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想．
【深度思考】
（3）点C的坐标为，当时，n的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点C与点B重合时，依然满足）
【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或
【解析】
【分析】
（1）设点C坐标为，根据题意得出当A在点B右侧时，；当A在点B左侧时，，然后利用发现问题中的结论代入即可得出结果；
（2）设点C坐标为，根据题意表示出当A在点B右侧时，，当A在点B左侧时，，再由题意即可确定函数解析式；
（3）根据题意得出，，或，，确定，得出对称轴为直线，然后分情况分析：①当：时，②当时，即时；③当，时，即时；④当，时，即时；分别求解即可
【详解】
解：（1）设点C坐标为，
当A在点B右侧时，；当A在点B左侧时，
∵，
∴当A在点B右侧时，，
解得：，
当A在点B左侧时，，
解得：，
∴点C的坐标为
（2）设点C坐标为
当A在点B右侧时，
当A在点B左侧时，
∵，
又∵
∴当A在点B右侧时，
当A在点B左侧时，
综上所述
点C在二次函数的图象上
（3）由题意，得：
，，或，
∴
∵
∴
∴二次函数的图象开口向上
对称轴为直线
①当：时
当时
n随m增大而增大
∴当时，
当时，
∵
∴
②当时，即时
当时
n随m增大而减小
∴当时，
当时，
∵
∴
③当，时，即时
∴当时，
当时，
∵
∴
，
都不合题意，舍去
④当，时，即时
∴当时，
当时，
∵，
∴
，
都不合题意，舍去
综上所述：或．
【点睛】
题目主要考查相似三角形的性质及坐标与图形，二次函数的应用，最值问题等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是解题关键．
8．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：；
（3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
【答案】
【小问1】存在，
【小问2】见解析
【小问3】
【解析】
【详解】
【分析】
（1）先求出的“级变换点”的坐标，在代入反比例函数关系式，即可求得答案；
（2）设A的坐标为，则点的坐标为，所以，点在直线上，得，，则，再由即可求得的最小值；
（3）先求点、的“1级变换点”的坐标，然后代入，求得点A、所在的直线为，所以抛物线与直线的交点为，，再根据一元二次方程根与系数的关系逐步求得，同时由， ，逐步推得，令，进一步化简得，最后根据二次函数的最值求法，即可得到答案．
【小问1详解】
存在，理由：由题意得，的“级变换点”为，将代入反比例函数表达式得：，
解得：；
【小问2详解】
证明：点A在直线上，所以设A的坐标为，则由题意得，点的坐标为，所以，点在直线上，
则，，
则，
∵，则，即；
【小问3详解】
解：点、的“1级变换点”坐标为、，
将、代入得，
则，即点A在直线上，同理可得，点在直线上，
即点A、所在的直线为，
∴抛物线与直线交点为，，
∴、是一元二次方程的两个根，
由，可知，，，
∴，
，，
∴，
由， 可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，
令，则，
即，
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
9．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【答案】
【小问1】①1；②；③1
【小问2】或．
【解析】
【详解】
【分析】
（1）①当时，，可知不在二次函数图像上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为p，则，，由菱形的性质得：，，则轴，，根据，即，然后确定点D的坐标即可；③如图2，连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，由正方形的性质可知，E为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，然后代入计算即可；
（2）由题意知，分①当在y轴右侧时，②当在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，三种情况求解；①当在y轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在y轴左侧时，求解过程同（2）①；③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，且不垂直于y轴时，同理可求，当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，且垂直于y轴时，由正方形、二次函数的性质可得．
【小问1详解】
①解：当时，，
∴不在二次函数图像上，
将代入，解得，
故答案为：1；
②解：由①知，二次函数解析式为，
设菱形的边长为p，则，，
由菱形的性质得：，
∴轴，
∴，
∵，
∴，解得（舍去），（舍去），，
∴；
③解：如图2：连接、交点为E，过B作轴于M，过C作于N，
由正方形的性质可知，E为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知: ，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，且值为1；
【小问2详解】
解：由题意知，分①当在y轴右侧时，②当在y轴左侧时，③当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，三种情况求解；
①当在y轴右侧时，
∵，
同理（1）③，，，
由题意知：，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化简得，
∵
∴；
②当在轴左侧时，
同理可求；
③当B在y轴左侧，D在y轴右侧，且不垂直于y轴时，
同理可求，
当B在y轴左侧，D在y轴右侧，且垂直于y轴时，
由正方形、二次函数的性质可得，；
综上所述，或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与几何综合、正方形、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握与灵活运用相关知识是解题的关键．
10．如图（1），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式和b的值．
（2）在二次函数位于轴上方的图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
【答案】
【小问1】，；
【小问2】不存在．理由见解析
【小问3】1
【解析】
【详解】
【分析】
（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值；
（2）不存在．设，根据，可得，根据△，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论．
【小问1详解】
二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得：，
二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
，
二次函数的解析式为，；
【小问2详解】
不存在．理由如下：
如图，设，
，，，
，，，
点在二次函数位于轴上方的图象上，且，
，
整理得：，
，
方程无实数根，
不存在符合条件的点；
【小问3详解】
如图，设交轴于点，
，，
，
点与点关于原点对称，
，
，
，
，
为圆的直径，
，
平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，
②当点与点重合时，此时点与点重合，
，，
，
综上所述，的值为1．
【点睛】
本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键．
11．已知二次函数（a为常数且）．
（1）求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．
①直接写出a的取值范围；
②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．
【答案】
【小问1】见详解
【小问2】①或；
②当时，
当时，函数的图像与函数没有交点；
当时，函数的图像与函数有1个交点；
当或时，函数的图像与函数有2个交点；
当时，函数的图像与函数有3个交点；
当时，函数的图像与函数有4个交点．
当时，
当时，函数的图像与函数没有交点；
当时，函数的图像与函数有1个交点；
当或时，函数的图像与函数有2个交点；
当时，函数的图像与函数有3个交点；
当时，函数的图像与函数有4个交点．
【解析】
【详解】
【分析】
（1）令，得到一元二次方程，证明即可；
（2）①当，，则 与x轴交于，由或，得或；
②讨论和的情况，逐个画图，找临界状态即可，重点在于画出函数的图像．
【小问1详解】
解：当，则，，
∵，
∴，
∴不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
【小问2详解】
①当，，
∴ 与x轴交于，
∵或，
∴或；
②当时，
第一种情况，直线经过时，得，
∴时，函数的图像与函数有一个交点，如图示：
第二种情况：时，函数的图像与函数没有交点；
第三种情况：直线经过时，则，此时有3个交点，如图示：
第四种情况：当时，有2个交点，如图示：
当直线与函数相切时，有2个交点，如图示：
联立直线与函数
得，
∴，由得：，
∴第五种情况：时，直线与函数有2个交点；
第六种情况：当，有4个交点，如图示：
第七种情况：当时，有2个交点，如图示：
综上，当时，
当时，函数的图像与函数没有交点；
当时，函数的图像与函数有1个交点；
当或时，函数的图像与函数有2个交点；
当时，函数的图像与函数有3个交点；
当时，函数的图像与函数有4个交点．
当时，
同理可求：
当时，函数的图像与函数没有交点；
当时，函数的图像与函数有1个交点；
当或时，函数的图像与函数有2个交点；
当时，函数的图像与函数有3个交点；
当时，函数的图像与函数有4个交点．
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴交点问题，与直线的交点问题，与不等式的关系，题目综合性强，难度大．
12．如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？
（3）如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】
【小问1】
【小问2】当时，的值最大，最大值为；
【小问3】或或．
【解析】
【详解】
【分析】
（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先利用待定系数法求得直线的表达式为，根据题意设，，，则，证明，利用锐角三角函数和坐标与图形性质得，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，抛物线对称轴交x轴于点H，交矩形边于G，分三种情况：①点O的对称点恰好落在对角线上时；②点O的对称点恰好落在对角线上时，③点O的对称点恰好落在对角线的延长线上时，分别画出图形，利用对称性质、坐标与图形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等分析求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，
∴，解得，
∴该二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：设直线的表达式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
∵抛物线上的动点在第一象限，且横坐标为，轴，交直线于点，
∴，，
∴，
∵，轴，
∴，又，
∴，
∴，即，
∵点坐标为，点坐标为，
∴，，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设抛物线对称轴交x轴于点H，交矩形边于G，则，，，
若点O的对称点恰好落在对角线上时，如图，连接，，
则垂直平分，
即，
∴，
∴,
∴，则，
∴，解得，则；
若点O的对称点恰好落在对角线上时，如图，设与相交于点K，
由对称性质得，，
∵，
∴，则，
∴，
∵在抛物线对称轴上，是矩形的对角线，
∴K为的中点，则，，
∴在中，，
∴，
∴，则；
若点O的对称点恰好落在对角线的延长线上时，如图，过作轴于K，连接交延长线于M，
由对称性质得，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，则，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，则，
综上，满足条件的点Q的坐标为或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
13．如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点．设点的横坐标为，试用含的代数式表示的值，并求的最大值．
【答案】
【小问1】
【小问2】或
【小问3】
【解析】
【详解】
【分析】
（1）根据题意求出点的坐标，根据题意求出解析式即可；
（2）当点在直线的上方时，过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标；当点在的下方时，点和点重合，舍去；
（3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴点，
设二次函数的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：如图：
当点在直线的上方时，
过点作轴，交的延长线于点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∵二次函数的图象与轴交于点、，
∴对称轴为，
∴，
即，
则，，
∵，
∴，
即，
解得：，
当时，，
当时，，
∴或；
当点在的下方时，
同理得出，
∴，
∴，
此时点和点重合，故舍去，
∴或；
【小问3详解】
解：如图：
作于，交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
14．已知：关于的二次函数．
（1）若函数的图象过点，求与的关系；
（2）如图，若函数的图象与轴有两个公共点，，并与动直线：交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】
【小问1】
【小问2】①6；②当时，存在最大值，最大值为
【解析】
【详解】
【分析】
（1）直接代入，化简即可；
（2）①如图，设直线与交于点，待定系数法求得抛物线的解析式为，当时，，得到，，求得直线的解析式为，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②如图，设直线交轴于，由①得，，，，，，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵函数的图象过点，
∴代入得：，
化简得：；
【小问2详解】
①如图，设直线与交于点，
根据题意得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
，点为抛物线顶点，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
的面积；
②存在最大值，
理由：如图，设直线交轴于，
由①得，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
当时，存在最大值，最大值为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．
15．如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
（3）若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
【答案】
【小问1】抛物线表达式为；所在直线的函数表达式为；
【小问2】；
【小问3】点的横坐标是或或或．
【解析】
【详解】
【分析】
（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；
（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入中得：
，
∴，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：已知，
∴，则，
如图所示，取点，作轴于点，使得，，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同（1）法可得直线解析式为，
联立，
解得或，
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
∵，，
∴，
∴，
如图所示，
当点在直线上方时：
将直线向上平移1个单位，得到，设直线与轴的交点为，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴点为直线与抛物线的交点，
令，解得：，
当点在直线下方时，
将直线向下平移1个单位，得到直线，则点为直线与抛物线的交点，
令：，
解得：．
综上：点的横坐标为：或或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，一次函数图象的平移等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
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