2023-2024学年山东省聊城市水城中学等校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市水城中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正方体的棱长从增加到时，正方体的体积平均膨胀率为( )
A. B. C. D.
2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个数的和是，求这四个数的和为( )
A. B. C. D.
3.设定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知等差数列的前项和为，且点在直线上，则( )
A. B. C. D.
5.下列式子不正确的是( )
A. B.
C. D.
6.在等差数列中，，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.下列不等式中，对任意的恒成立的是( )
A. B.
C. D.
8.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的条直线把平面分为部分，则”在证明第二步归纳递推的过程中，用到( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等差数列中，，，且，则使的前项和成立的自然数可能为( )
A. B. C. D.
10.对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
当时，，不等式成立；
假设当时，不等式成立，即，
则当时，．
故当时，不等式成立．
则下列说法错误的是( )
A. 过程全部正确 B. 的验证不正确
C. 的归纳假设不正确 D. 从到的推理不正确
11.设函数，则( )
A. 有两个极大值点 B. 有两个极小值点
C. 是的极大值点 D. 是的极小值点
12.在数列中，，则( )
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 当时，单调递增
D. 数列的前项和的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数在区间上的平均变化率为______．
14.已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则的值为______．
15.定义在区间上的函数，则的单调递减区间是______．
16.已知函数，若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，则实数的取值范围______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设数列满足n，，，，．
当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；
当时，用数学归纳法证明对所有，有．
18.本小题分
求曲线在点处的切线方程；
求过点与曲线相切的切线方程．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若在上恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
设函数．
若在处取得极值，求实数的值；
若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设等比数列，的前项和为，若且，，求；
设，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正方体的棱长从增加到时，
正方体的体积平均膨胀率为．
故选：．
利用平均变化率求解．
本题主要考查平均变化率以及正方体的相关知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，设这四个数为，，，，
则，解得，或，
所以这四个数为，，，或，，，，
所以这四个数的和为．
故选：．
根据题意，可设这四个数为，，，，从而，进一步求出这四个数即可得出这四个数的和．
本题考查等差数列与等比数列的综合问题，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据导数与函数单调性的关系可得函数在区间上的单调性为：增，减，增，减，
结合函数的单调性可得函数有个极值点．
故选C．
导数的正负与函数单调性的关系是：导数小于则函数是减函数，导数大于则函数是增函数，进而可以分析出正确答案．
解决此类问题的关键是准确理解导数的符号与原函数单调性之间的关系，导数小于则函数是减函数，导数大于则函数是增函数，进而可以分析出正确答案．
4.【答案】
【解析】解：因为点在直线上，所以；
因为等差数列满足，
所以．
故选：．
利用等差数列的性质求解，根据可求答案．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于选项，，对；
对于选项，，对；
对于选项，，错；
对于选项，，对．
故选：．
利用导数的运算法则逐项判断，可得出合适的选项．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，其前项和为，
，
，
解得，
则．
故选：．
利用等差数列前项和公式，由，求出，由此能求出的值．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，当时，，即不成立，故错误；
对于，当时，由可得不成立，故错误；
对于，令，则，
所以在上单调递增，
所以，即对任意，恒成立，故正确；
对于，取，则此时，故错误．
故选：．
举反例可以判断，；
对于，令，利用导数可得，从而即可判断；
对于，举反例，即可判断．
本题考查了导数的综合运用、函数恒成立问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：当时，有
那么当时，，
从“到”左端需增加的代数式，
在证明第二步归纳递推的过程中，用到，
故选：．
写出当时和时的表达式，把写出的表达式相减，得到结论．
本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，由，，得，
又，所以，即，
故，，
故使的前项和成立的最大的自然数为．
故选故选：．
根据，，又，可得所以，进一步分析可得，，从而可确定使的前项和成立的最大的自然数为．
本题考查考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：适合命题的第一个自然数，验证时过程正确；
假设当时，不等式成立，即，该假设正确；
在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确，
故D错误，ABC正确．
故选：．
根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论．
本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，
于是
极小值 极大值 极小值
因此函数有个极小值点，以及个极大值点．
故选：．
求出函数的导数，讨论其符号后可得正确的选项．
本题主要考查利用导数求函数的极值点，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，
可得，
因为，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
则，
即A错误，B正确；
当时，，
所以数列单调递增，
即C正确；
因为，
所以当时，，
当时，，
所以的最小值为，
即D错误．
故选：．
由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，然后结合等比数列通项公式的求法及数列的单调性逐一判断即可．
本题考查了数列的递推式，重点考查了等比数列通项公式的求法，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得平均变化率为：
．
故答案为：．
利用平均变化率的概念和公式运算即可得解．
本题主要考查平均变化率的求解，考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，，成公比为的等比数列
所以，
整理得，，
则．
故答案为：．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意．
令，即，得，
因为，所以当时，由，可得；
当时，由，可得，又为奇函数，
故的单调递减区间是．
故答案为：．
根据求出，令，解不等式即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
不妨设，
若对于内的任意两个数，，都有恒成立，
即恒成立，
不妨设，函数定义域为，
要使恒成立，
此时函数在定义域上单调递减，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递减，
此时，
所以，
解得．
故答案为：．
由题意，设，将问题转化成在上恒成立，构造函数，此时在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
17.【答案】解：由，则，
则，
．
猜想：．
证明：当时，，不等式成立；
假设时不等式成立，即，
则，
即时，不等式仍成立．
综上，对于所有，都有．
【解析】分别取，，依次计算得出，猜想：；
利用数学归纳法证明即可．
本题考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以，
所以在点的切线斜率为：，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即．
设切线的斜率为，直线与曲线相切的切点坐标为，则直线方程为，
因为，所以，
又点在切线上，所以，
解得，则，
所以直线方程为，即．
【解析】对函数求导，根据导数的几何意义求解即可；
设切线的斜率为，直线与曲线相切的切点坐标为，由导数的几何意义可得，求出，即可求出切线方程．
本题主要考查导数的几何意义，属于中档题．
19.【答案】解：若，则，
，
时，；时，．
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
在上恒成立的最大值，
由可知：时，函数取得最大值，
，
的取值范围是．
【解析】由，可得，利用导数运算法则可得，进而得出其单调区间．
在上恒成立的最大值，利用的结论可得函数的最大值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、等价转化方法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
当时，，
当时，，
所以，
即，
又因为，满足上式，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
因为，
所以．
【解析】利用与的关系得到为等比数列求解即可；
利用裂项相消法求和即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：，
因为在处取得极值，
所以，所以，
当时，，
，，，
所以随着的变化，，的变化情况如下：


单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
在处取得极小值，
所以．
在上恒成立，但不恒为零，
即在上恒成立，但不恒为零，
所以在上恒成立，当不恒为零，
所以需，解得，
当时，不恒为零，所以．
【解析】对求导得，由题可得，解得，将代入验证的极值点，满足题意，故．
对求导得，由题可列出关于的不等式，将，代入解，列不等式，即可得出的取值范围．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
22.【答案】解：
解得，
．
由上可得，，，
即，解得，，
所以．
由知，．
，
．
【解析】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．
由，联立方程求出数列的首项和公差，然后求数列的通项公式；
根据，，求出公比和首项，求出即可；
运用裂项相消法求和
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