2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年海南省海口市琼山中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
2.曲线在点处的切线与轴交点的横坐标是( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则不正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
9.周髀算经中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大尺，则立夏的日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
10.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，，则下列结论不正确的是( )
A. 存在，使得的图象与轴相切
B. 存在，使得有极大值
C. 若，则
D. 若，则关于的方程有且仅有个不等的实根
12.如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是( )
A.
B.
C. ，
D. ，
13.月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念现有名男生、名女生照相合影，若男生甲不站两端且女生必须相邻，则有种排法．( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
14.下列结论正确的是( )
A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为
B. 若向量，且，则
C. 若向量，则在上的投影向量的模为
D. 为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为______．
16.本小题分
已知函数．
若，求函数在点处的切线方程；
设存在两个极值点，且，若，求证：．
17.本小题分
求下列函数的导数：
；
；
；
；
．
18.本小题分
已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为：．
求的值；
求含的项的系数；
求展开式中含的项的系数．
19.本小题分
已知在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知数列中．
求证：是等比数列；
若数列满足，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，则，
由得，
故的单调递减区间是，
故选：．
由导数与单调性的关系求解；
本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，得，则，
曲线在点处的切线方程为，
取，可得．
曲线在点处的切线与轴交点的横坐标是．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在点处的切线方程，取求得值即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式，
由得，得，
即次项为，即的系数为，
故选：．
求出展开式的通项公式，令的次数为，求出的值进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式求出的值是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，由，得，
解得，则选项A正确．选项B错误；
则，选项C正确；
，所以选项D正确．
故选：．
由可得，进一步解得，从而即可对选项进行逐一判断．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由函数的图象可得，
当，时，，
当时，．
由或
解得，，解得，，
综上，不等式的解集为，
故选：．
由函数的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由得到关于的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集．
本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了不等式组的解法，考查了数学转化思想方法，是基础的运算题．
6.【答案】
【解析】解：由，，可得，
，，，，
可得数列是周期为的数列，
则．
故选：．
由数列的递推式计算前几项，可得数列的周期，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题可设圆心为，半径为，
所以且，解得，，
故圆的方程为，即．
故选：．
设圆心为，半径为，根据条件，建立方程组且，求出，，即可求出结果．
本题考查了圆的方程，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
故，
又，
所以切线方程为，即．
故选：．
求导得斜率，即可由点斜式求解方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设十二个节气分别对应等差数列中的前项，且的公差为，
根据题意，有，
则，解得，
立夏的影长为．
故选：．
根据等差数列基本量的计算即可求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由已知得：，
又，所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
因此，
当时，，
相加得：．
故选：．
根据已知的递推关系可以得到为等比数列，再用累加法求解即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题知，当时，
当时，所以在处的切线斜率为，
此时的图象与轴相切．故A正确．
由，当时，，
所以在上单调递减，无极大值，
当时，时时，，
所以的图象先减后增，有极小值无极大值，故B错误．
当时，即，
即令，，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，
，所以，
令，
，
因为，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，
在上单调递减，极大值为，
又时，，所以最大值为，
所以当时，恒成立，即恒成立，故C正确．
由选项的判断知，极小值为，
又时，，所以当时，有且仅有个不等的实根，
故有且仅有个不等的实根，故D正确．
故选：．
对求导，分析单调性即可判断极值，由，可参变分离，根据新函数的单调性极值最值趋势即可判断．
本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于难题．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，属于基础题．
【解答】
解：当时，单调递减，
从图可知，当时，，
所以的单调递减区间为和．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：依题意，把两个女生视为一个整体与个男生排列，甲站中间个位置之一的排列有种，
而名女生的排列有种，
所以符合条件的排列有种．
故选：．
把两个女生视为一个整体与个男生排列，甲站中间个位置之一，再对名女生进行排列作答．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：对于选项A，点关于平面的对称点为，所以选项A错误，
对于选项B，因为，且，所以，得到，所以选项B正确，
对于选项C，因为，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确，
对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且时，，，，四点共面，所以选项D错误．
故选：．
选项A，直接求出点关于平面的对称点，即可判断出选项A的正误；选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出，从而可判断出选项B的正误；选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因，，，显然，
则有，
而，有，则，
从而得数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，整理得，
则，当时，，
所以的值为．
故答案为：．
由数列的递推式推得数列是首项为，公差为的等差数列，由等差数列的通项公式和累乘法，可得所求值．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.【答案】解：当时，，
则，，
切线的斜率，
函数在点处的切线方程是．
证明：，
，
由存在两个极值点，且，
可知方程存在两个互异的正实数根，且，
，，，
，
令，则，
，，在上单调递减，
，又，，
．
【解析】将代入中，求出的导函数，再利用导数的几何意义求解即可；
先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：；
；
；
；
．
【解析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式，是基础题．
18.【答案】解：，．
的展开式的通项为，
令，则含的项的系数为；
由知，
所以展开式中含项为：，
所以展开式中含项的系数为．
【解析】利用二项式系数建立方程即可求解；求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解；根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，
由；
．
【解析】根据等差数列的通项公式进行求解即可；
根据等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可．
本题主要考查等差数列的通项公式，数列的求和，分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：证明：，
，
又，则，
数列是首项为，公比为的等比数列；
由得，即，
，，
两式相减得，
．
【解析】利用数列递推式变形得，利用等比数列的定义，即可证明结论；
由得，即，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等比数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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