2023-2024学年广东省广州十七中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州十七中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数求导正确的是( )
A. B. C. D.
2.函数在上的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为奇数的方法数为
( )
A. B. C. D.
5.函数在区间上有最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
7.若函数是增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，存在极值点的是( )
A. B. C. D.
10.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
11.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列将数列，进行构造，第次得到数列，，；第次得到数列，，，，；；第次得到数列，，，；记，数列的前项为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列中，，且，则其前项和______．
13.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门或门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有______种用数字作答．
14.已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，．
求，的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
求在上的最值．
17.本小题分
设函数．
若曲线在点处的切线方程是，求，的值；
求函数的单调区间及极值．
18.本小题分
已知数列的首项，，，，．
求证：数列为等比数列；
记，若，求最大的正整数．
是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【解答】
解：，，，，
故选：．
【分析】
根据基本导数公式判断即可
本题主要考查基本导数公式，关键是掌握这些公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
故当时取得极大值，也为最大值，．
故选：．
利用导数研究函数在上的单调性，由单调性转化求解函数的最大值．
本题考查利用导数研究函数在区间上的最值问题，属基础题，准确求导，熟练运算，是解决该类问题的基础．
3.【答案】
【解析】解：已知数列满足，，
则，
又，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
即，
则．
故选：．
由题意可得：数列是以为首项，为公差的等差数列，然后结合等差数列的通项公式的求法求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的通项公式的求法，属基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分种情况讨论：选出的个数都是奇数，选出的个数是个偶数和个奇数，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，四个阴数即个偶数：、、、，五个阳数即个奇数：、、、、，
从中任选个，使选出的个数和为奇数，有种情况，
选出的个数都是奇数，有种选法，
选出的个数是个偶数和个奇数，有种选法，
一共有种选法，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为在上有最大值，
所以极大值，
，当时，或，所以，
故选：．
因为所给区间为开区间，所以最值只能在极大值点处取得，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：过点作的平行直线，且与曲线
相切，
设则有
．
，或舍去．
，
．
故选：．
设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点到直线的最小距离．
本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：在上是增函数，
故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，，则为减函数．
．
故选：．
由函数在上是增函数，可得在上恒成立，进而可转化为在上恒成立，构造函数求出在上的最值，可得的取值范围．
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
8.【答案】
【解析】解：在定义域内有两个极值点，
在上有两个不相等的实数根，
即在上有两个不相等的实数根．
令，则，
在上单调递增，在上单调递减．
又当时，；；当时，，
实数的取值范围为．
故选：．
在上有两个不相等的实数根，即在上有两个不相等的实数根，令，求出的单调区间即可．
本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，
其导数，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；
对于，在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；
对于，，定义域为，
其导数，再时，，函数单调递减，
再时，，函数单调递增，
则当时，函数取得极小值，故C正确；
对于，，定义域为，
其导数，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
则当时，函数取得极小值，故D正确．
故选：．
根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可．
本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由，得，则，
，，，，此函数是凸函数；
对于，由，得，则，
，，此函数是凸函数；
对于，由，得，则，
，，此函数是凸函数；
对于，由，得，则，
，，此函数不是凸函数．
故选：．
根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断．
本题主要考查函数恒成立问题，新函数的定义，导数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，第次得到数列，，，此时，
第次得到数列，，，，，此时，
第次得到数列，，，，，，，，，此时 ，
第次得到数列，，，，，，，，，，，，，，，，，此时，
第次得到数列，，，；，此时，
所以，故A项正确；
结合项中列出的数列可得：
，
用等比数列求和可得，
则 ，
又 ，
所以，故B项正确；
由项分析可知，
即，故C项错误；
，故D项正确．
故选：．
根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可．
本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意知，数列是等比数列，且首项，公比，
所以．
故答案为：．
由等比数列的前项和公式，得解．
本题考查数列的求和，熟练掌握等比数列的概念与前项和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：若选门，则只能各选门，有种，
如选门，则分体育类选修课选，艺术类选修课选，或体育类选修课选，艺术类选修课选，
则有，
综上共有种不同的方案．
故答案为：．
利用分类计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设切点为，
函数的导数为，可得切线的斜率为，
即，
解得，即有．
故答案为：．
设出切点的坐标，求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得所求值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
即，，，
则，；
，可得，
则．
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：因为．
所以，
由，可得或，，的变化情况如下：
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，；
由知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以为极大值点，为极小值点，
又，，，，
所以在上的值域为．
【解析】根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，即可求解；
根据已知条件，利用导数求出该函数的极值，再求出端点的函数值，通过比较大小，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：曲线在点处的切线方程是，
所以，，又
则，
解得；
．
由，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
此时是的极大值点，是的极小值点，
的极大值为，的极小值为．
函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为
【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得，的方程组，即可解得，；
求出函数的导数，令导数大于，可得增区间，令导数小于，可得减区间，即可得到极值．
本题考查利用导数求切线方程和单调区间、极值，考查分类讨论的思想和运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】证明：，，
，
取倒得，
，
，，
，
数列为等比数列．
解：由知，
，
，
若，则，
．
解：假设存在，则，，
由得，
．
化简得：，
，当且仅当时等号成立．
又，，互不相等，
不存在．
【解析】本题考查了等比数列的判定、前项和的求法以及不等式的解法，属于较难题．
根据和关系式进行化简即可证明；
先由得出数列的通项公式，然后根据分组求和法求出，解不等式即可；
假设存在正整数，，，根据等比数列性质得出并化简，再根据，确定是否存在．
19.【答案】解：要证，即证明：在恒成立，
构造函数，，
故在恒成立，
故，
故在恒成立得证；
原不等式等价于，，
将不等式化简为，
构造，则原不等式等价于，
又因为在上单调递增，故等价于，
即：，构造，
令，解得，故在递增，递减，
故在处取最大值，
故，解得：，
故的取值范围是．
【解析】将原不等式转化为，从而构造函数研究其最值即可；
将原不等式等价转化为，构造函数，利用单调性求解即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性及参数范围，属于中档题．
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