2023-2024学年江西南昌市江西师范大学附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各个角中与终边相同的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则与共线 B. 若与是平行向量，则
C. 若，则 D. 共线向量方向必相同
3.函数的奇偶性是( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 既不是奇函数，也不是偶函数
4.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.化简的结果是( )
A. B. C. D.
7.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像它表示了漏斗对平衡位置的位移纵坐标随时间横坐标变化的情况如图所示，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移单位：与时间单位：的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是精确到( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的倍，则( )
A. 扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变
C. 扇形的面积变为原来的倍 D. 扇形的圆心角变为原来的倍
10.已知，为非零向量，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则与方向相同
B. 若，则与方向相反
C. 若，则与模相等
D. 若，则与方向相同
11.已知函数的图象为，以下说法中正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 图象相邻两条对称轴的距离为
C. 图象关于中心对称
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.将函数的图象向左平移的长度单位后．所得到的图象关于原点对称，则的最小值是______．
14.给出下列命题：
函数：为奇函数；
函数的最小正周期是；
函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到；
函数是最小正周期为的周期函数；
函数的最小值是．
其中真命题是______写出所有真命题的序号．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求的最小正周期及其图象的对称中心；
若且，求的值．
16.本小题分
已知函数其中，且．
求它的定义域；
求它的单调区间；
判断它的奇偶性；
判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
17.本小题分
月日至日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：
每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
入住客栈的游客人数在月份最少，在月份最多，相差约；
月份入住客栈的游客约为人，随后逐月递增，在月份达到最多．
试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
请问客栈在哪几个月份要准备份以上的食物？
18.本小题分
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．
若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：
余弦相似度为：
余弦距离为
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
已知，，，若，，求的值．
19.本小题分
已知函数．
请在下面的三个条件中任选两个解答问题．
函数的图象过点；
函数的图象关于点对称；
函数相邻两个对称轴之间距离为．
求函数的解析式；
若，是函数的零点，求的值组成的集合；
当时，是否存在满足不等式？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查终边相同的角，是基础题．
直接由得答案．
【解答】
解：，
与终边相同的是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：对于，相等向量必是共线向量，故A正确；
对于，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，故B错误；
对于，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，故C错误；
对于，共线向量的方向可以相反，故D错误．
故选：．
利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得．
本题考查向量及其有关概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：先考虑函数的定义域关于原点对称，其次，
故选A，
先考虑函数的定义域关于原点对称，其次判定与的关系即可．
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件．判定函数奇偶性常见步骤：、判定其定义域是否关于原点对称；、判定与的关系．
4.【答案】
【解析】解：，，解得．
．
故选D．
利用向量共线的坐标运算即可得出．
熟练掌握向量共线的坐标运算是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用两角差的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算得解．
本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
利用和差公式即可得出．
本题考查了和差公式，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为
，
所以函数的最小值为．
故选：．
根据两角和与差的正弦公式，化简函数，即可得出结果．
本题考查的知识点：函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
由函数的图象可知函数的周期为，
故，
所以，
所以．
故选：．
利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式，求解即可．
本题考查了三角函数模型在实际生活中的应用，考查了三角函数的图象和性质的运用，考查了识图能力与化简运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设原来的半径和弧长分别为和，
则变化后分别变为，，
则：原扇形的面积，变化后的面积，故A错误，C正确；
则：该扇形的，故B正确，D错误．
故选：．
设原来的半径和弧长分别为和，则扩大后分别变为，，由扇形的面积公式及弧长公式即可计算得解．
本题考查扇形的面积公式和弧长公式的应用，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图，，为非零向量，
根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当，不共线时，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有
当，同向时有，
当，反向时有，
故选：．
画出图形，利用平行四边形法则三角形法则，结合三角形的性质判断选项的正误即可．
本题考查向量的平行三角形法则以及三角形法则的应用，命题的真假的判断，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为
，
所以函数的最大值为，故A错误；
函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B正确；
因为，所以图象关于中心对称，故C正确；
将的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，
再将向右平移个单位得到，故D正确；
故选：．
利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数，
，即，，
函数的定义域为．
故答案为：．
由题意可得 ，即，，由此求得函数的定义域．
本题主要考查求正切函数的定义域，函数的定义域以及求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移的长度单位后，
得到的图象．
再根据所得到的图象关于原点对称，可得，即，，
则的最小值为，
故答案为：．
由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，求得，，可得的最小值．
本题主要考查两角和的正弦公式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：对于，当为奇数时，是奇函数；当为偶数时，是奇函数，正确；
对于，的最小正周期是，正确；
对于，函数的图象向左平移个单位长度得，错误；
对于，函数是最小正周期为的周期函数，错误；
对于，函数，当时，，正确，
所以真命题的序号为．
故答案为：．
利用正余弦函数的奇偶性、周期性，结合诱导公式、二倍角的余弦公式判断；求出平移后的函数解析式判断；利用同角公式，结合含余弦的二次型函数求出最小值判断．
本题考查了函数的图象变换，三角函数的性质，三角函数恒等变换以及二次型函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
15.【答案】解：，
的最小正周期为，
令，解得，
的对称中心为；
，即，
，
，
，
，
．
【解析】由题意得，利用正弦型函数的性质，即可得出答案；
根据，可得，配凑，求解即可得出答案．
本题考查两角和差的三角函数，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：解得，；
；
的定义域为；
设，；
解得，，；
解得，；
在上单调递增，在上单调递减；
若，则为增函数；
的单调增区间为，单调减区间为，；
若，则为减函数；
的单调递增区间为，单调减区间为；
的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；
为周期函数，周期为；
为周期函数，周期为．
【解析】可结合余弦函数的图象，解便可得出的定义域为；
可以看出原函数是由和复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数函数，以及复合函数的单调性便可求出的单调区间；
可以看出的定义域不关于原点对称，从而得出为非奇非偶函数；
由为周期函数，且周期为便可判断的周期性，并可得出它的周期．
考查余弦函数的图象和周期，解可结合余弦函数的图象，函数定义域的概念及求法，余弦函数、对数函数及复合函数的单调性，奇函数或偶函数的定义域的特点，以及周期函数的定义，函数周期的计算公式．
17.【答案】解：设该函数为，其中，，，．
根据，可知这个函数的周期是；
由，可知最小，最大，且，故该函数的振幅为；
由，可知在上是增函数，且，所以．
根据上述分析可得，故，
由，解得，，
当时，最小，当时，最大，
故，且，可得，
由，得．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为．
由条件，可知，
化简得，即，
解得，，
因为，且，所以，，，，，
即客栈在，，，，月份要准备份以上的食物．
【解析】设该函数为，根据题意求得，再结合当时，最小，当时，最大，求得，即可求解；
由，求得，，即可求解．
本题考查了正弦型函数在生活中的实际运用，属于中档题．
18.【答案】解：由于，，
所以，之间的曼哈顿距离；
由于，
故余弦距离为；．
由于，，，
所以，整理得，，
，整理得，，
由得：，．
故．
【解析】直接利用定义性问题求出，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：定义性问题，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
19.【答案】解：若选，
由得，即，又得．
若的图象关于点对称；
则，得，即，，
，时，，
则．
若选，
由得，即，又得．
函数相邻两个对称轴之间距离为则，
即，则，得，
则．
若选，
函数相邻两个对称轴之间距离为则，
即，则，得．
若的图象关于点对称；
则，得，即，，
，时，．
则．
综上，．
，是函数的零点，
，即，
则，，
同理，，，
得，
或，
或，
，或，或，，
则或或，即的值的集合为．
若，则
即，，，
当时，即时，，
此时由在上单调递增，
知，得，得．
．
当时，即时，，
此时只有，，
由在上单调递减，
知，得，得．
．
综上，即实数的取值范围是
【解析】根据三角函数的图象和性质求出和的值即可．
根据函数零点与三角函数方程之间的关系求出的值即可．
假设不等式成立，结合三角函数的单调性的性质进行讨论求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量极大，是个难题．
第1页，共1页