2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.判断下列各命题的真假：向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；向量就是有向线段其中假命题的个数为( )
A. B. C. D.
2.如图，，分别是长方体的棱，的中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.已知为非零平面向量，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
4.已知向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知均为单位向量，若夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对边分别为，，，，，，则值等于( )
A. B. C. D.
7.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.在三棱锥中，底面，，底面是边长为的正三角形，为的中点，球是三棱锥的外接球．若是球上一点，则三棱锥的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.若关于的方程是实数有两个不等复数根和，其中是虚数单位，下面四个选项正确的有( )
A. B. C. D.
11.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是( )
A. 当点为棱中点时，截面的周长为
B. 线段长度的取值范围是
C. 当点与点重合时，三棱锥的体积为
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面，和直线，给出条件：
；
；
；
；
．
当满足条件 时，有；
当满足条件 时，有填所选条件的序号
13.下列说法正确的序号为______．
若复数，则；
若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
已知复数，，若，则，均为实数；
复数的虚部是．
14.如图，在四边形中，对角线与相交于点已知，，，且是的中点，若，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记．
若，求的面积；
若，求的面积的取值范围．
16.本小题分
已知向量．
当时，求的值；
设函数，且，求的最大值以及对应的的值．
17.本小题分
已知是关于的实系数一元二次方程．
若是方程的一个根，且，求实数的值；
若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值．
18.本小题分
如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形且平面．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求多面体的体积．
19.本小题分
如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为，高为，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．
Ⅰ若点，，，恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；
Ⅱ求该八面体表面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，为假命题，共有个．
故选：．
根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：如图，，分别是长方体的棱，的中点，则．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，根据平面向量数量积的定义知与共线，与共线，所以选项A错误；
对于，时，与不一定相等，如和时它们的数量积为，、不相等，所以选项B错误；
对于，根据平面向量的共线定理知，若，则，使，所以选项C正确；
对于，根据平面向量数量积的定义知，，，所以，选项D错误．
故选：．
根据平面向量共线定理和数量积的定义，依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查了平面向量共线定理和数量积的定义应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据平行向量的坐标关系即可求出的值．
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据条件进行数量积的运算即可求出，从而得出．
【解答】
解：，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由余弦定理得，
解得设外接圆半径为，
则．
故选：．
先由余弦定理求得，再由正弦定理求解即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．
由实部大于且虚部小于联立不等式组求解．
【解答】
解：复数在复平面内对应的点在第四象限，
，解得．
实数的取值范围是，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为为等边三角形，为的中点，所以，
即为直角三角形，
设的中点为，则的外接圆的直径为，
圆心为，半径为，
设三棱锥的外接球的半径为，球心为，
则，解得，
又平面，平面，所以，
所以的外接圆是以为直径的圆，
设的中点为，则，所以，
即到平面的距离为，
所以到平面的距离最大值为，
又，所以；
故选：．
设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，利用勾股定理求出，再求出到平面的距离，即可求出到平面的距离最大值，最后算出，即可求出．
本题主要考查球与多面体的切接问题，锥体体积的相关计算等知识，属于中等题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为，由正弦定理，得，所以，A正确；
对于，若，，则，，可得，B错误；
对于，若，因为，，，且余弦函数在上为减函数，故，C正确；
对于，若，且，，，则，则，
，D正确．
故选：．
由已知结合正弦定理可检验，利用特值法即可判断；由余弦函数的单调性可判断，利用选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断．
本题主要考查了命题真假的判断，考查正弦定理，余弦函数的性质以及三角函数关系的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，，
令，则由 为实数，
则 ，，
又 为实数，
则 ，
故
对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
首先设，利用韦达定理，即可求得，再根据复数的运算，分别判断选项即可．
本题主要考查复数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，，，为的中点，则，
延长交延长线于，连接交于，如图，令，
于是，，所以，
由可得，所以，

对于，当点为棱中点时，，，，
，，，，
故截面的周长为故正确；
对于，在上单调递增，所以长度的取值范围是，故正确；
对于，当点与点重合时，如图，，，，三棱锥的体积：
，故正确；
对于，取上靠近点的四等分点，则即在平面内的射影，
要使，只要即可．由∽，得，
则，所以不存在点，使得，故D不正确．
故选：．
根据题意，延长交延长线于，连接交于，令，再对各项逐一进行分析即可．
本题考查棱柱的几何特征及棱锥的体积，考查学生的运算能力、转化思想，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：若，，则；
若，，则．
故答案为：
要只需在的平行平面内，与平面无公共点；
直线与平面垂直，只需直线垂直平面内的两条相交直线，或者直线平行平面的垂线；
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查逻辑思维能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：对于，，，故正确，
对于，若全集为复数集，
由复数集只包含实数集和虚数集，
可知实数集的补集为虚数集，故正确，
对于，复数仅当为实数时，才能比较大小，故正确，
对于，数的虚部是，故错误，
故正确的序号为：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由条件，可知，，，四点共圆，为圆的直径，
设，，，
由相交弦定理，得，
在直角中，由勾股定理，得，
在中，由余弦定理，得．
，
，
又，．
．
故答案为：．
设，先求出，，，然后根据，得到，再求的值即可．
本题主要考查平面向量的数量积的计算，平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属中档题．
15.【答案】解：在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
设，
在中，由余弦定理，
，
，
在中，由正弦定理，，即，
所以，
所以
，
又因为，
所以，
所以
即的面积的取值范围为．
【解析】在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解；
设，在中，利用余弦定理和正弦定理结合三角函数的恒等变换即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
16.【答案】解：，
，，；
，
，
，
，，
，即时，取最大值．
【解析】根据得出，进行向量坐标的数量积运算即可求出的值；
可求出，然后进行数量积的坐标运算可求出，并根据两角差的正弦公式化简，然后根据的范围即可求出的最大值及对应的的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，两角差的正弦公式，正弦函数的最值求法，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为是关于的实系数一元二次方程，所以，
因为是方程的一个根，且，
当时，则或，
若，代入方程得，解得；
若，代入方程得，解得；
当为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根，
故，又因为，即，故，
所以，解得，
又，得，
所以；
综上：或或．
由韦达定理可知，，，，
所以，
因为为整数，，
所以必为的因式，则的值可能为，，，，，，
则实数的值可能为，，，，，，
又因为，是该方程的两个实根，所以，则，
所以的所有取值为，，．
【解析】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
分类讨论是题设方程的实根或虚根两种情况，实根时直接将代入即可求得值，虚根时利用韦达定理及判别式即可求得值，由此得解；
利用韦达定理求得，从而列出的所有可能取值，再利用一元二次方程的判别式即可确定所有取值．
18.【答案】Ⅰ证明：底面是菱形，，
四边形是正方形，，
，且平面平面，
平面，平面．
Ⅱ解：连结，交于，
四边形是正方形且平面．
平面，又平面，，
底面是菱形，，
又，平面，
，，，
，
多面体的体积：
．
【解析】Ⅰ由已知得，，从而平面平面，由此能证明平面．
Ⅱ连结，交于，由线面垂直得，由菱形性质得，从而平面，进而多面体的体积，由此能求出多面体的体积．
本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19.【答案】解：Ⅰ点，，，恰为长方体各侧面中心，
，
；
Ⅱ如图，设平面截正方体所得截面为，且的中心为，过点作，垂足为．
由对称性，不妨设，则，
，．
设的中点为，如图，
则，，
．
，，
则，
故，可得，
此八面体的表面积的取值范围为．
【解析】Ⅰ由已知求出八面体的棱长，转化为四棱锥的体积公式求解；
Ⅱ不妨设，则，求得与，设的中点为，求出，可得三角形面积平方的范围，进一步可得此八面体的表面积的取值范围．
本题考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
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