2023-2024学年福建省厦门泉州五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省厦泉五校联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数其中为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C. D.
5.若向量，，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，，边上的高等于，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线与为异面直线
B. 平面
C. 正方体的外接球的表面积为
D. 三棱锥的体积为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，若有唯一解，则的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，则与的夹角为______．
13.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为______．
14.在九章算术中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵中，，，则当堑堵的体积最大时，阳马的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，复数在复平面内对应的向量为．
若为纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，且，是边的中线，求的长度．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，且．
Ⅰ用表示；
Ⅱ点在线段上，且，求的值．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求的大小；
若，求的面积；
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：，
复数对应的点为，位于第四象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题．
利用向量垂直的坐标表示求解即可．
【解答】
解：，，
，
，，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理以及向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可．
【解答】
解：由题意知
，
因为，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查棱台的结构特征，棱台的体积公式等知识，属于基础题
首先求得棱台的高度，然后利用体积公式求得其体积即可．
【解答】
解：由棱台的几何特征可得其高度为：，
则其体积：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，解得，
所以，
又，
所以，
，
所以在上的投影向量为
故选：．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中等题．
通过三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到，再结合正弦定理可得．
【解答】
解：设中角，，所对的边分别为，，，
则由题意得，
．
由余弦定理得
，
．
由正弦定理得．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：设球心为，过，，三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面，
因为，
所以，
故高，
因为是边长为的正三角形，
所以，
故．
故选：．
设球心为，过，，三点的小圆的圆心为，延长交球于点，利用边角关系求解三棱锥的高，求出底面三角形的面积，由三棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了空间几何体的体积，棱锥体积公式的应用，棱锥的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用正弦定理和余弦定理化简，求出，可得，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：由，得，
所以，由，得，
利用正弦定理，
，
即，
锐角中，，
，当且仅当时取等号．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于选项：若，则，故A选项错误；
对于选项：若，则，故满足，故B选项错误；
对于选项：若，则不可说明，故C选项错误．
对于选项：若，则，化简得，故D选项正确；
故选：．
由平面向量基本平行垂直基本概念及数量积的性质进行判断即可．
本题以命题真假判断为载体，考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三棱锥体积的求法，正方体外接球的表面积，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题．
判断两条直线是否是异面直线判断；易得，由直线与平面平行的判定定理判断；正方体的外接球的半径为，求解外接球的表面积判断；求解棱锥的体积判断．
【解答】
解：已知正方体的棱长为．
对于，因为平面，又直线与平面交于点，
，故直线与没有交点，
故直线与为异面直线，故A正确；
对于，易得，又平面，平面，
平面，故B正确；
对于，正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的表面积为，故C正确；
对于，三棱锥的体积为 ，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】解：由正弦定理可得，所以，
，
，又有唯一解，
或，
当时，，
当，，所以，
综上所述，或．
故选：．
由正弦定理可得，可得，再根据有唯一解，有或，可求的取值范围．
本题考查三角形的正弦定理以及三角形有唯一解的条件，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以．
故答案为：．
根据向量数量积公式，求得的值，再根据夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解三角形的应用，考查正弦定理，属于中档题．
首先在中，算出，然后在中，利用正弦定理算出，最后在中，利用三角函数的定义即可算出山的高度．
【解答】
解：根据题意，可得中，，，
中，，，
，
由正弦定理，得，
在中，．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：要使堑堵的体积最大，则只需要底的面积最大即可，
在直角三角形中，，则，即，的面积，当且仅当时取等号，
即堑堵的体积最大时，，
此时阳马的体积．
故答案为：．
根据三棱柱体积最大值，利用基本不等式求出取最大值的等价条件，，然后利用锥体的体积公式进行计算即可．
本题主要考查空间体积的计算，根据三棱柱体积最大，利用基本不等式求出最大值时的等价条件，利用锥体的体积公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】解：由题，
则，
由为纯虚数，
得，
解得：．
，
在复平面内的对应点在第四象限，
则，即，
解得：，
即的取值范围是
【解析】由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得的值；
计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得的取值范围．
本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义以及转化思想，是基础题．
16.【答案】解：因为，可得，
所以由正弦定理可得，即，
所以，
因为，
所以．
由得，
又，，则，可得，
则，
又，可得，
由余弦定理可得，整理可得，解得．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可得的值．
由题意利用余弦定理可求的值，进而可得，又，由余弦定理建立等式即可解得的值．
17.【答案】解：Ⅰ，，，所以 ．
．
Ⅱ因为，，所以 点，，共线．
因为，所以．
以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为 ，，，，，，，，，
所以 ，，．
所以 ，．
因为 点在线段上，且，
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 分
【解析】Ⅰ直线利用向量的线性运算即可．
Ⅱ以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．可得 ． ，即可．
本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．
18.【答案】证明：Ⅰ在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
Ⅱ取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由Ⅰ可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
Ⅲ取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由Ⅱ可得平面，，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面．
【解析】Ⅰ根据线面平行的性质定理即可证明；
Ⅱ取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
Ⅲ取中点，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
19.【答案】解：因为，又，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，
则．
因为，所以，
所以或舍去，
所以的面积为．
由，得，
因为，所以，
所以当且仅当时取等号．
设，则，所以，
设，
则在区间上单调递增，所以的最大值为，
所以，的最大值为．
【解析】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦，基本不等式以及利用函数的单调性求最值，考查了转化思想和函数思想，属于较难题．
根据题意，由利用正弦定理及两角和的正弦，可求，进而可求的值；
由题意可得，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可得解；
由余弦定理，基本不等式可求，设，则，可得，设，由在区间上单调递增，可求的最大值．
第1页，共1页