2023-2024学年江西省萍乡市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省萍乡市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则与方向相反的单位向量的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在梯形中，，，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
6.在中，点为边的中点，点在边上，且，则( )
A. B. C. D.
7.在中，点为边的中点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在中，若，则
B. 在中，若，，且该三角形有两解，则的取值范围为
C. 若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为
D. 若扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为
10.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的面积可能为( )
A. B. C. D.
11.函数，下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的一个周期为
C. 函数的图象与直线为常数在区间上不可能存在个交点
D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，，两地之间隔了一个湖，在与，同一平面内取一点，测得，，，则，两地之间的距离为______．
13.已知函数与轴交点的纵坐标为，且恒成立，则函数是______填“奇”或“偶”函数；当时， ______．
14.点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中若，与的面积之比是，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
已知角，且_____．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知：、、是同一平面内的三个向量，其中
若，且，求的坐标；
若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，，，．
求的值；
设，分别是边，上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求的最小值．
18.本小题分
筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有多年的历史，它以水流作动力，取水灌田如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径米，有个盛水筒均匀分布，分别寓意一年个月和节气，筒车转一周需秒，其最高点到水面的距离为米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒视为质点的初始位置到水面的距离为米．
盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式；
为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面米处正中间设置一个宽米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽参考数据：
19.本小题分
定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质．
分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
在结论下，若方程为常数在区间上恰有三个实数根，，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，
则与方向相反的单位向量的坐标为．
故选：．
根据已知条件，结合向量模公式，以及向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量模公式，以及向量共线的性质，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，则，
则．
故选：．
根据三角函数定义和诱导公式即可得．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
由正弦定理可知，，
为三角形的内角，
则，
故，即．
故选：．
结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图，
在梯形中，，，，
则．
故选：．
由题意画出图形，展开数量积公式，再由数量积的几何意义得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查数量积的几何意义，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度，得到；
由于得到的函数图象与的图象重合，且，
故．
故选：．
直接利用函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式求出结果．
本题考查的知识点：函数的图象的平移变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，点为边的中点，点在边上，且，
．
故选：．
根据向量的线性运算，即可求解．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为为中线，，，
所以，两边平方可得
，
即，即，
由余弦定理可得，
可得，
，
所以，
可得，
即的最小值为．
故选：．
由中线的向量表示，再由余弦定理可得的表达式，进而可得的最小值．
本题考查中线的向量应用及余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，
在上存在零点，
所以，
，
又在上单调，
此时，
，
解得，
综上，．
故选：．
由已知结合函数零点存在条件及正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数单调性及零点存在条件的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：令，，满足，但，故A错误；
，，且该三角形有两解，
则，即，故B正确；
向量，，
，，
则在方向上的投影向量的坐标为：，故C正确；
设扇形的半径为，弧度数为，
扇形的周长是，面积是，
则，解得或，故D 错误．
故选：．
结合特殊值法，三角形有两解边之间的关系，投影向量公式，扇形面积、周长公式，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
可得，
所以，
即
故选：．
由余弦定理和基本不等式可得的范围，进而求出面积的范围，即可得答案．
本题考查余弦定理及基本不等式的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：中，因为，
，
所以，所以函数关于对称，所以A正确；
中，因为，
所以函数的一个周期为，所以B正确；
中，当时，与有三个交点的横坐标分别为，，，所以C错误；
中，因为时，，所以单调递增，单调递减，
所以单调递减，所以单调递增，
即在上单调递增，所以D正确．
故选：．
分别由函数的对称性及周期性判断出，的真假；举例时，可得存在个交点，判断出的真假；再由函数的单调性，判断出的真假．
本题考查三角函数的性质应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，
由余弦定理可得．
故答案为：．
由题意及余弦定理可得的距离．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
13.【答案】奇
【解析】解：函数与轴交点的纵坐标为，
可得，
又，
解得，
由恒成立，
可得，
即，
解得，，
即，又，
可得，
所以，
即是奇函数；
当时，
即，可得，，
解得，，
则．
故答案为：奇；．
由条件可得，解得，再由恒成立，解得，代入结合奇函数定义即可判断奇偶性，最后由，求得，，代入即可得到．
本题考查了三角函数的图像和性质，是中档题．
14.【答案】或
【解析】解：是的重心，
，
又点，分别在边和上，且，设，
，，
，
，
又与的面积之比为，
联立解得或．
故答案为：或．
根据的重心的性质，向量的线性运算，向量共线定理，方程思想，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量共线定理的应用，方程思想，属中档题．
15.【答案】解：若选：因为，
所以，
解得：或，
因为角，所以，
故；
若选：因为，，
所以，
所以，
所以；
由知，，
所以．
【解析】若选，结合同角平方关系进行的代换，然后结合同角商的关系进行化简即可求；
若选，结合同角平方关系先求出，然后结合同角商的关系即可求；
利用诱导公式先化简，即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：，，故可设，由，可得，
解得，
或．
，，
，
与的夹角为锐角，
，
，．
而当与共线且方向相同时，，，
解得，
故的取值范围为．
【解析】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
设，由，可得，解方程求得值．
求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，
而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围．
17.【答案】解：中，，，，
由余弦定理得：，
则，
由正弦定理得：，即，
解得；
由题知，，即，
解得：，
由余弦定理得：，，
则，，
当，即时，且，
所以．
【解析】在中，由题意及余弦定理可得的值，再由正弦定理可得的值；
因为，可得的表达式，再由余弦定理可得函数的表达式，进而可得的解析式，由二次函数的性质可得的最小值．
本题考查正弦定理，余弦定理及二次函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，是圆周上的点，所以，
因为筒车的半径为，点的纵坐标为，所以，所以，
由题意知，，解得，，
所以，；
作弦平行且等于盛水槽，
在中，，，，所以，
所以距离水面的高度为，
盛水筒转到盛水槽的正上方即之间时，能把水倒入盛水槽中，
即当时符合题意，
所以，解得，即，
又，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒．
【解析】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，写出关于的解析式，即可求解；
作弦平行且等于盛水槽，求出距离水面的高度，列不等式求解即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：根据题意可得：
，，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
由知，，又在区间上恰有三个实数根，，，
所以在区间上恰有三个实数根，，，
令，所以在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
即，
所以，
所以．
【解析】根据新定义分别验证即可；
根据题意及新定义，建立方程，即可求解；
将方程的根转化成函数图形交点的横坐标，结合三角函数的性质，即可求解．
本题考查新定义问题，三角函数的性质，化归转化思想，运算能力，属中档题．
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