2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的是( )
A. ，，则
B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C. 向量与不平行，则与都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
2.在中，，分别是，的中点，若，，则等于( )
A. B. C. D.
3.下面的四个长方体中，是由左边的平面图形围成的是( )
A. B.
C. D.
4.已知直线与不同的平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.在正方体中，直线与平面所成角为( )
A. B. C. D.
6.一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是( )
A. B. C. D.
7.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为已知山岭高为米，则塔高为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 四棱柱的所有面均为平行四边形 B. 长方体不一定是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
10.中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于，，，四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.关于平面向量，，下列命题中正确的有( )
A. 若，则存在，使得
B. 若非零向量，满足，则
C.
D.
12.如图，在多面体中，四边形，，均是边长为的正方形，点在棱上，则( )
A. 该几何体的体积为
B. 点在平面内的射影为的垂心
C. 的最小值为
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量，，且，则实数 ．
14.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为______
15.已知所在的平面，且，连接，，则图中直角三角形的个数是______．
16.正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
平面内给定三个向量，，．
若满足，求实数、的值；
若，求实数的值．
18.本小题分
如图，四棱锥中，四边形是正方形，若，分别是线段，的中点．
求证：底面；
若点为线段的中点，平面与平面有怎样的位置关系？并证明．
19.本小题分
Ⅰ化简；
Ⅱ如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为交点，若，，试以，为基底表示、、．
20.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，．
求
若，求．
21.本小题分
已知函数，其中，．
将化简成的形式；
求使取得最大值时自变量的集合．
22.本小题分
如图，平行六面体的底面是菱形，且试用尽可能多的方法解决以下两问：
若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；
当的值为多少时，能使平面？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，不一定共线，故A错误；
任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，故B错误；
对于，零向量与任何向量都共线，
故向量与不平行，则与都是非零向量，故C正确；
对于，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故D错误．
故选：．
由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断．
本题考查了平面向量的定义与零向量的应用．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的基本定理，属于基础题．
由向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：由题意可得
故选：．
3.【答案】
【解析】解：长方体中由左边的平面图形，
可知长方体中有个面是阴影部分，两个空白部分是相对部分，剩余是个阴影部分，
围成的是．
故选：．
利用几何体的表面展开图，判断选项即可．
本题考查空间几何体表面展开图的判断，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于选项，若，时，与的关系可以平行，也可以相交不垂直，故A选项错误；
对于选项，若，，根据面面平行的性质可得，故B选项正确；
对于选项，若，，则与的关系可以平行，也可以是，故C选项错误；
对于选项，若，，则平面，可以相交，也可以平行，故D选项错误．
故选：．
根据线面，面面位置关系依次讨论各选项即可得答案．
本题主要考查线面关系有关命题的判定，面面关系有关命题的判定等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：在正方体中，连接，连接，
由平面，平面，得，又，
，，平面，则平面，
于是是直线与平面所成的角，
在中，，，因此，
所以直线与平面所成角为．
故选：．
根据给定条件，作出直线与平面所成角，再利用直角三角形边角关系求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意直观图为等腰直角三角形，，，
直观图的面积为，
因为直观图和原图面积之间的关系为，故原的面积是．
故选：．
可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．
本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．
7.【答案】
【解析】解：在中，，
在中，，
所以．
故选：．
中求出，再在中求得，从而可得．
本题主要考查解三角形的实际应用，高度测量问题等知识，属于中等题．
8.【答案】
【解析】解：圆锥的高，如图，
由可得：，，
，
圆柱侧面积，
圆锥侧面积，．
故选：．
由可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案．
本题考查圆柱与圆锥的侧面积问题，属中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥，棱柱，棱台的结构特征，是基础题．
根据棱锥，棱柱，棱台的结构特征可判断各选项的正误．
【解答】
解：对于选项A：四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选项A错误，
对于选项B：长、宽、高均不相等的长方体不是正四棱柱，故选项B正确，
对于选项C：底面是正多边形，但侧棱长不相等的棱锥不是正棱锥，故选项C错误，
对于选项D：由棱台的性质可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故选项D正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
由题意可知或或，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得的值可能为或或，
故选：．
先建系，然后标出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由平面共线向量定理可知，A正确；
对于，因为非零向量，满足，两边同时平方整理得：，所以，故B正确；
对于，，设，则，
因为在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
故，，故C正确；D错误．
故选：．
由共线向量定理可判断；由平面向量的数量积可判断；由三角形三边关系可判断．
本题考查平面向量的数量积运算和共线向量定理，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图，该几何体可看出由正方体切去前右上角的三棱锥所得到的几何体，
对选项，该几何体的体积为，选项错误；
对选项，连接正方体的体对角线，则由三垂线定理易证平面，
且由对称性可知：与正三角形的交点为正三角形的中心，也为的垂心，
选项正确；
对选项，将三角形与三角形展开铺平，再连接，
则，当，，三点共线时，取得等号，
由对称性可知：，，三点共线时，与的交点为的中点，
此时易知，
的最小值为，选项错误；
对选项，由选项的分析可知：在平面内的射影点为正三角形的中心，
当与重合时，从而根据三垂线定理可得，选项正确．
故选：．
由题意可知该几何体可看出由正方体切去前右上角的三棱锥所得到的几何体，从而再结合各个选项，利用体积公式，三垂线定理，对称性，化空间为平面即可逐一求解．
本题考查化归转化思想，三垂线定理的应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据可得出，然后进行数量积的坐标运算即可求出的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，
，解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设，的合力为，则，
，的夹角为，
，
，
物体平衡状态．物体的重力大小为．
故答案为：．
根据向量加法的平行四边形法则得到合力，进而求出的值，从而得出物体重力的大小．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，平面向量的求模公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由所在的平面，得，，，均为直角三角形，
由，可知为直角三角形，
所在的平面，，又，且．
面，，则为直角三角形．
故图中直角三角形的个数是．
故答案为．
直接由线面垂直的性质及线面垂直的判定得答案．
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得，
则正方体的对角线长为，
设正方体的外接球的半径为，可得，解得，
所以外接球的表面积为．
故答案为：．
根据题意求得正方体的棱长，得到其对角线长，进而求得正方体外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解．
本题考查球的表面积，考查球的内接体问题，考查空间想象能力，属基础题．
17.【答案】解：向量，，，，
，
，解得，；
，，，，
，解得．
【解析】利用向量坐标运算法则、向量相等能求出结果．
利用向量坐标运算法则、向量平行能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则、向量相等、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：证明：连接，由是线段的中点得为的中点，
为的中位线，
，
又平面，平面
平面，
平面平面，
证明如下：
，分别为，的中点，
为的中位线，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，，平面，平面
平面平面．
【解析】本题考查了直线与平面平行，平面与平面平行的判断问题，关键是掌握定理，属于中档题．
根据线面平行的判定定理，证明平行于平面内的一条直线即可；
根据面面平行的判定定理，因为平面，只要证明平面，问题得以解决．
19.【答案】解：Ⅰ，
Ⅱ，
，
是的重心，
．
【解析】根据向量的加减法则化简计算即可．
本题主要考查了向量的加减的混合运算，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ因为，
所以．
由余弦定理得，，
因此，．
Ⅱ由Ⅰ知，
所以：


，
故A或，
因此，或．
【解析】Ⅰ直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，进一步求出的值．
Ⅱ根据Ⅰ的结论，对角进行关系式变换，最后求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，属于基础题型．
21.【答案】解：；
由知，，则当时，
即时，取得最大值．
所以使取得最大值时，自变量的集合为．
【解析】直接利用向量的坐标运算求出函数的关系式，进一步利用三角函数的关系式的恒等变换，变形成正弦型函数．
利用正弦型函数的性质求出函数的最值．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：连接、设和交于，
连接，作，垂足为，作，垂足为，连接，
四边形是菱形，
，又，
，
又，，
，
，
，
，
又，，，平面
平面，
又平面，
，
是二面角的平面角，
，可得，，
又，
，
，
又，
，
．
当时，能使平面，
由前知平面，
又面，
，
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形．
同的证法可得，
又，面，面，
平面．
【解析】根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；
可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角的平面角，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．
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