福建省安溪第八中学 2025届高二年 4月份质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I卷（选择题共 58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
a
1. S a a a 3 S 已知等差数列 n 的前 n项和为 n，若 4 13 11 ，则 11 （ ）
A. 22 B. 33 C. 44 D. 66
2. (2x y)4 的展开式中 x3y的系数为（ ）
A. 32 B. 32 C. 8 D. 8
3. 世界数学三大猜想：“费马猜想” “四色猜想” “哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在
1976年和 1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成
果“1+2"由我国数学家陈景润在 1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 4的偶数，都可以写成两
个质数之和．在不超过 10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
1 2 2
A. B. C. D. 1
4 7 5 2
X P(X i) i4. 已知随机变量 的分布列为 (i 1，2，3， ，5)，则 P(2 X 5) （ ）a 4
1 3 9
A. B.
1
3 2
C. D.
5 10
5. 将 5个颜色互不相同的球全部放入编号为 1和 2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于
该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A. 10种 B. 25种 C. 36种 D. 52种
6. 如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点 Ai xi , yi ，其中 i 1,2,3, ,n, 且 xi , yi Z．记
an xn yn，如 A1 1,0 记为 a1 1， A2 1, 1 记为 a2 0， A3 0, 1 记为 a3 1, ，以此类推；设
数列 an 的前 n项和为 Sn，则 S80 （ ）
第 1页/共 4页
A. 1 B. 0 C. —1 D. 2
2
7. x函数 y 的图象大致为（ ）
ex
A. B.
C. D.
2 2
8. x y已知椭圆C : 1 a b 0 的左，右焦点分别为F1，F2， P为椭圆C上一点， F2 2 1PF2 60 ，a b
点 F2到直线 PF
3
1的距离为 a，则椭圆C的离心率为（ ）
3
A. 3 B. 2 C. 6 D. 2 2
3 2 3 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 若 (2x 1)5 a bx cx2 dx3 ex4 fx5 (1 x)5,a,b,c,d ,e, f 均为常数，则下列选项正确的是
（ ）
A. a 2 B. e 85
C. b c d f 272 D. b 2c 3d 4e 5 f 70
第 2页/共 4页
x2 y2
10. 若双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一个焦点 F 关于其一条渐近线的对称点 P在双曲线上，且直线a b
PF 与圆 x2 y2 3相切，则下列结论中正确的是（ ）
A. C的实轴长为2 3 B. C的虚轴长为2 6
C. C的渐近线方程为 y 2x D. C的离心率为 2
11. 已知 a 0,b R,e是自然对数的底，若b eb a ln a，则 a b的值可以是（ ）
1
A. 1 B. 1 C. 2 D.
2
第 II卷（非选择题 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn， a3 a4 4，则 S6 __．
13. 某班有 7名班干部，其中 4名男生，3名女生．从中选出 3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲
被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．
1 3
14. 2 x若函数 f (x) x mx e 在 , 上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________． 2 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校从学生会宣传部 6名成员（其中女生 4人，男生 2人）中，任选 3人参加某省举办的演讲比赛活动．
（1）选拔前 6个人站成一排拍照，其中 2个男生不能相邻，共有多少种不同的站法
（2）设所选 3人中女生人数为 ，求 的概率分布列及数学期望．
16. f x x3 ax2 a2已知函数 x 1,(a 1)
（1）若函数 f x 在 x 2处取得极值，求实数 a的值；
（2）当 x 2,1 时，求函数 f x 的最大值．
17. 第 22届亚运会将于 2023年 9月 23日至 10月 8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运
会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市 A社区举办了一场选拔赛，选拔
赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表 A社区参加市亚运知识竞赛．已知 A社
1 1 1
区甲、乙、丙 3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 2 ， ， 2 ，通过初赛后再通过决赛的概率3
1
均为 ，假设他们之间通过与否互不影响．
3
（1）求这 3人中至少有 1人参加市知识竞赛的概率．
第 3页/共 4页
（2）某品牌商赞助了 A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
1
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖 1次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影
3
响，中奖一次奖励 600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励 100元，参加了决赛的选手奖励 400元（包含参加初赛的 100元），若品
牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
18. 已知 M 1,2 为抛物线C : y2 2 px上一点．
（1）求抛物线C的准线方程；
（2）过点T 0,1 的直线 l与抛物线 C交于 A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，求 TA TB 的值．
lnx 2
19. 已知函数 f (x) mex 1.
x
（1）若m 0，求曲线 y f (x)在点 1, f 1 处的切线方程.
（2）若 f (x) 0恒成立，求m的取值范围.
第 4页/共 4页福建省安溪第八中学 2025届高二年 4月份质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I卷（选择题共 58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
a
1. 已知等差数列 n n S a a a 3 S 的前 项和为 n，若 4 13 11 ，则 11 （ ）
A. 22 B. 33 C. 44 D. 66
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列下标的性质，以及前 n项和公式，即可列式求值.
【详解】根据等差数列的性质可知， a4 a13 a11 a6 a11 3，即 a6 3，
11 a1 a 所以 S 1111 11a6 33 .2
故选：B
2. (2x y)4 的展开式中 x3y的系数为（ ）
A. 32 B. 32 C. 8 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由题设写出展开式通项T 3r 1，进而确定 x y的 r值，即可求其系数.
r 4 r r r 4 r 4 r
【详解】由题设，展开式通项为Tr 1 C4 (2x) ( y) C42 x ( 1)
r y r ，
∴ r 1 1 3时， x3y的系数为C4 2 ( 1)
1 32 .
故选：A
3. 世界数学三大猜想：“费马猜想” “四色猜想” “哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在
1976年和 1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成
果“1+2"由我国数学家陈景润在 1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 4的偶数，都可以写成两
个质数之和．在不超过 10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
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1 2 2
A. B. C. D. 1
4 7 5 2
【答案】D
【解析】
【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.
【详解】不超过 10的质数有：2，3，5，7共 4个，
随机选取两个不同的数，基本事件为：
(2,3), (2,5), (2,7), (3,5), (3,7), (5,7)共 6种，
其和为奇数包含的基本事件有： (2,3), (2,5), (2,7)，共 3个，
所以 P 3 1 .
6 2
故选：D.
i
4. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X i) (i 1，2，3，4，5)，则 P(2 X 5) （ ）a
1 3 9
A. B. 12 C. D.3 5 10
【答案】C
【解析】
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于 1，可求得 a的值，又由
P 2 X 5 P X 2 P X 3 P X 4 ，计算可得答案.
i
【详解】根据题意，随机变量 X 的分布列为 P X i i 1,2,3,4,5 ，
a
5 i
由分布列的性质，则有 1，解得a 15，
i 1 a
故 P 2 X 5 P X 2 P X 3 P X 4 .
2 3 4 9 3
.
15 15 15 15 5
故选：C.
5. 将 5个颜色互不相同的球全部放入编号为 1和 2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于
该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A. 10种 B. 25种 C. 36种 D. 52种
【答案】B
第 2页/共 15页
【解析】
【分析】根据题意，可得 1号盒子至少放一个，最多放 3个小球，即分三种情况讨论，分别求出其不同的
放球方法数目，相加可得答案．
【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，
分析可得，1号盒子至少放一个，最多放 3个小球，
分情况讨论：
1号盒子中放 1 1个球，其余 4个放入 2号盒子，有C5 5种方法；
1号盒子中放 2个球，其余 3 2个放入 2号盒子，有C5 10种方法；
1 3 3号盒子中放 个球，其余 2个放入 2号盒子，有C5 10种方法；
则不同的放球方法有 5 10 10 25种，
故选：B．
6. 如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点 Ai xi , yi ，其中 i 1,2,3, ,n, 且 xi , yi Z．记
an xn yn，如 A1 1,0 记为 a1 1， A2 1, 1 记为 a2 0， A3 0, 1 记为 a3 1, ，以此类推；设
数列 an 的前 n项和为 Sn，则 S80 （ ）
A. 1 B. 0 C. —1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由图观察可知第 n圈的8n个点对应的这8n项的和为 0，同时第 n圈的最后一个点对应坐标为 (n,n)，
a80 在第 4圈最后一个点上，则 S80 0.
【详解】由图可知，第一圈从点 1,0 到点 1,1 共 8个点，由对称性可知 S8 a1 a2 a8 0,
第 3页/共 15页
第二圈从点 2,1 到点 2, 2 共 16个点，由对称性可知a9 a10 a24 0，
以此类推，可得第 n圈的8n个点对应的这8n项的和为 0．
第 n圈的最后一个点对应坐标为 (n,n)， a80 在第 4圈最后一个点上，则 S80 0.
故选：B．
2
7. x函数 y 的图象大致为（ ）
ex
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 x 0时， y 0即可得到答案．
x2
【详解】当 x 0时， y x 0恒成立，显然选项 ABC不符合要求，D符合，e
x2
而当 x 0时， y 0恒成立，且 x 0时， y 0x ，选项 D也符合.e
故选：D
2 2
8. x y已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左，右焦点分别为Fa b 1
，F2， P为椭圆C上一点， F1PF2 60 ，
点 F 32到直线 PF1的距离为 a，则椭圆C的离心率为（ ）
3
A. 3 B. 2 C. 6 D. 2 2
3 2 3 3
【答案】A
【解析】
第 4页/共 15页
【分析】设 F2M PF1 于M ，则由已知条件可求出 PM ， PF2 ，再利用椭圆的定义可求出 MF1 ，然后
在Rt△MF1F2中利用勾股定理列方程可求出离心率.
【详解】如图，设 F2M PF1 于M ，
3
则由题意得 F M a， F1PF2 60 2 ，3
PM 1∴ a， PF 22 a，3 3
由椭圆定义可得 PF1 PF2 PM MF1 PF2 2a ，
∴ MF1 a，
2
Rt MFF a2 3
在 △ 1 2中，由勾股定理得 a 4c
2，
3
可得 e c 3 .
a 3
故选：A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 若 (2x 1)5 a bx cx2 dx3 ex4 fx5 (1 x)5,a,b,c,d ,e, f 均为常数，则下列选项正确的是
（ ）
A. a 2 B. e 85
C. b c d f 272 D. b 2c 3d 4e 5 f 70
【答案】ABD
【解析】
5
【分析】将 1 x 展开与a bx cx2 dx3 ex4 fx5 合并，利用二项展开式的通项公式，求得 a，b，
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c，d ， e， f 的值，从而判断各个选项.
2x 1 5【详解】 a bx cx2 dx3 ex4 fx5 1 x 5
1 a b 5 x c 10 x 2 d 10 x 3 e 5 x 4 f 1 x 5 ，
令 x 0，可得 1 1 a， a 2，故 A正确；
2x 1 5 r由于 的展开式的通项公式为T Cr 1 25 r x5 rr 1 5 ，
令 r 0，得 x5项的系数为 25，即 f 1 25， f 31，
r 1 1 4令 ，得 x4项的系数为C5 1 2 ，即 e 5 80， e 85，
令 r 2，得 x3项的系数为C2 1 2 235 ，即 d 10 80， d 70，
令 r 3，得 x2项的系数为C35 1
3 22，即 c 10 40， c 50，
4
令 r 4，得 x项的系数为C45 1 2，即b 5 10， b 5，
即解得 f 31， e 85， d 70，c 50，b 5，
b c d f 5 50 70 31 56，b 2c 3d 4e 5 f 70 ，
故 B正确；C错误；D正确.
故选：ABD.
x2 y2
10. 若双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的一个焦点 F 关于其一条渐近线的对称点 P在双曲线上，且直线a b
PF 与圆 x2 y2 3相切，则下列结论中正确的是（ ）
A. C的实轴长为2 3 B. C的虚轴长为2 6
C. C的渐近线方程为 y 2x D. C的离心率为 2
【答案】AC
【解析】
【分析】设另外一个焦点为 F ， PF 与该渐近线的交点为M ，则易得F 到该渐近线的距离 | FM | b，从
而易得 OM a 3，又 PF 2 FM 2b， PF 2 OM 2a 2 3，又 PF PF 2a，从而
可求出b，进而得 c，再针对各个选项，分别求解即可．
b
【详解】不妨设 F (c,0)，设该渐近线方程为 y x，即 bx ay 0，
a
第 6页/共 15页
bc
设 PF 与该渐近线的交点为M ，则 F 到该渐近线的距离 | FM | b
a2 2
，
b
又 |OF | c， |OM | a，又直线 PF 与圆 x2 y2 3相切， |OM | a 3 ，
设另外一个焦点为 F ，则 PF 2 FM 2b， PF 2 OM 2a 2 3，
又 PF PF 2a， 2b 2 3 2 3， b 2 3，又 a 3， c 15 ，
双曲线C的实轴长为 2a 2 3 ，虚轴长为 2b 4 3，A选项正确，B选项错误；
b
渐近线方程为 y x 2x c 15，离心率为 5 ，C选项正确，D选项错误．
a a 3
故选：AC．
11. 已知 a 0,b R,e是自然对数的底，若b eb a ln a，则 a b的值可以是（ ）
1
A. 1 B. 1 C. 2 D.
2
【答案】AC
【解析】
x
【分析】设 f x x e ，结合单调性可得a eb，从而 a b eb b，令 g(x) ex x，利用导数求得 g(x)
的范围即可判断.
x
【详解】设 f x x e ，则 f x 在 R上单调递增，
∵ f b f lna b eb lna e lna a lna (ln a a) 0，
∴b lna，即 a eb，
∴ a b eb b，
令 g(x) ex x，则 g (x) e x 1，
当 x 0时， g (x) 0， g(x)单调递减，
当 x 0时， g (x) 0， g(x)单调递增，
第 7页/共 15页
∴ g(x) g(0) 1，从而 a b 1，故 AC符合.
故选：AC.
第 II卷（非选择题 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn， a3 a4 4，则 S6 __．
【答案】12
【解析】
(a
【分析】根据题意，由等差数列的前 n项和以及等差数列的性质可得 S 1 a6 ) 6 (a3 a4 ) 66 ，进而2 2
计算可得答案．
【详解】解：根据等差数列{an}的性质可得， a1 a6 a3 a4 4，
由等差数列{an}的前 n
(a a ) 6 (a a ) 6
项和公式得， S6 1 6 3 4 12．2 2
故答案为：12．
13. 某班有 7名班干部，其中 4名男生，3名女生．从中选出 3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲
被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．
1
【答案】
3
【解析】
【分析】设事件A表示“男生甲被选中”，事件 B表示“女生乙被选中”，分别求得 P A ,P AB ，结合条件
概率的计算公式求解即可.
【详解】设事件A表示“男生甲被选中”，事件 B表示“女生乙被选中”，
2
P(A) C6 15 3 ,P(AB) C
1
5 5 1
则 3 ，C7 35 7 C
3
7 35 7
所以 P(B | A)
P(AB) 1
1，即男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 .
P(A) 3 3
1
故答案为： .
3
1 3
14. 若函数 f (x) x2 mx ex 在 , 上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________． 2 2
3
【答案】 ,
2
第 8页/共 15页
【解析】
【分析】先求 f x 1 3 的导函数，再将函数 f x 在区间 , 上存在单调递减区间转化为 f x 0在区间 2 2
1 3
,
上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数m的范围．
2 2
【详解】 f x x2 mx ex x 2，则 f x e x mx 2x m ，
1 3 1 3
函数 f x 在区间 , 上存在减区间，只需 f x 0在区间 , 上有解， 2 2 2 2
2 1 3
即 x m 2 x m 0在区间 , 上有解，
2 2
x 1 , 3 x 1 1 , 5又 ，则
，
2 2 2 2
x2 2x 1 , 3 所以m 在区间
x 1
上有解，
2 2
2
m x 2x x 1 , 3 t 1 , 5所以 ， ，令 x +1= t，
，
x 1 max 2 2 2 2
2 x 1 2 x 2x 1 t 2 1
则 ，
x 1 x 1 t
g t t 1 1 1 5令 ，则 g t 1 2 0
在区间 t , 恒成立，t t 2 2
所以 g t 1 5 1 3在 t , 上单调递减，所以 g t g 2 2 max
，
2 2
x2 2x 3
m 3
3
即 ，所以 ，所以实数m的取值范围是 ,x 1 2 2
．
max 2
3
故答案为： , ．
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校从学生会宣传部 6名成员（其中女生 4人，男生 2人）中，任选 3人参加某省举办的演讲比赛活动．
（1）选拔前 6个人站成一排拍照，其中 2个男生不能相邻，共有多少种不同的站法
（2）设所选 3人中女生人数为 ，求 的概率分布列及数学期望．
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【答案】（1）480 （2） 的概率分布列见详解，数学期望为：2.
【解析】
【分析】（1）要使男生不相邻，先排女生，再让男生排在女生之间的空隙中；
（2）根据题意可得 的所有可能取值为 1,2,3，再求出 取每一个值的概率,可得 的分布.
【小问 1详解】
先 4 4个女生站成一排有A4 种站法，
这 4个女生之间共有 5个“空档”，
在这 5个“空档”中选取 2个排男生，共有A25 种，
所以 6个人站成一排拍照，其中 2个男生不能相邻，
共有 A4 24 A5 480种不同的站法.
【小问 2详解】
的所有可能取值为 1,2,3，
C1C2 1
依题意得: P 1 4 2 ，
C36 5
P 2 C
2C1 3
4 23 ，C6 5
P 3 C
3
4 1 3 .C6 5
∴ 的分布列为:
1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1的数学期望为：1 2 3 2 .
5 5 5
16. 3 2 2已知函数 f x x ax a x 1,(a 1)
（1）若函数 f x 在 x 2处取得极值，求实数 a的值；
（2）当 x 2,1 时，求函数 f x 的最大值．
【答案】（1） 2
第 10页/共 15页
（2）答案见解析
【解析】
1 f x 3x2【分析】（ ）求得 2ax a2 ，根据题意得到 f 2 0，求得 a 2，结合函数极值点的定
义进行验证，即可求解；
（2）求得 f x (3x a)(x a)，求得函数 f x 的单调性，再分1 a 2、2 a 3和 a 3，三种情
况讨论，结合函数的极值和 f 2 , f 1 的值的比较大小，即可求解.
【小问 1详解】
3 2 2 2 2
解：由函数 f x x ax a x 1,a 1，可得 f x 3x 2ax a
因为函数 f x 在 x 2 2处取得极值，可得 f 2 12 4a a 0，
解得 a 2或 a 6（舍去），
当 a 2时，可得 f x (3x 2)(x 2)，
2
当 x< 2或 x 时， f (x) > 0， f x 单调递增；3
2 x 2当 时， f x 0， f x 单调递减，
3
所以当 x 2时，函数 f x 取得极大值，符合题意；
【小问 2详解】
解：由 f x 3x2 2ax a2 (3x a)(x a)，其中 a 1，
令 f x 0 a，解得 x a或 x ，
3
当 x a时， f (x) > 0， f x 单调递增；
a
当 a x 时， f x 0， f x 单调递减；
3
a
当 x 时， f (x) > 0， f x 单调递增，3
1 a 2
①当1 a 2时，可得 2 a 1且 ，
3 3 3
可得函数 f x 在[ 2, 2 a), ( ,1] a单调递增，在 ( a, )上单调递减，
3 3
因为 f ( a) f (1) a 3 a 2 a 1 (a 2 1)(a 1) 0 ，可得 f ( a) f (1)，
所以 f (x)max f ( a) a
3 1；
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2 a
②当 2 a 3时，可得 3 a 2且 1，
3 3
可得函数 f x 在[ 2, a ) a单调递减，在 ( ,1]上单调递增，
3 3
f ( 2) f (1) 3a2 3a 5 3(a 1)2 23 3 (2 1因为 )2 23 1，
2 4 2 4
当 a 2时，可得 f ( 2) f (1)取得最小值，最小值为1，
所以 f ( 2) f (1) 0，即 f ( 2) f (1)，所以 f (x) 2max f ( 2) 2a 4a 7；
a
③当 a 3时，可得 a 3且 1，此时函数 f x 在区间[ 2,1]单调递减，
3
函数 f (x) 2max f ( 2) 2a 4a 7 .
17. 第 22届亚运会将于 2023年 9月 23日至 10月 8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运
会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市 A社区举办了一场选拔赛，选拔
赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表 A社区参加市亚运知识竞赛．已知 A社
1
3 1 1区甲、乙、丙 位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 2 ， ，3 2
，通过初赛后再通过决赛的概率
1
均为 ，假设他们之间通过与否互不影响．
3
（1）求这 3人中至少有 1人参加市知识竞赛的概率．
（2）某品牌商赞助了 A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
1
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖 1次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影
3
响，中奖一次奖励 600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励 100元，参加了决赛的选手奖励 400元（包含参加初赛的 100元），若品
牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
31
【答案】（1）
81
（2）从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的概率，先分别求出甲乙丙三人参加市赛的概率，即可求出至少有 1人参加市
知识竞赛的概率．
（2）分别求出两个方案的奖励期望，比较大小即可.
【小问 1详解】
1 1 1
甲参加市赛的概率为 ，
2 3 6
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1 1 1
乙参加市赛的概率为 ，
3 3 9
1 1 1
丙参加市赛的概率为 ，
2 3 6
1
2
1 31
至少 1人参加市赛的概率为：1 1 1 6
．
9 81
【小问 2详解】
1
方案一：设三人中奖人数为 X ，所获奖金总额为Y 元，则Y 600X X B 3, ，且 ．
3
1
所以 E Y 600E X 600 3 600元，
3
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为 Z 元，则 Z 的所有可能取值为 300、600、900、1200，
则 P Z 300 1 1 1 1 1 2 1 1 ， 3 2 6
P Z 600 C1 1 1 1 1 1 1
2
2
1
1 5
，2 2 3 3 2 12
P Z 900 1
2
1 1 1
1 C 1
1 1 1 ，
2 3 2 2 2 3 3
P Z 1200 1 1 1 1 ，
2 3 2 12
所以， E Z 300 1 5 1 1 600 900 1200 700．
6 12 3 12
所以， E Y E Z ，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
18. 已知 M 1,2 为抛物线C : y2 2 px上一点．
（1）求抛物线C的准线方程；
（2）过点T 0,1 的直线 l与抛物线 C交于 A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，求 TA TB 的值．
【答案】（1） x= 1
（2）2
【解析】
【分析】（1）由点M 1,2 在抛物线上求出 p 2，计算得抛物线C的准线方程；
（2）先设直线再联立方程组求出两根和和两根积，再应用两点间距离公式计算可得.
【小问 1详解】
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由点M 1,2 在抛物线C : y2 2px上得 22 2p，即 p 2
p
∴抛物线C的准线方程为 x 1 .
2
【小问 2详解】
设直线 AB的方程为 y kx 1， A x1, y1 ,B x2 , y2 ,
由直线MA与MB的倾斜角互补得 kMA kMB 0，
y1 2 y2 2 y1 2 y 2 4 y y 4 2 2 1 2 0即 x1 2 x2 2 y y21 1 2 1 y1 2 y2 2
4 4
∴ y1 y2 4
y kx 1
联立 2 得 ky
2 4y 4 0．
y 4x
4 4 4
∴ y1 y2 ，y1y2 ，∴ 4，即 k 1，k k k
∴ y1y2 4
∴ TA TB x2 y 1 2 x2 y 1 2 x2 2 21 1 2 2 1 kx1 x2 kx2
2 1 k 2 x1x2 1 k 2
( y1y2 )2 2．
4
f (x) lnx 219. 已知函数 mex 1.
x
（1）若m 0，求曲线 y f (x)在点 1, f 1 处的切线方程.
（2）若 f (x) 0恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）3x y 4 0
（2） ,
1
e3
．
【解析】
【分析】（1）代入m的值，求出函数的导数，计算 f 1 ， f 1 ，求出切线方程即可；
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m 2 lnx x (0, ) h x 2 lnx x（2）问题转化为 x 在 上恒成立，令 x ，根据函数的单调性求出 h(x)xe xe
的最小值，求出m的范围即可.
【小问 1详解】
lnx 2 3 lnx
当m 0时， f (x) 1，则 f (x) 2 ， f 1 1， f 1 3，x x
曲线 y f (x) 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 1 3(x 1)，即3x y 4 0；
【小问 2详解】
f (x) 0 mex lnx 2 1 0 m 2 lnx x由 得 ， x 在 (0, )上恒成立，x xe
1
h x 2 lnx x ( 1)x (2 lnx x)(x 1)令 x ，则 h (x) x (x 1)(x 3 lnx) ，xe x2ex x2ex
令 (x) x 3 lnx，易知 (x)在 (0, )单调递增， (2) 1 ln2 0， (3) ln3 0，
x0 (2,3)，使得 (x0 ) 0，即 lnx0 3 x0，
当 x (0, x0 )时， h (x) 0，当 x (x0 , )时， h (x) 0，
2 lnx x
h(x)在 (0, x0 )
0 0
单调递减，在 (x0 , )上单调递增， h(x)min h(x0 ) x ex ，00
由 lnx0 3 x0得 lnx0 lne
x0 ln(x0e
x0 ) 3，
x ex0 e3， h(x)
2 lnx x 1
min h(x ) 0 0
1
0 0 x ex
0 e3 ， m e3
，
0
m 1 的取值范围是 , .
e3
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