2024年中考数学精选压轴题之二次函数(二)

2024年中考数学精选压轴题之二次函数(二)
一、综合题
1．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
2．（2024·仁和模拟） 如图，已知抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接．当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2018·泸州）如图，已知二次函数 的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且 周长取最大值时，求点G的坐标．
4．（2024·成都模拟）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
5．（2024·剑阁模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A(-1，0)， B(3，0)两点，交y轴于点 C.
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点 D，使得，求点 D 的坐标；
（3）如图2，平面上一点 E(3，2)，过点E 作任意一条直线交抛物线于 P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值 若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
6．（2024九下·隆昌月考）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。
7．（2024九下·麻城期中） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于、两点， 点D是抛物线上横坐标为6的点． 点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线交于点，过点Q作垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且，以、为邻边作矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应函数表达式．
（2）求这条抛物线的对称轴将矩形的面积分为1：2 两部分时m的值．
（3）①求d与m之间的函数关系式，
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
8．（2024九下·哈尔滨开学考）如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接PB交轴于点，设点的横坐标为，线段CE的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接PD交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接AD交BP于点，连接MN，若，时，求点的坐标．
9．（2024九下·岳池月考）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024九下·文山月考）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
11．（2024九下·花溪月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.
（1）求抛物线和直线l的函数表达式.
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
12．（2024·德阳模拟）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0）．
（1）如图1，将抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A'恰好在x轴上，求抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：PC＝CD；
②当a≠1时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
13．（2023·广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
14．（2024九下·阳新月考）如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接交于点，连接，若，时，求点的坐标．
15．（2024·新邵模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，直线是对称轴.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线右侧，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心、作半径为的圆，与相切，切点为.若，且不经过点，求长的取值范围.
16．（2021·广元）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E.试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
17．（2024九下·广水月考） 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标．
18．（2024九下·荆州月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值。
19．（2024·孝南模拟） 如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M．
（1）直接写出a，b的值及点M的坐标；
（2）点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标；
（3）平移直线BC得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
20．（2024·随州模拟）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
21．（2024·南充模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点(点M不与B重合)，过点M作MN⊥x轴于N，是否存在点M，使△CMN为直角三角形 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024·霞山模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
②求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
23．（2024九下·惠阳月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
24．（2024·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，点在第一象限的拋物线上，连接，与轴交于点．
（1）求拋物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
2．【答案】（1）解：由题意得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形为平行四边形；
理由如下：
当时，
，
解得：，，
，，
设直线的解析式为，则有
，
解得：
直线的解析式为，
轴，
，
可设点，，
，
当时，，
，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：存在；理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于，
，
，
由（2）得：当时，
，
，
是的中点，
，
同理可求，直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
在直线上，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
同理可求，直线的解析式为，
联立抛物线与直线的解析式得：
，
解得：或，
设点，
，
，
，
①当时，
，
解得：，
为或，
②当时，
，
即：，
，
此方程无解，
故此种情况不存在；
③当时，
，
解得：，
；
综上所述：故点的坐标为或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意代入点即可求出二次函数的解析式；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点问题即可求出点B和点C的坐标，进而运用待定系数法即可求出直线BC的函数解析式，从而设点，，再表示出PQ，根据二次函数的最值即可得到PQ的最大值，从而结合题意根据平行四边形的判定即可求解；
（3）点作轴交于点，交轴于，先根据平行线的性质得到，由（2）得：当时，再求出点D和点Q的坐标，进而运用待定系数法求出直线PQ的函数解析式，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到点G的坐标，再根据二次函数与一次函数的交点问题即可得到点E的坐标，设点，结合题意根据勾股定理即可得到，，，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，进而即可求解。
3．【答案】（1）解：把点 代入，得
解得
函数解析式为：
设直线 解析式为
把 ， 代入
解得
直线 解析式为：
（2）解：由已知，
点 坐标为
点 坐标为
轴
，
解得 ， （舍去）
故 值为
（3）解：如图，过点 做 于点
由（2）
同理
四边形 是平行四边形
整理得：
，即
由已知
周长
时， 最大．
点坐标为 ， ，此时点 坐标为 ，
当点 、 位置对调时，依然满足条件
点 坐标为 ， 或 ，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 把点 代入 二次函数 即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出B点的坐标，进而利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据抛物线上点的坐标特点、点的坐标与图形的性质、直线上的点的坐标特点即可用同一个未知数的式子表示出D，E两点的坐标，AC的长度，DE的长度，根据平行线分线段成比例定理得出 ，然后证出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，由 S1=4S2得出AE=2DE，从而列出方程，求解并检验即可求出m的值；
（3） 如图，过点 做 于点 ， 由（2） ， 同理 ，根据平行四边形的对边相等得出ED=HG，从而列出方程，求解得出 ，故，根据相似三角形对应边成比例得出 ，进而表示出EG，然后滚局平行四边形周长的计算方法建立出函数关系式，根据函数性质得出 时， 最大．从而求出n的值，得出G，E的坐标， 当点 、 位置对调时，依然满足条件 ，综上所述即可得出答案。
4．【答案】（1）解：当时，则有，即；当时，则有；
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，
当时，则有，解得：，
∴，
由可设直线的解析式为，把点代入得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，则有，即，
连接，过点P作轴交于点M，如图所示：
设点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，开口向下，
∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为；
（3）解：点T在某条定直线上，理由如下：
由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：，
解得：，
∴，
∵点H是线段的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
设点，直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
代入点H得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立上述两个函数表达式得：
，
解得：，
∴代入直线的解析式得，
∴，
设点T在直线，则有：
∴，即，
整理得：，
比较系数得：，
∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件，
∴点T在定直线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数与坐标轴的交点求点A和点C 的坐标，再利用待定系数法可求解函数解析式；
（2）连接BC，作PM∥y轴交BD于点M，先求点B的坐标和直线BD的解析式，设点P的横坐标为a，用含a的代数式表示点P、点M的坐标，进而表示PM的长，建立二次函数，根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据抛物线平称的规律求出平移后的二次函数解析式，确定点G和点H的坐标，设点R的横坐标为n ，点Q的横坐标为m，用待定系数法求出直线RQ的解析式，直线RG的解析式为，直线的解析式，联立函数解析式求解即可。
5．【答案】（1）解：设.
则
（2）解：抛物线的表达式为则点C(0， -3)，
过A作AK⊥AC交 CD 于点K， 作 KH⊥x轴于点 H， 如图，
∵∠ACD=45° ，
∴△CAK 是等腰直角三角形，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°， ∠ACO=90° -∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA(AAS)，
∴AH=CO=3， KH=OA=1，
∴K (2， 1)，
设直线CD的解析式为y=kx-3，
∴2k-3=1，
∴k=2，
∴直线 CD 的解析式为y=2x-3，
联立
解得x=0(舍去) ， 或x=4，
∴D(4， 5) ：
（3）解： OM与ON的积是定值， 理由如下：
∵过点E(3， 2) 作一直线交抛物线于 P、Q两点，
设直线 PQ的解析式为y=ax+n， P(x1， y1) ， Q(x2， y2) ，
∴2=3a+n，
∴n=2-3a，
∴直线 PQ 的解析式为y=ax+2-3a①，
∵抛物线解析式为
联立①②得：
如图2， 作 PS⊥x轴于点S， 作 QT⊥x轴于点T，
则△AMO∽△APS，
即
同理，
， 为定值.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）设根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可求解；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点C的坐标，过A作AK⊥AC交 CD 于点K， 作 KH⊥x轴于点 H，进而根据等腰直角三角形的判定与性质得到AC=AK，从而运用三角形全等的判定与性质证明△OAC≌△HKA(AAS)即可得到AH=CO=3， KH=OA=1，再结合题意运用待定系数法即可求出直线CD的函数解析式，从而根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可求解；
（3）过点E(3， 2) 作一直线交抛物线于 P、Q两点，进而设直线 PQ的解析式为y=ax+n， P(x1， y1) ， Q(x2， y2) ，从而得到直线 PQ 的解析式为y=ax+2-3a①，再根据一次函数与二次函数的交点问题结合题意得到作 PS⊥x轴于点S， 作 QT⊥x轴于点T，进而根据相似三角形的判定与性质代入运算得到OM，再相乘化简即可求解。
6．【答案】（1）解：将A（，0）和点B（4，0）代入得：
解得
∴抛物线的表达式为：
（2）解：对，令，
∴点C的坐标为（0，4）
∵A（，0）和点B（4，0）
∴，
∴
∴
设直线BC的解析式为：，则
，解得
∴直线BC的解析式为：
如图，过点P作轴交直线BC于点H
∴
∴
设点P（x，），则点H（x，）
∴
解得：或
∴点P的坐标为（1，6）或（3，4）
（3）解：点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似多边形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）对得：
∴点E的坐标为（，）
设点M（，）（），N（n，）（）
∵B（4，0）和点C（0，4）
∴
∴是等腰直角三角形
∵与相似
∴是等腰直角三角形
如图，①当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
②当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，4）
③当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
综上所述，点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【分析】（）把点A和点B的坐标代入二次函数的解析式建立方程组，利用待定系数法即可求解；
（）先求出点C的坐标和直线BC的解析式，再根据面积公式求的面积，过点P作PG⊥x轴，交BC 于点F，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P和点F的坐标，进面表示PF的长，利用的面积建立的方程，解方程即可求解；
（）分三种情况：∠ENM=90°或∠NME=90°或∠MEN=90°，根据等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质求解即可。
7．【答案】（1）解：把，、，代入，
，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，设抛物线的对称轴交于点，
∵抛物线的对称轴为：，
∵这条抛物线的对称轴将矩形的面积分为两部分，
可得，，
∴或，
解得：或；
（3）解：①当时，，
∴点的坐标为，．
射线所对应的函数表达式为．
∴．
∴
当时，，
当时，，
②d的函数图象如图所示：
又，
由d的函数图象当时，点P的个数为0．
当时，点P的个数为3．
当时，点P的个数为2．
当时，点P的个数为1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标直接利用待定系数法求解即可；
（2）设抛物线的对称轴交于点，根据（1）中的解析式，找出其对称轴为直线x=3，进而求得，根据对称轴将矩形的面积分为两部分可列方程或，求解即可，
（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式为，则，进而分，两种情况讨论求解即可．②根据①的函数解析式画出函数图象，结合图象即可得出d的不同取值，点P的个数情况．
8．【答案】（1）解：解得，抛物线的解析式为：
（2）解：作OR轴于，
，，
解得得，，，，
，
，
（3）解：作轴于，于K交y轴于
设，则，
，
，，
，又，
作AQ垂直于轴交BP于，则，
又，，
，，，
又，
，
，，
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、点C的值代入 ，用待定系数法求出a、b的值即可求解；
（2）求出直线BP的解析式，再求出CO、OE的表达式，相加即可得到d与t的函数关系式；
（3）先作辅助线，作轴于，于K交y轴于，得到LF的表达式，再证明△AQN≌△AMN，得出AQ=AM，再求出△DGM∽△BAQ，利用锐角三角函数求出tan∠ABP，求出yp，即可求得点P.
9．【答案】（1）解：将代入，
得解得
抛物线的函数解析式为．
（2）解：，
，易得直线的函数解析式为，
．
设，则，
，
，
．
，且，
当时，四边形的面积最大，最大值为16．
（3）解：抛物线的对称轴为．
①当斜边为时，，
即，解得，
点的坐标为或；
②当斜边为时，，
即，解得，
点的坐标为；
当斜边为时，，
即，解得，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】 （1）根据题意代入点A和点C即可求解；
（2）先根据点A和点C的坐标结合待定系数法即可得到，易得直线的函数解析式为，进而即可得到，设，则，从而结合题意运用三角形的面积得到，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）先根据题意求出二次函数的对称轴，，进而根据坐标系中两点间的距离公式的，进而运用勾股定理结合题意分类讨论：①当斜边为时，②当斜边为时，③当斜边为时，从而解方程即可求解。
10．【答案】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC=，∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，设点P到BC的距离为h，
∴＝＝，
∴BD=BC=，
过点D作DK⊥x轴于点K，则△BDK是等腰直角三角形，如图1，
∴DK=BK=BD=2，
∴OK＝1，
∴D（﹣1，2）；
（3）设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（﹣1，0），
设直线HE的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，
联立，
解得 （舍去正值），
∴P(，)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即可得，求出a，b值，即可求出抛物线的解析式；
(2)利用抛物线解析式求得A，B的坐标，进而得出∠CBO= 45°，根据已知得出BD的长，从而得点D到x轴的距离为2，即可得出点D的坐标；
(3)设直线PE交x轴于点H，利用三角形外角的性质得到∠OHE=45°，从而OH=OE=1，所以H(-1，0)，利用待定系数法求得直线HE的表达式为y=-x-1，由解出x、y的值，即可求解.
11．【答案】（1）解：将A(-3，0)，点B(1，0)，点C(-2，-3)代入抛物线表达式可得
解得
即抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
设直线l的表达式为y=kx+m，
将点B(1，0)，点C(-2，-3)代入，得
解得
即直线l的表达式为y=x-1.
（2）解：由题意，可得抛物线y=x2+2x-3的对称轴为直线x=-1，顶点D(-1，-4)，
则E(-1，-2)，所以DE=2.
点P(t，t-1)，-2①连接DF，如图①所示.
∵四边形PEDF是平行四边形，
∴DE=PF=2，即t-1-(t2+2t-3)=2，
化简可得t2+t=0，
解得t1=0，t2=-1(舍去).
即t=0，四边形PEDF是平行四边形.
②连接CF，BF，如图②所示.
由题意，得S△BCF=×PF×[1-(-2)]，PF=t-1-(t2+2t-3)=-t2-t+2，
∴S△BCF=-t2-t+3=-(t+)2+.
∵-<0，开口向下，对称轴为直线t=-，
∴当t=-时，S△BCF面积最大，最大为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①根据平行四边形的性质可得， DE=PF ，得到关于t的方程求解；
②由题意可用t表示出 S△BCF，利用二次函数的性质求解即可．
12．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：x，即为x＝2．
根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（2，﹣8）．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：4a﹣8a﹣4＝﹣8，
解得：a＝1，
即抛物线的对称轴为直线x＝2，a＝1；
（2）解：∵a＝1，
∴图象“W”的解析式为y；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为 ．
设直线BD的解析式为y＝kx﹣4．
当 kx﹣4＝x2﹣4x﹣4 时，
解得x＝0或 x＝4+k，
∴点C的横坐标为4+k．
当 kx﹣4＝﹣x2+4x﹣4 时，
解得x＝0（舍去）或 x＝4﹣k，
∴点P的横坐标为 4﹣k．
当 时，
解得 x＝0或 x＝4+3k，
∴点D的横坐标为 4+3k．
如图1，作PM∥x轴，过点C作CM⊥x轴交PM于点M，
作 CN∥x轴，过点D作 DN⊥CN交CN于点N．
由各点横坐标可得：PM＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，CN＝4+3k﹣4﹣k＝2k，
∴PM＝CN．
∵PM∥x轴，CN∥x轴，
∴PM∥CN，
∴∠DCN＝∠CPM．
∵DN⊥CN，CM⊥PM，
∴∠CMP＝∠DNC＝90°．
∴△CPM≌△DCN（ASA），
∴PC＝CD．
② 为 ．
【知识点】二次函数图象的几何变换；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）②解：当a＞0且a≠1时，图象“G”的解析式为 y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0且a≠1）．
由①可知点P的横坐标为 4﹣k，点C的横坐标为 4+k．
当 kx﹣4＝ax2﹣4ax﹣4 （a＞0且a≠1）时，解得：．
∴．点D的横坐标为 ．
当0＜a＜1时，如图2，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T．
由各点的横坐标可知 PQ＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，PT．
∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，
∴CQ∥DT．
∴△CPQ∽△DPT．
则 ．
当a＞1时，如图3，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T．
由各点的横坐标可知 PQ＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，PT，
∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，
∴CQ∥DT，
∴△CPQ∽△DPT．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为 ．
【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，进而根据折叠的性质可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为，再结合题意即可求解；
（2）①根据三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
②当且时，根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而即可求解；当时，同理即可求解。．
13．【答案】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，
∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或；
（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由AB坐标求出对称轴为直线l：x=1， 设与交于点，过点作于点 ，分两种情况：①∠BFE=90°，且EF=BF，根据AAS证明，可得，设，则，DG=3+m，即得 ， 将其代入可得关于m方程并解之，即得F（0，1），②且EF=BF， 利用直角三角形的性质可得GF=3，即得点F坐标；
（3）设，可求出直线的解析式为，的解析式为， 分别求出x时y值，即得， ，可得OM、ON的长，从而求出 的值，即可判断.
14．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是
∴把和分别代入，得
解得，
抛物线的解析式：；
（2）解：作轴于，
，
，
解得得，
，
，，
，
，
；
（3）解：作轴于，于K交y轴于
设
则，
，
，
即
，
，
又，
作垂直于轴交于，
则，
又，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A和C的坐标代入函数，可得二元一次方程组，解方程组即可求得抛物线的解析式；
（2）根据两点间的距离公式，可得PR的代数式；根据抛物线上点的性质，解方程可得点B的坐标；根据三角函数的正切值的定义，列比例式，可得OE的代数式；根据线段的计算，可得d的值；
（3）根据线段的计算，可得OF和LF的值；据三角函数的正切值的定义，列比例式，可得n的值，进而可得点D的坐标；根据两点间的距离公式，可得AG的值；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得AQ=AM；根据三角形相似的判定和性质，可得比例式，进而求出AM的值；据三角函数的正切值的定义，列比例式，可得t的值，将t的值代入抛物线即可得点P的坐标.
15．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则；
（2）解：存在，理由：
由，则抛物线的顶点坐标为，如下图，
由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，
以为圆心，以长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，
此时，，
则，
则点的坐标为：；
根据图象的对称性，点关于的对称点也符合题意，
即点；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：由（2）知，抛物线的对称轴为.
设，
∵，
∴，
连接，则，
∴，
过点作轴，垂足为，
则，
∴，
∵，
∴.
假设经过点，则有两种情况：
①如图，当点在点的上方，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴.
②如图，当点在点的下方，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
综上所述，或，
∴当不经过点时，长的取值范围为：或或.
【知识点】圆的综合题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据点和点的坐标即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质结合题意得到，以为圆心，以长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，再运用勾股定理求出CD，从而即可求解；
（3）易得对称轴为．设，则，连接，则，根据勾股定理得到，过点P作轴，垂足为H，则，进而即可求出r，从而结合题意分类讨论：①当点M在点N的上方，；②当点M在点N的下方，，再结合题意解一元二次方程即可求解。
16．【答案】（1）解：由表格数据可知，顶点坐标为（1，4）
设抛物线解析式为： ，
将点（0，3）代入解析式得：3=a+4，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，顶点坐标 .
（2）解：由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到 ，
则
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
作 关于MQ的对称点E，则
∴ ，
∴ ，
当P、E、C三点共线时， 最短，
设直线CE的解析式为： ，
将C、E两点坐标代入解析式可得： ，
∴ ，
∴直线CE的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴当 时，P、E、C三点共线，此时 最短，
∴ 的最小值为 .
（3）解：是；
理由：设 ，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设 的外接圆的圆心为 ，
作 ，垂足为点N，则 ，
由 轴，
∴ ，
∵ ，且由表格数据可知
∴ ，
化简得： ，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长不变，为1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标 （1，4） 可设抛物线顶点式： ， 将点（0，3）代入解析式可得结果；
（2） 由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），将A点向上平移一个单位，得到 ，作 关于MQ的对称点E，则 当P、E、C三点共线时， 最短，根据点C、E坐标易得直线CE的解析式，由点P在对称轴上可得点P坐标，根据勾股定理可得结果；
（3）由抛物线的对称性可得圆心位于直线x=1上，设 的外接圆的圆心为 ，作 ，垂足为点N，则 、 ， 由 可得e、p、q关系式，再根据点D在抛物线上可整理，即可得点E坐标，可得结果.
17．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点下方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点上方时：设与轴交于点，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
同理可得的解析式为，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或；．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A和B的坐标代入二次函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出二次函数的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴交点的性质，可得点C的坐标；根据二次函数的性质，可得其对称轴；根据轴对称-最短距离，可以确定三角形PAC周长最小时PA+PC的值；将点B和C的坐标代入乙次函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出直线BC的解析式；将点P的横坐标代入一次函数，可得点P的坐标；根据两点间的距离公式，可得PA和PC的值，进而可得PA与PC的比值；
（3）根据线段中点的性质，可得点D的坐标和OD的长；根据点B的坐标，可得OB的长；根据三角函数正切值的定义，可列比例式，进而可得∠QDB=∠OBD；根据点Q的位置不同，进行分类讨论；根据二次函数上点的性质，将点Q的纵坐标代入函数即可求出点Q的坐标.
18．【答案】（1）解：由题意，对于直线，令，则，令，则，
∴点B、C的坐标分别为、．
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线顶点P的坐标为，对称轴为直线
设，
又，
∴，，
当时，，
∴，
解得，，
∴点坐标为；
当时，则，
∴点坐标为；
当时，此时直角三角形不存在，
综上，点坐标为或；
（3）解：图象翻折后点P的对应点P的坐标为，
①当直线经过点B时，与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C，，B三点共线，b=-3；
②当直线与该“M”形状的图象在A，B两点之间（不包含点A）的部分只有一个交点时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
由题意得，向下翻折的那部分抛物线在翻折后的解析式为，
令，
∴，
即，
解得，
综上所述，b的值为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）依据题意，求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分三种情况讨论求解即可；
（3）依据题意，①当直线经过点B时，与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C，，B三点共线，b=-3；②当直线与该“M”形状的图象在A，B两点之间（不包含点A）的部分只有一个交点时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，分别求解即可．
19．【答案】（1）解：当时，，
∴，
设抛物线解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴，
∴，，点M的坐标为；
（2）解：由（1）得对称轴直线，
、两点关于直线对称，
∴点N为直线与直线的交点时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点N的坐标为；
（3）解：①直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
把点M的坐标代入得，解得
∴直线的解析式为，
令，得，
解得：，
∴，
如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，
则，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即；
②当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）②∵，
把抛物线x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，
则翻折后的图象的解析式为，
∵直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
联立方程得，
整理得：，
当直线平移后与抛物线只有一个交点时，
，
解得：，
当直线平移后经过点时，，解得：，
∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【分析】（1）知道抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式，将C坐标代入即可求出抛物线解析式；将解析式写成顶点式即可写出M坐标；
（2）根据轴对称可得NA=BN，则AN+CN=CN+BN，由两点之间线段最短得到AN+CN≤BC，得到N为BC与对称轴的的交点；由B、C坐标用待定系数法求出直线BC解析式，对称为x=，则N的横坐标为，代入直线解析式即可得到N的坐标；
（3）①平行的直线的k值相等可得到m=，代入M坐标即可求出平移后直线DM解析式，当y=0时，求出x的值即可求出D的坐标，根据坐标特征可求出DH、MH的长度，根据勾股定理可得可求出DM长，利用正弦函数定义可得，代入即可求出DF的值；FM=DM-DF进而得到FM长，可得FM=EF，根据等腰直角三角形性质即可得到∠DME=45°；
②翻折后可由图形得到有两个公共点时有两种情况，一是在BC下方A上方，此时求出过A的直线解析式，即可得到，在BC下方，则；二是直线与翻折后的抛物线只有一个交点时，，根据根的判别式=0可求出n=，此时直线往上移动时，只有两个交点，即；综合即可得到n的取值范围或.
20．【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或
（3）解：存在，点的坐标是．
理由：过点作轴于点，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：，，即，设出P点坐标，根据坐标表示出三角形面积列出方程求解即可；
（3）过点作轴于点，根据得到，根据题意可推出，由相似三角形的性质列出比例式，即可解答．
21．【答案】（1）解：由题意得：解得：．
则抛物线的解析式为：；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G
当y＝0时，，解得x＝－1或3，∴B(3，0)
设直线BC的解析式为：，则
解得：∴y＝x－3
设点(0∴，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BGH＝45°
∴∠PGD＝∠BGH＝45°，∴．
∴当时，PD取得最大值为．此时．
（3）解：在EB上存在点M，使△CMN为直角三角形．
抛物线顶点E(1，－4)，设直线BE的解析式为：
则解得：，∴y＝2x－6．
设M(n，2n－6)(1≤n<3)，
①∵∠CNM＝90°－∠ONC，∴∠CNM<90°，不可能为直角；
②当∠CMN＝90°时，则∠CMN＝∠MNB＝90° ∴轴，
则2n－6＝－3，∴，∴．
③当∠MCN＝90时，过点M作MF⊥y轴于点F．
∵∠MCF＋∠NCO＝90°，∠CNO＋∠NCO＝90°
∴∠MCF＝∠CNO，又∠MFC＝∠CON＝90°，∴△MFC∽△CON
∴，∴，∴
解得：．
∵1≤n<3，∴不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，△CMN为直角三角形时，点M的坐标为：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点A和C的坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线直线BC的解析式，设点P的横坐标为m，用m的代数式表示点P和点D的坐标，进而表示线段PD的长，建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE的解析式，再分三种情况：∠CNM=90°或∠CMN=90°或∠MCN=90°，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
22．【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）解：①y＝（x﹣2m）2﹣4．
②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，
由题意，抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得，
∴满足条件的m的取值范围为．
（3）解：结论：四边形PMP'N能成为正方形．
理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，
四边形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∴∠FPE＝∠MFH，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y＝﹣x2+4上，
∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍弃），
∴m＝﹣3时，四边形PMP'N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，
解得m＝6或0（舍弃），
∴m＝6时，四边形PMP'N是正方形．
综上，四边形PMP'N能成为正方形，m＝﹣3或6．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】 (1)、 解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
(2)、 解：①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，
∴抛物线C'的顶点坐标为（2m，-4），
∴抛物线C'的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4．
【分析】 (1)、设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把顶点D（0，4），A（﹣2，0），代入即可求出.
(2)、联立2个二次函数消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，根据题意列出不等式求出m的取值范围.
(3)、 四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，证明△PFE≌△FMH（AAS），表示出M（m+2，m﹣2），点M在y＝﹣x2+4上，求出m的值.
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，综上求出m的值.
23．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，点M的坐标为或 或；
（3）解：如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
【分析】（1）根据抛物线的对称性易得点A、B的坐标，根据一次函数的性质，将已知点A的坐标代入，即可求出一次函数的表达式；根据待定系数法，列二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的表达式；
（2）根据直角三角形的直角的位置的不同，进行分类讨论；根据一次函数上点的特征，可求出点D的坐标；将点A的坐标代入直线AM和DM的解析式，即可求出直线AM和DM的函数表达式；根据一次函数与抛物线交点的关系，列方程组，即可求出点M的坐标；
（3）根据三角形相似的判定和性质，可得，即；根据两点之间线段最短的性质，可判断PC+PF取最小值时点P的位置；根据勾股定理即可求解.
24．【答案】（1）解：∵抛物线交轴于点和点，
∴将、坐标代入有，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线的表达式为，
∴，
设直线的解析式为
∵，，
∴
解得
∴直线的解析式为
∵为与轴交点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴且，且点在点下方，
∵且在轴上
∴，
∵，
∴，或，若为，，
∵，故，
若为，，
∵，此时，矛盾，舍去
综上，；
②最小值为
如图，设的解析式为
∵抛物线交轴于点，
∴点的坐标为，
将点，、，的坐标代入得
解得
∴的解析式为
与相交于点
∴
解得
所以点的坐标为设直线的解析式为
将点、的坐标代入直线的解析式得
解得
所以直线的解析式为
与相交于点
∴
解得，
∴点的坐标为
∴
，
∴，
当旋转到轴上时，此时最短，
∴，
∴．
故的最小值．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将点和点代入抛物线，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） ①由和求出BQ的解析式，然后根据四边形是平行四边形以及且在轴上得到，再分类讨论求得点M和点E的坐标，进而求解；
②由，和，求出AM的解析式，得到点P的坐标为，进而求得BE的解析式，得到点的坐标为，然后根据两点间距离公式求出BP和HB的长，当旋转到轴上时，此时最短，此时，进而求出的最小值.
1 / 12024年中考数学精选压轴题之二次函数(二)
一、综合题
1．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
2．（2024·仁和模拟） 如图，已知抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接．当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形为平行四边形；
理由如下：
当时，
，
解得：，，
，，
设直线的解析式为，则有
，
解得：
直线的解析式为，
轴，
，
可设点，，
，
当时，，
，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：存在；理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于，
，
，
由（2）得：当时，
，
，
是的中点，
，
同理可求，直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
在直线上，
，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
同理可求，直线的解析式为，
联立抛物线与直线的解析式得：
，
解得：或，
设点，
，
，
，
①当时，
，
解得：，
为或，
②当时，
，
即：，
，
此方程无解，
故此种情况不存在；
③当时，
，
解得：，
；
综上所述：故点的坐标为或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意代入点即可求出二次函数的解析式；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点问题即可求出点B和点C的坐标，进而运用待定系数法即可求出直线BC的函数解析式，从而设点，，再表示出PQ，根据二次函数的最值即可得到PQ的最大值，从而结合题意根据平行四边形的判定即可求解；
（3）点作轴交于点，交轴于，先根据平行线的性质得到，由（2）得：当时，再求出点D和点Q的坐标，进而运用待定系数法求出直线PQ的函数解析式，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到点G的坐标，再根据二次函数与一次函数的交点问题即可得到点E的坐标，设点，结合题意根据勾股定理即可得到，，，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，进而即可求解。
3．（2018·泸州）如图，已知二次函数 的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且 周长取最大值时，求点G的坐标．
【答案】（1）解：把点 代入，得
解得
函数解析式为：
设直线 解析式为
把 ， 代入
解得
直线 解析式为：
（2）解：由已知，
点 坐标为
点 坐标为
轴
，
解得 ， （舍去）
故 值为
（3）解：如图，过点 做 于点
由（2）
同理
四边形 是平行四边形
整理得：
，即
由已知
周长
时， 最大．
点坐标为 ， ，此时点 坐标为 ，
当点 、 位置对调时，依然满足条件
点 坐标为 ， 或 ，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 把点 代入 二次函数 即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出B点的坐标，进而利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据抛物线上点的坐标特点、点的坐标与图形的性质、直线上的点的坐标特点即可用同一个未知数的式子表示出D，E两点的坐标，AC的长度，DE的长度，根据平行线分线段成比例定理得出 ，然后证出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，由 S1=4S2得出AE=2DE，从而列出方程，求解并检验即可求出m的值；
（3） 如图，过点 做 于点 ， 由（2） ， 同理 ，根据平行四边形的对边相等得出ED=HG，从而列出方程，求解得出 ，故，根据相似三角形对应边成比例得出 ，进而表示出EG，然后滚局平行四边形周长的计算方法建立出函数关系式，根据函数性质得出 时， 最大．从而求出n的值，得出G，E的坐标， 当点 、 位置对调时，依然满足条件 ，综上所述即可得出答案。
4．（2024·成都模拟）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，则有，即；当时，则有；
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，
当时，则有，解得：，
∴，
由可设直线的解析式为，把点代入得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，则有，即，
连接，过点P作轴交于点M，如图所示：
设点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，开口向下，
∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为；
（3）解：点T在某条定直线上，理由如下：
由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：，
解得：，
∴，
∵点H是线段的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
设点，直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
代入点H得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立上述两个函数表达式得：
，
解得：，
∴代入直线的解析式得，
∴，
设点T在直线，则有：
∴，即，
整理得：，
比较系数得：，
∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件，
∴点T在定直线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数与坐标轴的交点求点A和点C 的坐标，再利用待定系数法可求解函数解析式；
（2）连接BC，作PM∥y轴交BD于点M，先求点B的坐标和直线BD的解析式，设点P的横坐标为a，用含a的代数式表示点P、点M的坐标，进而表示PM的长，建立二次函数，根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据抛物线平称的规律求出平移后的二次函数解析式，确定点G和点H的坐标，设点R的横坐标为n ，点Q的横坐标为m，用待定系数法求出直线RQ的解析式，直线RG的解析式为，直线的解析式，联立函数解析式求解即可。
5．（2024·剑阁模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A(-1，0)， B(3，0)两点，交y轴于点 C.
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点 D，使得，求点 D 的坐标；
（3）如图2，平面上一点 E(3，2)，过点E 作任意一条直线交抛物线于 P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值 若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：设.
则
（2）解：抛物线的表达式为则点C(0， -3)，
过A作AK⊥AC交 CD 于点K， 作 KH⊥x轴于点 H， 如图，
∵∠ACD=45° ，
∴△CAK 是等腰直角三角形，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°， ∠ACO=90° -∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA(AAS)，
∴AH=CO=3， KH=OA=1，
∴K (2， 1)，
设直线CD的解析式为y=kx-3，
∴2k-3=1，
∴k=2，
∴直线 CD 的解析式为y=2x-3，
联立
解得x=0(舍去) ， 或x=4，
∴D(4， 5) ：
（3）解： OM与ON的积是定值， 理由如下：
∵过点E(3， 2) 作一直线交抛物线于 P、Q两点，
设直线 PQ的解析式为y=ax+n， P(x1， y1) ， Q(x2， y2) ，
∴2=3a+n，
∴n=2-3a，
∴直线 PQ 的解析式为y=ax+2-3a①，
∵抛物线解析式为
联立①②得：
如图2， 作 PS⊥x轴于点S， 作 QT⊥x轴于点T，
则△AMO∽△APS，
即
同理，
， 为定值.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）设根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可求解；
（2）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点C的坐标，过A作AK⊥AC交 CD 于点K， 作 KH⊥x轴于点 H，进而根据等腰直角三角形的判定与性质得到AC=AK，从而运用三角形全等的判定与性质证明△OAC≌△HKA(AAS)即可得到AH=CO=3， KH=OA=1，再结合题意运用待定系数法即可求出直线CD的函数解析式，从而根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可求解；
（3）过点E(3， 2) 作一直线交抛物线于 P、Q两点，进而设直线 PQ的解析式为y=ax+n， P(x1， y1) ， Q(x2， y2) ，从而得到直线 PQ 的解析式为y=ax+2-3a①，再根据一次函数与二次函数的交点问题结合题意得到作 PS⊥x轴于点S， 作 QT⊥x轴于点T，进而根据相似三角形的判定与性质代入运算得到OM，再相乘化简即可求解。
6．（2024九下·隆昌月考）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】（1）解：将A（，0）和点B（4，0）代入得：
解得
∴抛物线的表达式为：
（2）解：对，令，
∴点C的坐标为（0，4）
∵A（，0）和点B（4，0）
∴，
∴
∴
设直线BC的解析式为：，则
，解得
∴直线BC的解析式为：
如图，过点P作轴交直线BC于点H
∴
∴
设点P（x，），则点H（x，）
∴
解得：或
∴点P的坐标为（1，6）或（3，4）
（3）解：点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似多边形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）对得：
∴点E的坐标为（，）
设点M（，）（），N（n，）（）
∵B（4，0）和点C（0，4）
∴
∴是等腰直角三角形
∵与相似
∴是等腰直角三角形
如图，①当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
②当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，4）
③当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
综上所述，点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【分析】（）把点A和点B的坐标代入二次函数的解析式建立方程组，利用待定系数法即可求解；
（）先求出点C的坐标和直线BC的解析式，再根据面积公式求的面积，过点P作PG⊥x轴，交BC 于点F，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P和点F的坐标，进面表示PF的长，利用的面积建立的方程，解方程即可求解；
（）分三种情况：∠ENM=90°或∠NME=90°或∠MEN=90°，根据等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质求解即可。
7．（2024九下·麻城期中） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于、两点， 点D是抛物线上横坐标为6的点． 点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线交于点，过点Q作垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且，以、为邻边作矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应函数表达式．
（2）求这条抛物线的对称轴将矩形的面积分为1：2 两部分时m的值．
（3）①求d与m之间的函数关系式，
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
【答案】（1）解：把，、，代入，
，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，设抛物线的对称轴交于点，
∵抛物线的对称轴为：，
∵这条抛物线的对称轴将矩形的面积分为两部分，
可得，，
∴或，
解得：或；
（3）解：①当时，，
∴点的坐标为，．
射线所对应的函数表达式为．
∴．
∴
当时，，
当时，，
②d的函数图象如图所示：
又，
由d的函数图象当时，点P的个数为0．
当时，点P的个数为3．
当时，点P的个数为2．
当时，点P的个数为1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标直接利用待定系数法求解即可；
（2）设抛物线的对称轴交于点，根据（1）中的解析式，找出其对称轴为直线x=3，进而求得，根据对称轴将矩形的面积分为两部分可列方程或，求解即可，
（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式为，则，进而分，两种情况讨论求解即可．②根据①的函数解析式画出函数图象，结合图象即可得出d的不同取值，点P的个数情况．
8．（2024九下·哈尔滨开学考）如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接PB交轴于点，设点的横坐标为，线段CE的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接PD交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接AD交BP于点，连接MN，若，时，求点的坐标．
【答案】（1）解：解得，抛物线的解析式为：
（2）解：作OR轴于，
，，
解得得，，，，
，
，
（3）解：作轴于，于K交y轴于
设，则，
，
，，
，又，
作AQ垂直于轴交BP于，则，
又，，
，，，
又，
，
，，
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、点C的值代入 ，用待定系数法求出a、b的值即可求解；
（2）求出直线BP的解析式，再求出CO、OE的表达式，相加即可得到d与t的函数关系式；
（3）先作辅助线，作轴于，于K交y轴于，得到LF的表达式，再证明△AQN≌△AMN，得出AQ=AM，再求出△DGM∽△BAQ，利用锐角三角函数求出tan∠ABP，求出yp，即可求得点P.
9．（2024九下·岳池月考）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入，
得解得
抛物线的函数解析式为．
（2）解：，
，易得直线的函数解析式为，
．
设，则，
，
，
．
，且，
当时，四边形的面积最大，最大值为16．
（3）解：抛物线的对称轴为．
①当斜边为时，，
即，解得，
点的坐标为或；
②当斜边为时，，
即，解得，
点的坐标为；
当斜边为时，，
即，解得，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】 （1）根据题意代入点A和点C即可求解；
（2）先根据点A和点C的坐标结合待定系数法即可得到，易得直线的函数解析式为，进而即可得到，设，则，从而结合题意运用三角形的面积得到，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）先根据题意求出二次函数的对称轴，，进而根据坐标系中两点间的距离公式的，进而运用勾股定理结合题意分类讨论：①当斜边为时，②当斜边为时，③当斜边为时，从而解方程即可求解。
10．（2024九下·文山月考）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
【答案】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC=，∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，设点P到BC的距离为h，
∴＝＝，
∴BD=BC=，
过点D作DK⊥x轴于点K，则△BDK是等腰直角三角形，如图1，
∴DK=BK=BD=2，
∴OK＝1，
∴D（﹣1，2）；
（3）设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，
∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG＝45°，
∴OH＝OE＝1，
∴H（﹣1，0），
设直线HE的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，
联立，
解得 （舍去正值），
∴P(，)．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即可得，求出a，b值，即可求出抛物线的解析式；
(2)利用抛物线解析式求得A，B的坐标，进而得出∠CBO= 45°，根据已知得出BD的长，从而得点D到x轴的距离为2，即可得出点D的坐标；
(3)设直线PE交x轴于点H，利用三角形外角的性质得到∠OHE=45°，从而OH=OE=1，所以H(-1，0)，利用待定系数法求得直线HE的表达式为y=-x-1，由解出x、y的值，即可求解.
11．（2024九下·花溪月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.
（1）求抛物线和直线l的函数表达式.
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】（1）解：将A(-3，0)，点B(1，0)，点C(-2，-3)代入抛物线表达式可得
解得
即抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
设直线l的表达式为y=kx+m，
将点B(1，0)，点C(-2，-3)代入，得
解得
即直线l的表达式为y=x-1.
（2）解：由题意，可得抛物线y=x2+2x-3的对称轴为直线x=-1，顶点D(-1，-4)，
则E(-1，-2)，所以DE=2.
点P(t，t-1)，-2①连接DF，如图①所示.
∵四边形PEDF是平行四边形，
∴DE=PF=2，即t-1-(t2+2t-3)=2，
化简可得t2+t=0，
解得t1=0，t2=-1(舍去).
即t=0，四边形PEDF是平行四边形.
②连接CF，BF，如图②所示.
由题意，得S△BCF=×PF×[1-(-2)]，PF=t-1-(t2+2t-3)=-t2-t+2，
∴S△BCF=-t2-t+3=-(t+)2+.
∵-<0，开口向下，对称轴为直线t=-，
∴当t=-时，S△BCF面积最大，最大为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①根据平行四边形的性质可得， DE=PF ，得到关于t的方程求解；
②由题意可用t表示出 S△BCF，利用二次函数的性质求解即可．
12．（2024·德阳模拟）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0）．
（1）如图1，将抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A'恰好在x轴上，求抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：PC＝CD；
②当a≠1时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：x，即为x＝2．
根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（2，﹣8）．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：4a﹣8a﹣4＝﹣8，
解得：a＝1，
即抛物线的对称轴为直线x＝2，a＝1；
（2）解：∵a＝1，
∴图象“W”的解析式为y；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为 ．
设直线BD的解析式为y＝kx﹣4．
当 kx﹣4＝x2﹣4x﹣4 时，
解得x＝0或 x＝4+k，
∴点C的横坐标为4+k．
当 kx﹣4＝﹣x2+4x﹣4 时，
解得x＝0（舍去）或 x＝4﹣k，
∴点P的横坐标为 4﹣k．
当 时，
解得 x＝0或 x＝4+3k，
∴点D的横坐标为 4+3k．
如图1，作PM∥x轴，过点C作CM⊥x轴交PM于点M，
作 CN∥x轴，过点D作 DN⊥CN交CN于点N．
由各点横坐标可得：PM＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，CN＝4+3k﹣4﹣k＝2k，
∴PM＝CN．
∵PM∥x轴，CN∥x轴，
∴PM∥CN，
∴∠DCN＝∠CPM．
∵DN⊥CN，CM⊥PM，
∴∠CMP＝∠DNC＝90°．
∴△CPM≌△DCN（ASA），
∴PC＝CD．
② 为 ．
【知识点】二次函数图象的几何变换；三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）②解：当a＞0且a≠1时，图象“G”的解析式为 y＝ax2﹣4ax﹣4（a＞0且a≠1）．
由①可知点P的横坐标为 4﹣k，点C的横坐标为 4+k．
当 kx﹣4＝ax2﹣4ax﹣4 （a＞0且a≠1）时，解得：．
∴．点D的横坐标为 ．
当0＜a＜1时，如图2，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T．
由各点的横坐标可知 PQ＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，PT．
∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，
∴CQ∥DT．
∴△CPQ∽△DPT．
则 ．
当a＞1时，如图3，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T．
由各点的横坐标可知 PQ＝4+k﹣（4﹣k）＝2k，PT，
∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，
∴CQ∥DT，
∴△CPQ∽△DPT．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为 ．
【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，进而根据折叠的性质可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为，再结合题意即可求解；
（2）①根据三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
②当且时，根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而即可求解；当时，同理即可求解。．
13．（2023·广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，
∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或；
（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由AB坐标求出对称轴为直线l：x=1， 设与交于点，过点作于点 ，分两种情况：①∠BFE=90°，且EF=BF，根据AAS证明，可得，设，则，DG=3+m，即得 ， 将其代入可得关于m方程并解之，即得F（0，1），②且EF=BF， 利用直角三角形的性质可得GF=3，即得点F坐标；
（3）设，可求出直线的解析式为，的解析式为， 分别求出x时y值，即得， ，可得OM、ON的长，从而求出 的值，即可判断.
14．（2024九下·阳新月考）如图1，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是第四象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段的长为d，求d与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，点是第三象限内抛物线上一点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，连接交于点，连接，若，时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是
∴把和分别代入，得
解得，
抛物线的解析式：；
（2）解：作轴于，
，
，
解得得，
，
，，
，
，
；
（3）解：作轴于，于K交y轴于
设
则，
，
，
即
，
，
又，
作垂直于轴交于，
则，
又，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点A和C的坐标代入函数，可得二元一次方程组，解方程组即可求得抛物线的解析式；
（2）根据两点间的距离公式，可得PR的代数式；根据抛物线上点的性质，解方程可得点B的坐标；根据三角函数的正切值的定义，列比例式，可得OE的代数式；根据线段的计算，可得d的值；
（3）根据线段的计算，可得OF和LF的值；据三角函数的正切值的定义，列比例式，可得n的值，进而可得点D的坐标；根据两点间的距离公式，可得AG的值；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得AQ=AM；根据三角形相似的判定和性质，可得比例式，进而求出AM的值；据三角函数的正切值的定义，列比例式，可得t的值，将t的值代入抛物线即可得点P的坐标.
15．（2024·新邵模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，直线是对称轴.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线右侧，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心、作半径为的圆，与相切，切点为.若，且不经过点，求长的取值范围.
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则；
（2）解：存在，理由：
由，则抛物线的顶点坐标为，如下图，
由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，
以为圆心，以长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，
此时，，
则，
则点的坐标为：；
根据图象的对称性，点关于的对称点也符合题意，
即点；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：由（2）知，抛物线的对称轴为.
设，
∵，
∴，
连接，则，
∴，
过点作轴，垂足为，
则，
∴，
∵，
∴.
假设经过点，则有两种情况：
①如图，当点在点的上方，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴.
②如图，当点在点的下方，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
综上所述，或，
∴当不经过点时，长的取值范围为：或或.
【知识点】圆的综合题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据点和点的坐标即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质结合题意得到，以为圆心，以长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，再运用勾股定理求出CD，从而即可求解；
（3）易得对称轴为．设，则，连接，则，根据勾股定理得到，过点P作轴，垂足为H，则，进而即可求出r，从而结合题意分类讨论：①当点M在点N的上方，；②当点M在点N的下方，，再结合题意解一元二次方程即可求解。
16．（2021·广元）如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴，垂足为F， 的外接圆与 相交于点E.试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由表格数据可知，顶点坐标为（1，4）
设抛物线解析式为： ，
将点（0，3）代入解析式得：3=a+4，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，顶点坐标 .
（2）解：由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到 ，
则
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
作 关于MQ的对称点E，则
∴ ，
∴ ，
当P、E、C三点共线时， 最短，
设直线CE的解析式为： ，
将C、E两点坐标代入解析式可得： ，
∴ ，
∴直线CE的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴当 时，P、E、C三点共线，此时 最短，
∴ 的最小值为 .
（3）解：是；
理由：设 ，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设 的外接圆的圆心为 ，
作 ，垂足为点N，则 ，
由 轴，
∴ ，
∵ ，且由表格数据可知
∴ ，
化简得： ，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长不变，为1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标 （1，4） 可设抛物线顶点式： ， 将点（0，3）代入解析式可得结果；
（2） 由表格可知，抛物线经过点A（-1，0），C（0，3），将A点向上平移一个单位，得到 ，作 关于MQ的对称点E，则 当P、E、C三点共线时， 最短，根据点C、E坐标易得直线CE的解析式，由点P在对称轴上可得点P坐标，根据勾股定理可得结果；
（3）由抛物线的对称性可得圆心位于直线x=1上，设 的外接圆的圆心为 ，作 ，垂足为点N，则 、 ， 由 可得e、p、q关系式，再根据点D在抛物线上可整理，即可得点E坐标，可得结果.
17．（2024九下·广水月考） 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点下方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点上方时：设与轴交于点，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
同理可得的解析式为，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或；．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A和B的坐标代入二次函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出二次函数的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴交点的性质，可得点C的坐标；根据二次函数的性质，可得其对称轴；根据轴对称-最短距离，可以确定三角形PAC周长最小时PA+PC的值；将点B和C的坐标代入乙次函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出直线BC的解析式；将点P的横坐标代入一次函数，可得点P的坐标；根据两点间的距离公式，可得PA和PC的值，进而可得PA与PC的比值；
（3）根据线段中点的性质，可得点D的坐标和OD的长；根据点B的坐标，可得OB的长；根据三角函数正切值的定义，可列比例式，进而可得∠QDB=∠OBD；根据点Q的位置不同，进行分类讨论；根据二次函数上点的性质，将点Q的纵坐标代入函数即可求出点Q的坐标.
18．（2024九下·荆州月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值。
【答案】（1）解：由题意，对于直线，令，则，令，则，
∴点B、C的坐标分别为、．
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线顶点P的坐标为，对称轴为直线
设，
又，
∴，，
当时，，
∴，
解得，，
∴点坐标为；
当时，则，
∴点坐标为；
当时，此时直角三角形不存在，
综上，点坐标为或；
（3）解：图象翻折后点P的对应点P的坐标为，
①当直线经过点B时，与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C，，B三点共线，b=-3；
②当直线与该“M”形状的图象在A，B两点之间（不包含点A）的部分只有一个交点时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
由题意得，向下翻折的那部分抛物线在翻折后的解析式为，
令，
∴，
即，
解得，
综上所述，b的值为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）依据题意，求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分三种情况讨论求解即可；
（3）依据题意，①当直线经过点B时，与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C，，B三点共线，b=-3；②当直线与该“M”形状的图象在A，B两点之间（不包含点A）的部分只有一个交点时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，分别求解即可．
19．（2024·孝南模拟） 如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M．
（1）直接写出a，b的值及点M的坐标；
（2）点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标；
（3）平移直线BC得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴，
设抛物线解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴，
∴，，点M的坐标为；
（2）解：由（1）得对称轴直线，
、两点关于直线对称，
∴点N为直线与直线的交点时，最小，
设直线解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点N的坐标为；
（3）解：①直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
把点M的坐标代入得，解得
∴直线的解析式为，
令，得，
解得：，
∴，
如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，
则，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，即；
②当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；翻折变换（折叠问题）；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）②∵，
把抛物线x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，
则翻折后的图象的解析式为，
∵直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
联立方程得，
整理得：，
当直线平移后与抛物线只有一个交点时，
，
解得：，
当直线平移后经过点时，，解得：，
∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【分析】（1）知道抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式，将C坐标代入即可求出抛物线解析式；将解析式写成顶点式即可写出M坐标；
（2）根据轴对称可得NA=BN，则AN+CN=CN+BN，由两点之间线段最短得到AN+CN≤BC，得到N为BC与对称轴的的交点；由B、C坐标用待定系数法求出直线BC解析式，对称为x=，则N的横坐标为，代入直线解析式即可得到N的坐标；
（3）①平行的直线的k值相等可得到m=，代入M坐标即可求出平移后直线DM解析式，当y=0时，求出x的值即可求出D的坐标，根据坐标特征可求出DH、MH的长度，根据勾股定理可得可求出DM长，利用正弦函数定义可得，代入即可求出DF的值；FM=DM-DF进而得到FM长，可得FM=EF，根据等腰直角三角形性质即可得到∠DME=45°；
②翻折后可由图形得到有两个公共点时有两种情况，一是在BC下方A上方，此时求出过A的直线解析式，即可得到，在BC下方，则；二是直线与翻折后的抛物线只有一个交点时，，根据根的判别式=0可求出n=，此时直线往上移动时，只有两个交点，即；综合即可得到n的取值范围或.
20．（2024·随州模拟）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或
（3）解：存在，点的坐标是．
理由：过点作轴于点，
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：，，即，设出P点坐标，根据坐标表示出三角形面积列出方程求解即可；
（3）过点作轴于点，根据得到，根据题意可推出，由相似三角形的性质列出比例式，即可解答．
21．（2024·南充模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点(点M不与B重合)，过点M作MN⊥x轴于N，是否存在点M，使△CMN为直角三角形 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：解得：．
则抛物线的解析式为：；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G
当y＝0时，，解得x＝－1或3，∴B(3，0)
设直线BC的解析式为：，则
解得：∴y＝x－3
设点(0∴，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BGH＝45°
∴∠PGD＝∠BGH＝45°，∴．
∴当时，PD取得最大值为．此时．
（3）解：在EB上存在点M，使△CMN为直角三角形．
抛物线顶点E(1，－4)，设直线BE的解析式为：
则解得：，∴y＝2x－6．
设M(n，2n－6)(1≤n<3)，
①∵∠CNM＝90°－∠ONC，∴∠CNM<90°，不可能为直角；
②当∠CMN＝90°时，则∠CMN＝∠MNB＝90° ∴轴，
则2n－6＝－3，∴，∴．
③当∠MCN＝90时，过点M作MF⊥y轴于点F．
∵∠MCF＋∠NCO＝90°，∠CNO＋∠NCO＝90°
∴∠MCF＝∠CNO，又∠MFC＝∠CON＝90°，∴△MFC∽△CON
∴，∴，∴
解得：．
∵1≤n<3，∴不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，△CMN为直角三角形时，点M的坐标为：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把点A和C的坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线直线BC的解析式，设点P的横坐标为m，用m的代数式表示点P和点D的坐标，进而表示线段PD的长，建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE的解析式，再分三种情况：∠CNM=90°或∠CMN=90°或∠MCN=90°，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
22．（2024·霞山模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
②求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）解：①y＝（x﹣2m）2﹣4．
②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，
由题意，抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得，
∴满足条件的m的取值范围为．
（3）解：结论：四边形PMP'N能成为正方形．
理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，
四边形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∴∠FPE＝∠MFH，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y＝﹣x2+4上，
∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍弃），
∴m＝﹣3时，四边形PMP'N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，
解得m＝6或0（舍弃），
∴m＝6时，四边形PMP'N是正方形．
综上，四边形PMP'N能成为正方形，m＝﹣3或6．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】 (1)、 解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
(2)、 解：①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，
∴抛物线C'的顶点坐标为（2m，-4），
∴抛物线C'的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4．
【分析】 (1)、设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把顶点D（0，4），A（﹣2，0），代入即可求出.
(2)、联立2个二次函数消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，根据题意列出不等式求出m的取值范围.
(3)、 四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，证明△PFE≌△FMH（AAS），表示出M（m+2，m﹣2），点M在y＝﹣x2+4上，求出m的值.
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，综上求出m的值.
23．（2024九下·惠阳月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，点M的坐标为或 或；
（3）解：如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
【分析】（1）根据抛物线的对称性易得点A、B的坐标，根据一次函数的性质，将已知点A的坐标代入，即可求出一次函数的表达式；根据待定系数法，列二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的表达式；
（2）根据直角三角形的直角的位置的不同，进行分类讨论；根据一次函数上点的特征，可求出点D的坐标；将点A的坐标代入直线AM和DM的解析式，即可求出直线AM和DM的函数表达式；根据一次函数与抛物线交点的关系，列方程组，即可求出点M的坐标；
（3）根据三角形相似的判定和性质，可得，即；根据两点之间线段最短的性质，可判断PC+PF取最小值时点P的位置；根据勾股定理即可求解.
24．（2024·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，点在第一象限的拋物线上，连接，与轴交于点．
（1）求拋物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线交轴于点和点，
∴将、坐标代入有，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线的表达式为，
∴，
设直线的解析式为
∵，，
∴
解得
∴直线的解析式为
∵为与轴交点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴且，且点在点下方，
∵且在轴上
∴，
∵，
∴，或，若为，，
∵，故，
若为，，
∵，此时，矛盾，舍去
综上，；
②最小值为
如图，设的解析式为
∵抛物线交轴于点，
∴点的坐标为，
将点，、，的坐标代入得
解得
∴的解析式为
与相交于点
∴
解得
所以点的坐标为设直线的解析式为
将点、的坐标代入直线的解析式得
解得
所以直线的解析式为
与相交于点
∴
解得，
∴点的坐标为
∴
，
∴，
当旋转到轴上时，此时最短，
∴，
∴．
故的最小值．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将点和点代入抛物线，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） ①由和求出BQ的解析式，然后根据四边形是平行四边形以及且在轴上得到，再分类讨论求得点M和点E的坐标，进而求解；
②由，和，求出AM的解析式，得到点P的坐标为，进而求得BE的解析式，得到点的坐标为，然后根据两点间距离公式求出BP和HB的长，当旋转到轴上时，此时最短，此时，进而求出的最小值.
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