2024年中考数学精选压轴题之项目式学习探究(一)
一、实践探究题
1．（2023·深圳模拟）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
（1）任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
（4）任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6）
【答案】（1）
（2）45°
（3）解：解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝4，NP＝BG＝2，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝
∴PQ=
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，
根据题意得：
∵NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2，
∴PQ＝HI﹣IQ－PH＝8﹣4，
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m．
（4）10
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图：
过B作BE⊥AM于点E，作BF⊥AN于点F，
由题意得：BE=BF=4m，∠FAE=90°，
∴四边形AEBF是正方形.
∴AE=BE=4m，AB平分∠FAE.
∴m.
故答案为：.
（2）如图：
由题意得：∠CAD=90°，△CAD是直角三角形.
当CD=2AB时，CD中点为点B，
∴AB=CB=BD.
由（1）知，AB平分∠CAD，
∴∠BAD=45°，
∴∠ADC=45°.
故答案为：45°.
（4）如图：
过点N作x轴的平行线，过点M作y轴的平行线，交于点C.
∴∠MCN=90°，OB平分∠MCN.
∴MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）=.
∵线段OB在反比例函数的对称轴上，
∴OB为x轴与y轴的角平分线.
∵OA=2m，∴点A的坐标为，
反比例函数表达式为.
设N点坐标为，
∴M点坐标为，C点坐标为
∴，
，
∴
∴
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴根据实际情况可得：b的最大整数值为10m．
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意得到AB平分外墙，两侧墙之间距离是4m，即可求出对角线AB的长；
（2）根据平分得∠CAB=∠DAB=45°，CB=AB=BD，即可求出∠ADC的度数；
（3）根据∠ANM＝∠NAG＝45°，得AG⊥MN，于是可证△AGM和△AGN全等，从而得到MN=2MG=2AG=2（AB－PN），代入数据，求得最大整数值；也可利用直线QP，得QP=HI-IQ－HP，利用MQ长求出IQ和PH的长，从而得PQ的长；
（4）根据对称轴和OA=2求出反比例函数表达式，设点N坐标，表示出M和C的坐标，从而表示是OC，CN的长，进一步利用等腰直角三角形性质表示出MN的长；再利用MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）表示出MN的长，建立关于m的方程求解.最后代入求得MN的长，再按要求求最大整数解.
2．（2024八下·杭州月考）综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题.
例1：把代数式进行配方.
解：原式.
例2：求代数式的最大值.
解：原式.∵，∴，
∴，∴的最大值为.
【问题解决】
（1）若m，k，h满足，求的值.
（2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长.
（3）如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于x的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.已知实数p，q满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根.四边形的周长为，试求的面积.
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，，
，
当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形的周长为：；
当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形的周长为：，
等腰三角形的周长为13或14；
（3）解：，
，
，
的最小值为，
的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
是的一个根，
，
，
四边形的周长为，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据m，k，h满足， 将等式的右边展开，再对应相等得到即可求出k，h的值，最后求和即可；
（2）将式子配方可得，由偶次方的非负性可求出，，再分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，利用等腰三角形的性质进行计算即可；
（3）由两边同时加可得，求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案．
3．（2024八上·深圳期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口. 为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短。某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动。
图11-1
任务一 实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，。小组成员又借助电子角度仪测得.
道路 长度（米）
AE 40
AB 30
BC 30
BF 18
EF 32
DE 25
任务二 数学计算
根据图11-3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
（1）求道路的长；
（2）道路 米；
（3）任务三 方案设计
①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为 米。（保留根号）
【答案】（1）解：∵，
∴
∵
∴.
∴
即道路CD长25米.
（2）48
（3）解：①∵G点到四栋楼的距离之和为：
GB+GC+GD+GE=EB+GD+GC=50+GD+GC=50+GD+GA≥50+AD.
连接AD交BE于点G，连接CG.
∴则G点即为“爱心衣物回收箱”的具体位置，CG，DG位置如图所示：
图11-3
②.
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）如图，
∵BF=18米，EF=32米，
∴BE=BF+EF=50米.
又∵AB=30米，AE=40米，302+402=502，
∴△AEB是直角三角形，∠BAE=90°.
∴∠BCE=∠BAE=90°.
在Rt△BAE和Rt△BCE中，
∴Rt△BAE≌Rt△BCE（HL）.
∴EA=EC.
∴BE垂直平分AC.
∴AF=CF，∠AFB=90°.
在Rt△BAF中，米，
∴AC=2AF=48米.
故答案为：48
（3）∵BE垂直平分AC，
∴GA=GC.
如图，DG+GC=DG+GA=AD.
∵BE//DC，BE⊥AC，
∴DC⊥AC.
在Rt△ACD中，米.
故G点到四栋楼的距离之和最小为：
（米）.
故答案为：（）.
【分析】（1）根据平行线性质得到∠BEC=∠DEC，再结合∠CEB=∠CED可证得ED=CD，即可得到DC长；
（2）证得∠EAB=90°，从而可证得△BAE和△BCE全等，于是得到EA=EC.根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可得BE垂直平分AC，于是可求AF的长，继而得到AC的长；
（3）①由题意画出图形即可，注意“将军饮马”模型在这里的使用；
②求得AD的长，即可得到结果.
4．（2024七上·吴兴期末）根据以下素材，回答问题．
问题 背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线A-B-C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝2米，BC＝6米.初步设计方案有两种：如图①，点D在线段BC上；如图②，点D在线段BC的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米.项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中.
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米.
（1）任务一
根据图1的设计，
若设AF＝x，则在①中，DE= ；(请用含x的代数式表示)
在②中，长方形BFED的周长为 ．
（2）任务二
根据学校要求，劳动实践基地的长：宽=2：1，请分别求出不同方案下AF的值．
（3）任务三
在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案： (填①或②)，并求出此时所需的费用．
【答案】解：任务一：x+2；18；任务二：如图①，DE=x＋2，EF=10－(x＋2)－x=8－2x由题意得：x＋2=2(8－2x)解得：.即.如图②，DE=x＋2，EF=7－x由题意得：7－x=2(x＋2)解得：.即.综上所述，AF的长为或1.任务三：①；①由（2）得，∴∴∴面积为（平方米），∴费用为（元）.②由（2）得AF=1，∴DE=2+1=3，∴EF=7+1=8，∴面积为3×8=24（平方米），∴费用为24×25=600（元），比较可得：方案①符合要求. 此时需要的费用为288元.
（1）x+2；18
（2）解：如图①，DE=x＋2，EF=10－(x＋2)－x=8－2x
由题意得：x＋2=2(8－2x)
解得：.
即.
如图②，DE=x＋2，EF=7－x
由题意得：7－x=2(x＋2)
解得：.
即.
综上所述，AF的长为或1.
（3）解：①由（2）得，
∴
∴
∴面积为（平方米），
∴费用为（元）.
②由（2）得AF=1，
∴DE=2+1=3，
∴EF=7+1=8，
∴面积为3×8=24（平方米），
∴费用为24×25=600（元），
比较可得：方案①符合要求. 此时需要的费用为288元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：任务一∵在①中，四边形BFED是矩形，
∴DE=BF=AB+AF=2+x，
在②中，∵四边形BFED是矩形，
∴BF=DE，BD=EF.
又∵AF+EF+DE+CD=10，即x+6+CD+2+x+DC=10，
∴DC=1-x，
∴周长为：2BF+2BD=2（2+x）+2（6+1-x）=18.
故答案为：（2+x）；18.
【分析】（1）根据题意用代数式表示DE和长方形BFED的周长即可；
（2）分两种情况表示出长方形的长和宽；然后根据长∶宽=2：1，建立方程求解即可；
（3）分别求出两种情况下的面积，计算出费用，比较得出比较节省的费用即可.
5．（2022·江北模拟）项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理
（1）【合作探究】
探究 组：如图1，圆形车轮半径为 ，其车轮轴心 到地面的距离始终为 ．
探究 组：如图2，正方形车轮的轴心为 ，若正方形的边长为 ，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差．
探究 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 ，其车轮轴心为 ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，以正三角形的边长为半径作 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
探究 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 ．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 并不稳定．
【答案】（1）解：探究A组：4；
探究B组：如图所示：
由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长，
∵正方形的边长为4cm，
∴OA=2cm，BD=BO==2，
∴最高距离与最低距离的差为（2-2）cm；
探究C组：如图所示：
从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程L1=2r·=cm，
从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程L2=2r·=cm，
从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程L3=2r·=cm，
∴一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=++=2r=8cm；
（2）A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）探究A组：∵圆的半径为4cm，
∴其车轮轴心O到地面的距离始终为4cm；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，故A选项符合.
【分析】（1）探究A组：根据圆的半径之间解答即可；
探究B组：根据正方形的性质求出最高点到地面的距离为BD的长度，最低点到地面的距离OA的长度即可；
探究C组：分别求出三部分路程，然后相加即可；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环由此即可判断.
6．（2023九上·文成开学考）根据背景素材，探索解决问题．
自制杆秤
背 景 素 材 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
设计简易杆秤要求：设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
问题解决
任务一 确定和的值 ⑴当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． ⑵当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． ⑶根据（1）和（2）所列方程，求出和的值．
任务二 确定刻线的位置 ⑷根据任务一，求y关于m的函数解析式． ⑸从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】⑴
⑵
⑶由(1)(2)得：，解得
⑷由(3)可得
⑸5厘米
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】解： （1）由题意得：
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，
m=0，y=0，
∵m0=10，M=50，
∴，
∴.
（2） 当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，
此时 m=1000，y=50，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）可得：，解得.
（4）由（3）可得：
∴2.5（10+m）=50（0.5+y），∴
（5）由（4）可知：，
∴当m=0时，则有y=0；当m=100时，则有y=5；当m=200时，则有y=10；当m=300时，则有y=15；当m=400时，则有y=20；当m=500时，则有y=25；当m=600时，则有y=30；当m=700时，则有y=35；当m=800时，则有y=40；当m=900时，则有y=45；当m=1000时，则有y=50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【分析】 （1）、（2）根据题意列出方程；
（3）将（1）、（2）两个方程联立，可得到二元一次方程组，解这个方程组即可；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m=0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000 代入计算，可得出相邻刻线间的距离．
7．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
【知识点】垂线的概念；线段垂直平分线的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【解答】 解：（1）任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
（3） 任务三：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=60cm，
∴竹条AC的长为60cm，
故答案为：60；
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可判断；任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；任务四：根据以上完成的问题，即可解答。
8．（2023·淮安）根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．
参考数据
项目任务
（1）求出古塔的高度．
（2）求出古塔底面圆的半径．
【答案】（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，∴，
依题意，，，
设，则CE=PE=xm，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴，
又∵，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为2.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，则QE=CD=1.5m，设PE=xm，由等腰直角三角形可得PE=CE=xm，在Rt△PAE中，由∠PAE的正切函数可求出x的值，即PE的长，从而根据PQ=PE+QE列式计算可求出古塔的高度；
（2）由矩形性质得DQ=CE=15m，进而根据QG=DQ-DG计算可得古塔底面圆的半径.
9．（2023八下·上城期末）综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草 坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为 ▲ ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 ▲ 和 ▲ ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 ▲ 和 ▲ ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
【答案】解：（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③（70x-1）m2，（70x-1）m2；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法1：，
，
方法2：，
；
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且，
则：，，
，
，
故甲和乙的说法都不正确．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）②小路的面积为40×1+30×1-1×1=69（m2），所以甲、乙方案中小路的面积分别为 ， ；
③若小路宽为x米，则甲方案中小路所占的面积为40x+30x-1=70x-1，所以甲、乙方案中小路的面积分别为（70x-1）m2，（70x-1）m2.
【分析】（1）通过平移的知识，可以得出结论；利用图案甲计算出小路面积；
（2）设若小路宽为x米，列式（40-x）（30-x）=1064，计算出x的值；
（3）根据篱笆围成的矩形ABCD的面积为100平方米，列出xy=100，得出函数关系式；根据篱笆的总长度为30米，列出2x+y=30，得出函数关系式；根据题中两种方案的宽之和小于15米，解方程得出篱笆的长的范围，从而判断甲乙的说法都不正确.
10．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
方案一 方案二 …
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 …
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m …
D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m …
EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m …
… …
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
【答案】解：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，
则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形，
∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m，
∵EQ∥AH，
∴
∵
∴△CEQ∽△CAH，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°．
∴△CEF∽△CGA，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形， 证明 △CEQ∽△CAH， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
方案二： 证明△CEF∽△CGA，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
11．（2024·长沙模拟） 【发现问题】
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：
水平距离
竖直高度
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米；
（2）求满足条件的抛物线的解析式；
（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：设抛物线的解析式为，
由表格可知：抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的解析式为：
∵图象经过点，
∴，
∴，
∴
（3）解：当时，，
解得：；（不合题意，舍去），
．
答：明明在此次考试中能得到满分
【知识点】函数的表示方法；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解题】（1）由表格数据可得出手时实心球的竖直高度是2米，实心球在空中的最大高度是3.6米，
【分析】（1）根据表格数据即可求解；
（2）设抛物线的解析式为， 利用待定系数法即可求解；
（3） 当时，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值，再与9.7作出比较，即可得出结论.
12．（2024·浙江模拟）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖纸盒 （1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？ （2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
【答案】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为．
任务2：侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设剪掉的正方形的边长为，则无盖纸盒的底面长为（40-2x）cm，进而根据正方形的面积计算公式列出方程，解方程即可得到答案；
任务2：设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，利用长方体的侧面积公式，可得y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到最值，进而求解.
13．（2023九上·滨江月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决：
（1）任务1：确定喷泉形状
结合素材1，求y关于x的表达式．
（2）任务2：探究喷头升降方案
为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
【答案】（1）解：分析表格数据可得该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2），
设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，将点（0，1）代入，得1＝4a+2，则，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当x＝2+1.4＝3.4时，y≥2+0.4＝2.4，
∴，解得c≥2.89，
喷头至少向上调节2.89﹣2＝0.89（米），
∴1+0.89＝1.89（米），
答：喷头距离湖面高度的最小值为1.89米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）先根据表格推出抛物线的对称轴和顶点坐标，待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据题意设出函数解析式，将x=3.4代入求出函数值，根据题意列出不等式求解即可.
14．（2024九下·深圳期中）根据背景素材，探索解决问题．
生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题 求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
解决问题 求OE的长．
任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD'的长．
【答案】解：任务1由题意得抛物线过点D（8，0），（7，），A（0，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，解得，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为
任务2∵水柱所在抛物线的函数解析式为
当时，，解得x或6，
∵点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
∴F（6，），∵E在OD上，OD⊥EF．
∴E（6，0），∴OE＝6，∴OE的长为6米；
任务3①由题意得OD＝8米，
∴这个喷头最多可洒水的面积为：π（平方米），
答：这个喷头最多可洒水π平方米；
②过点O作OH⊥DD'于H，
由题意得OD＝OD'＝8米，∠DOD'＝360°﹣240°＝120°，
∵OD＝OD'＝8米，OH⊥DD'，
∴DH＝D'HDD'，∠DOH∠DOD'＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OHOD＝4米，DHOH＝4米，
∴DD'＝2DH＝8米．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；弧长的计算；直角三角形的性质；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
任务2：利用（1）结论，求出时x值，即得F（6，），则E（6，0），即可得解；
任务3：①根据扇形的面积公式即可求解；
②过点O作OH⊥DD'于H， 根据垂径定理、等腰三角形及直接三角形的性质解答即可.
15．（2023·泽州模拟）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．
项目主题 桥梁模型的承重试验
活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
实物图展示
示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）
说明：C为的中点
… …
请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是____．
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短
（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：）
【答案】（1）A
（2）解：设，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
即．
【知识点】三角形的稳定性；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性．
故答案为：A．
【分析】（1）根据“三角形具有稳定性”解答即可；
（2）设， 则，在中，根据建立方程并解之即可.
16．（2020九上·万荣期末）县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房 前有一斜坡 ，它的坡度 ．他们先在坡面 处测量楼房顶部 的仰角 ，接着沿坡面向下走到坡脚 处，然后向楼房的方向继续行走至 处，再次测量楼房顶部 的仰角 ，并测量了 、 之间的距离，最后测量了坡面 、 之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表：
项目 内容
课题 测量学校附近楼房的高度
测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角 的度数 30.2° 29.8° 30°
仰角 的度数 60.1° 59.9° 60°
、 之间的距离 5.1米 4.9米 5米
、 之间的距离 9.8米 10.2米
… …
（1）任务一：两次测量 ， 之间的距离的平均值是 米；
（2）任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房 的高．（结果精确到0.1米．参考数据： ， ）
【答案】（1）10
（2）解：如图，过点 作 于点 ；作 于点 ，交 于点 ．过点 作 于点 ．
则易得 ， ．
∵ ， ，∴ ；
在 中， ，
在 中， ， ，
∴
又∵ ，∴ ，
在 中，
米．
答：楼房 的高为19.3米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平均数及其计算
【解析】【解答】解：任务一： （米），
故答案为：10
【分析】任务一：直接用平均数公式计算即可；
任务二：过点 作 于点 ；作 于点 ，交 于点 ．过点 作 于点 ，根据坡比求 ，解△DCG、△EHP、△AFH即可．
1 / 12024年中考数学精选压轴题之项目式学习探究(一)
一、实践探究题
1．（2023·深圳模拟）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
（1）任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
（4）任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6）
2．（2024八下·杭州月考）综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题.
例1：把代数式进行配方.
解：原式.
例2：求代数式的最大值.
解：原式.∵，∴，
∴，∴的最大值为.
【问题解决】
（1）若m，k，h满足，求的值.
（2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长.
（3）如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于x的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.已知实数p，q满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根.四边形的周长为，试求的面积.
3．（2024八上·深圳期末）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口. 为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短。某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动。
图11-1
任务一 实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，。小组成员又借助电子角度仪测得.
道路 长度（米）
AE 40
AB 30
BC 30
BF 18
EF 32
DE 25
任务二 数学计算
根据图11-3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
（1）求道路的长；
（2）道路 米；
（3）任务三 方案设计
①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为 米。（保留根号）
4．（2024七上·吴兴期末）根据以下素材，回答问题．
问题 背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线A-B-C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝2米，BC＝6米.初步设计方案有两种：如图①，点D在线段BC上；如图②，点D在线段BC的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米.项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中.
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米.
（1）任务一
根据图1的设计，
若设AF＝x，则在①中，DE= ；(请用含x的代数式表示)
在②中，长方形BFED的周长为 ．
（2）任务二
根据学校要求，劳动实践基地的长：宽=2：1，请分别求出不同方案下AF的值．
（3）任务三
在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案： (填①或②)，并求出此时所需的费用．
5．（2022·江北模拟）项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理
（1）【合作探究】
探究 组：如图1，圆形车轮半径为 ，其车轮轴心 到地面的距离始终为 ．
探究 组：如图2，正方形车轮的轴心为 ，若正方形的边长为 ，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差．
探究 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 ，其车轮轴心为 ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，以正三角形的边长为半径作 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
探究 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 ．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 并不稳定．
6．（2023九上·文成开学考）根据背景素材，探索解决问题．
自制杆秤
背 景 素 材 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
设计简易杆秤要求：设定m0=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
问题解决
任务一 确定和的值 ⑴当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． ⑵当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程． ⑶根据（1）和（2）所列方程，求出和的值．
任务二 确定刻线的位置 ⑷根据任务一，求y关于m的函数解析式． ⑸从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
7．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
8．（2023·淮安）根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．
参考数据
项目任务
（1）求出古塔的高度．
（2）求出古塔底面圆的半径．
9．（2023八下·上城期末）综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草 坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为 ▲ ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 ▲ 和 ▲ ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 ▲ 和 ▲ ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．
10．（2023九上·长清期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
方案一 方案二 …
测量工具 标杆，皮尺 自制直角三角板硬纸板，皮尺 …
测量示意图 说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上． 说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据 B，D之间的距离 16.8m B，D之间的距离 16.8m …
D，F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m …
EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m …
… …
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
11．（2024·长沙模拟） 【发现问题】
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：
水平距离
竖直高度
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米；
（2）求满足条件的抛物线的解析式；
（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
12．（2024·浙江模拟）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖纸盒 （1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？ （2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
13．（2023九上·滨江月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉喷头的升降方案？
素材1 如图，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米）0234y（米）121.751
素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．
问题解决：
（1）任务1：确定喷泉形状
结合素材1，求y关于x的表达式．
（2）任务2：探究喷头升降方案
为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
14．（2024九下·深圳期中）根据背景素材，探索解决问题．
生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
解决问题 求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
解决问题 求OE的长．
任务3 推理计算 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD'的长．
15．（2023·泽州模拟）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．
项目主题 桥梁模型的承重试验
活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
实物图展示
示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）
说明：C为的中点
… …
请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是____．
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短
（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：）
16．（2020九上·万荣期末）县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房 前有一斜坡 ，它的坡度 ．他们先在坡面 处测量楼房顶部 的仰角 ，接着沿坡面向下走到坡脚 处，然后向楼房的方向继续行走至 处，再次测量楼房顶部 的仰角 ，并测量了 、 之间的距离，最后测量了坡面 、 之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表：
项目 内容
课题 测量学校附近楼房的高度
测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角 的度数 30.2° 29.8° 30°
仰角 的度数 60.1° 59.9° 60°
、 之间的距离 5.1米 4.9米 5米
、 之间的距离 9.8米 10.2米
… …
（1）任务一：两次测量 ， 之间的距离的平均值是 米；
（2）任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房 的高．（结果精确到0.1米．参考数据： ， ）
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）45°
（3）解：解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝4，NP＝BG＝2，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝
∴PQ=
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，
根据题意得：
∵NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2，
∴PQ＝HI﹣IQ－PH＝8﹣4，
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m．
（4）10
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图：
过B作BE⊥AM于点E，作BF⊥AN于点F，
由题意得：BE=BF=4m，∠FAE=90°，
∴四边形AEBF是正方形.
∴AE=BE=4m，AB平分∠FAE.
∴m.
故答案为：.
（2）如图：
由题意得：∠CAD=90°，△CAD是直角三角形.
当CD=2AB时，CD中点为点B，
∴AB=CB=BD.
由（1）知，AB平分∠CAD，
∴∠BAD=45°，
∴∠ADC=45°.
故答案为：45°.
（4）如图：
过点N作x轴的平行线，过点M作y轴的平行线，交于点C.
∴∠MCN=90°，OB平分∠MCN.
∴MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）=.
∵线段OB在反比例函数的对称轴上，
∴OB为x轴与y轴的角平分线.
∵OA=2m，∴点A的坐标为，
反比例函数表达式为.
设N点坐标为，
∴M点坐标为，C点坐标为
∴，
，
∴
∴
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴根据实际情况可得：b的最大整数值为10m．
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意得到AB平分外墙，两侧墙之间距离是4m，即可求出对角线AB的长；
（2）根据平分得∠CAB=∠DAB=45°，CB=AB=BD，即可求出∠ADC的度数；
（3）根据∠ANM＝∠NAG＝45°，得AG⊥MN，于是可证△AGM和△AGN全等，从而得到MN=2MG=2AG=2（AB－PN），代入数据，求得最大整数值；也可利用直线QP，得QP=HI-IQ－HP，利用MQ长求出IQ和PH的长，从而得PQ的长；
（4）根据对称轴和OA=2求出反比例函数表达式，设点N坐标，表示出M和C的坐标，从而表示是OC，CN的长，进一步利用等腰直角三角形性质表示出MN的长；再利用MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）表示出MN的长，建立关于m的方程求解.最后代入求得MN的长，再按要求求最大整数解.
2．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，，
，
当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形的周长为：；
当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形的周长为：，
等腰三角形的周长为13或14；
（3）解：，
，
，
的最小值为，
的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
是的一个根，
，
，
四边形的周长为，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据m，k，h满足， 将等式的右边展开，再对应相等得到即可求出k，h的值，最后求和即可；
（2）将式子配方可得，由偶次方的非负性可求出，，再分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，利用等腰三角形的性质进行计算即可；
（3）由两边同时加可得，求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案．
3．【答案】（1）解：∵，
∴
∵
∴.
∴
即道路CD长25米.
（2）48
（3）解：①∵G点到四栋楼的距离之和为：
GB+GC+GD+GE=EB+GD+GC=50+GD+GC=50+GD+GA≥50+AD.
连接AD交BE于点G，连接CG.
∴则G点即为“爱心衣物回收箱”的具体位置，CG，DG位置如图所示：
图11-3
②.
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）如图，
∵BF=18米，EF=32米，
∴BE=BF+EF=50米.
又∵AB=30米，AE=40米，302+402=502，
∴△AEB是直角三角形，∠BAE=90°.
∴∠BCE=∠BAE=90°.
在Rt△BAE和Rt△BCE中，
∴Rt△BAE≌Rt△BCE（HL）.
∴EA=EC.
∴BE垂直平分AC.
∴AF=CF，∠AFB=90°.
在Rt△BAF中，米，
∴AC=2AF=48米.
故答案为：48
（3）∵BE垂直平分AC，
∴GA=GC.
如图，DG+GC=DG+GA=AD.
∵BE//DC，BE⊥AC，
∴DC⊥AC.
在Rt△ACD中，米.
故G点到四栋楼的距离之和最小为：
（米）.
故答案为：（）.
【分析】（1）根据平行线性质得到∠BEC=∠DEC，再结合∠CEB=∠CED可证得ED=CD，即可得到DC长；
（2）证得∠EAB=90°，从而可证得△BAE和△BCE全等，于是得到EA=EC.根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可得BE垂直平分AC，于是可求AF的长，继而得到AC的长；
（3）①由题意画出图形即可，注意“将军饮马”模型在这里的使用；
②求得AD的长，即可得到结果.
4．【答案】解：任务一：x+2；18；任务二：如图①，DE=x＋2，EF=10－(x＋2)－x=8－2x由题意得：x＋2=2(8－2x)解得：.即.如图②，DE=x＋2，EF=7－x由题意得：7－x=2(x＋2)解得：.即.综上所述，AF的长为或1.任务三：①；①由（2）得，∴∴∴面积为（平方米），∴费用为（元）.②由（2）得AF=1，∴DE=2+1=3，∴EF=7+1=8，∴面积为3×8=24（平方米），∴费用为24×25=600（元），比较可得：方案①符合要求. 此时需要的费用为288元.
（1）x+2；18
（2）解：如图①，DE=x＋2，EF=10－(x＋2)－x=8－2x
由题意得：x＋2=2(8－2x)
解得：.
即.
如图②，DE=x＋2，EF=7－x
由题意得：7－x=2(x＋2)
解得：.
即.
综上所述，AF的长为或1.
（3）解：①由（2）得，
∴
∴
∴面积为（平方米），
∴费用为（元）.
②由（2）得AF=1，
∴DE=2+1=3，
∴EF=7+1=8，
∴面积为3×8=24（平方米），
∴费用为24×25=600（元），
比较可得：方案①符合要求. 此时需要的费用为288元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：任务一∵在①中，四边形BFED是矩形，
∴DE=BF=AB+AF=2+x，
在②中，∵四边形BFED是矩形，
∴BF=DE，BD=EF.
又∵AF+EF+DE+CD=10，即x+6+CD+2+x+DC=10，
∴DC=1-x，
∴周长为：2BF+2BD=2（2+x）+2（6+1-x）=18.
故答案为：（2+x）；18.
【分析】（1）根据题意用代数式表示DE和长方形BFED的周长即可；
（2）分两种情况表示出长方形的长和宽；然后根据长∶宽=2：1，建立方程求解即可；
（3）分别求出两种情况下的面积，计算出费用，比较得出比较节省的费用即可.
5．【答案】（1）解：探究A组：4；
探究B组：如图所示：
由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长，
∵正方形的边长为4cm，
∴OA=2cm，BD=BO==2，
∴最高距离与最低距离的差为（2-2）cm；
探究C组：如图所示：
从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程L1=2r·=cm，
从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程L2=2r·=cm，
从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程L3=2r·=cm，
∴一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=++=2r=8cm；
（2）A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）探究A组：∵圆的半径为4cm，
∴其车轮轴心O到地面的距离始终为4cm；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，故A选项符合.
【分析】（1）探究A组：根据圆的半径之间解答即可；
探究B组：根据正方形的性质求出最高点到地面的距离为BD的长度，最低点到地面的距离OA的长度即可；
探究C组：分别求出三部分路程，然后相加即可；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环由此即可判断.
6．【答案】⑴
⑵
⑶由(1)(2)得：，解得
⑷由(3)可得
⑸5厘米
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】解： （1）由题意得：
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，
m=0，y=0，
∵m0=10，M=50，
∴，
∴.
（2） 当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，
此时 m=1000，y=50，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）可得：，解得.
（4）由（3）可得：
∴2.5（10+m）=50（0.5+y），∴
（5）由（4）可知：，
∴当m=0时，则有y=0；当m=100时，则有y=5；当m=200时，则有y=10；当m=300时，则有y=15；当m=400时，则有y=20；当m=500时，则有y=25；当m=600时，则有y=30；当m=700时，则有y=35；当m=800时，则有y=40；当m=900时，则有y=45；当m=1000时，则有y=50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【分析】 （1）、（2）根据题意列出方程；
（3）将（1）、（2）两个方程联立，可得到二元一次方程组，解这个方程组即可；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m=0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000 代入计算，可得出相邻刻线间的距离．
7．【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
【知识点】垂线的概念；线段垂直平分线的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【解答】 解：（1）任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
（3） 任务三：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=60cm，
∴竹条AC的长为60cm，
故答案为：60；
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可判断；任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；任务四：根据以上完成的问题，即可解答。
8．【答案】（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，∴，
依题意，，，
设，则CE=PE=xm，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴，
又∵，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为2.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，则QE=CD=1.5m，设PE=xm，由等腰直角三角形可得PE=CE=xm，在Rt△PAE中，由∠PAE的正切函数可求出x的值，即PE的长，从而根据PQ=PE+QE列式计算可求出古塔的高度；
（2）由矩形性质得DQ=CE=15m，进而根据QG=DQ-DG计算可得古塔底面圆的半径.
9．【答案】解：（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③（70x-1）m2，（70x-1）m2；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法1：，
，
方法2：，
；
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且，
则：，，
，
，
故甲和乙的说法都不正确．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）②小路的面积为40×1+30×1-1×1=69（m2），所以甲、乙方案中小路的面积分别为 ， ；
③若小路宽为x米，则甲方案中小路所占的面积为40x+30x-1=70x-1，所以甲、乙方案中小路的面积分别为（70x-1）m2，（70x-1）m2.
【分析】（1）通过平移的知识，可以得出结论；利用图案甲计算出小路面积；
（2）设若小路宽为x米，列式（40-x）（30-x）=1064，计算出x的值；
（3）根据篱笆围成的矩形ABCD的面积为100平方米，列出xy=100，得出函数关系式；根据篱笆的总长度为30米，列出2x+y=30，得出函数关系式；根据题中两种方案的宽之和小于15米，解方程得出篱笆的长的范围，从而判断甲乙的说法都不正确.
10．【答案】解：方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，
则四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形，
∴CQ＝DF＝1.35m，CH＝BD＝16.8m，
∵EQ∥AH，
∴
∵
∴△CEQ∽△CAH，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
方案二：（1）∵∠ACG＝∠ACG，∠CGA＝∠AEF＝90°．
∴△CEF∽△CGA，
∴，
即：，
解得：AB＝12.9m；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】方案一：过C作CH∥BD交EF于Q，交AB于H，四边形CDFQ，四边形CDBH都是矩形， 证明 △CEQ∽△CAH， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
方案二： 证明△CEF∽△CGA，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
11．【答案】（1）；
（2）解：设抛物线的解析式为，
由表格可知：抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的解析式为：
∵图象经过点，
∴，
∴，
∴
（3）解：当时，，
解得：；（不合题意，舍去），
．
答：明明在此次考试中能得到满分
【知识点】函数的表示方法；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解题】（1）由表格数据可得出手时实心球的竖直高度是2米，实心球在空中的最大高度是3.6米，
【分析】（1）根据表格数据即可求解；
（2）设抛物线的解析式为， 利用待定系数法即可求解；
（3） 当时，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值，再与9.7作出比较，即可得出结论.
12．【答案】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为．
任务2：侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设剪掉的正方形的边长为，则无盖纸盒的底面长为（40-2x）cm，进而根据正方形的面积计算公式列出方程，解方程即可得到答案；
任务2：设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，利用长方体的侧面积公式，可得y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到最值，进而求解.
13．【答案】（1）解：分析表格数据可得该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2），
设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，将点（0，1）代入，得1＝4a+2，则，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：设调节后的水管喷出抛物线的解析式为，
由题意，当x＝2+1.4＝3.4时，y≥2+0.4＝2.4，
∴，解得c≥2.89，
喷头至少向上调节2.89﹣2＝0.89（米），
∴1+0.89＝1.89（米），
答：喷头距离湖面高度的最小值为1.89米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）先根据表格推出抛物线的对称轴和顶点坐标，待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据题意设出函数解析式，将x=3.4代入求出函数值，根据题意列出不等式求解即可.
14．【答案】解：任务1由题意得抛物线过点D（8，0），（7，），A（0，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，解得，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为
任务2∵水柱所在抛物线的函数解析式为
当时，，解得x或6，
∵点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
∴F（6，），∵E在OD上，OD⊥EF．
∴E（6，0），∴OE＝6，∴OE的长为6米；
任务3①由题意得OD＝8米，
∴这个喷头最多可洒水的面积为：π（平方米），
答：这个喷头最多可洒水π平方米；
②过点O作OH⊥DD'于H，
由题意得OD＝OD'＝8米，∠DOD'＝360°﹣240°＝120°，
∵OD＝OD'＝8米，OH⊥DD'，
∴DH＝D'HDD'，∠DOH∠DOD'＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OHOD＝4米，DHOH＝4米，
∴DD'＝2DH＝8米．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；弧长的计算；直角三角形的性质；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
任务2：利用（1）结论，求出时x值，即得F（6，），则E（6，0），即可得解；
任务3：①根据扇形的面积公式即可求解；
②过点O作OH⊥DD'于H， 根据垂径定理、等腰三角形及直接三角形的性质解答即可.
15．【答案】（1）A
（2）解：设，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
即．
【知识点】三角形的稳定性；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性．
故答案为：A．
【分析】（1）根据“三角形具有稳定性”解答即可；
（2）设， 则，在中，根据建立方程并解之即可.
16．【答案】（1）10
（2）解：如图，过点 作 于点 ；作 于点 ，交 于点 ．过点 作 于点 ．
则易得 ， ．
∵ ， ，∴ ；
在 中， ，
在 中， ， ，
∴
又∵ ，∴ ，
在 中，
米．
答：楼房 的高为19.3米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平均数及其计算
【解析】【解答】解：任务一： （米），
故答案为：10
【分析】任务一：直接用平均数公式计算即可；
任务二：过点 作 于点 ；作 于点 ，交 于点 ．过点 作 于点 ，根据坡比求 ，解△DCG、△EHP、△AFH即可．
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