2024年黑龙江齐齐哈尔地区九年级中考数学预测卷（三）(含解析)

2024年齐齐哈尔地区中考数学预测卷（三）
满分：120分 时间：120分钟
一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列各数中最小的是（　　　）
A． B． C． D．
2．数学中处处存在着美，从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形，这种特殊的数学之美，令人沉迷．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．莱洛三角形
C．科克曲线 D．谢尔宾斯基三角形
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某花店连续一周销售玫瑰花的数量（单位：枝）分别为12，10，12，14，15，12，16．关于这组数据，明明得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．平均数是13 B．众数是12 C．中位数是14 D．方差是
5．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
6．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费40元，毽子单价2元，跳绳单价5元，购买方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．如图，在中，，平分，．按下列步骤作图：①以点C为圆心、适当长度为半径画弧，分别交直线，于点E，F；②分别以点E，F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线；③以点A为圆心、适当长度为半径画弧，交于点H，I；④分别以点H，I为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点J，作直线，交于点K；⑤连接．则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，拋物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和两点之间（不包含端点）．则下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，；⑤（其中）．正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（共7小题，每小题3分，共计21分）
11．空气质量指数以六大污染物臭氧、一氧化碳、二氧化硫、二氧化氮)浓度作为分指标．我们经常说的 就是指环境空气中空气动力学当量直径小于等于 的颗粒物，也称细颗粒物．数据 用科学记数法表示为 ．
12．函数中自变量x的取值范围是 ．
13．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 ．
14．如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ．
15．如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数交于点 C，与 x轴交于点B，如果，则k的值为
16．如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ．
17．在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点,以为边长作等边,过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，则等边的边长是 ．
三、解答题（共7小题，共计69分）
18．（1）（6分）计算：．
（2）（4分）分解因式：．
19．（5分）解方程：；
20．（8分）在2024年4月23日“世界读书日”之前，我校为了了解学生的阅读情况，对学生在2023年读课外书的数量进行了调查．下面是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．
2023 年本校学生读课外书数量分组
A B C D E
0 1~3本 4~7本 8~本 超过本
被调查人数条形统计图 被调查人数扇形统计图
(1)此次抽样调查共调查了 名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；
(4)我校共有名学生，估计在2023年读课外书的数量超过本的学生有多少名？
21．（10分）如图，内接于是的直径，是的切线，连接并延长交 于点，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．（10分）甲骑摩托车，乙骑自行车从A地出发沿同一路线匀速骑行至B地，设乙行驶的时间为x（），甲、乙两人之间的距离y（）关于时间x（）的函数关系，如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙的速度为 ，两地相距 ；
(2)求图中线段的解析式；
(3)甲出发多少小时，甲、乙二人途中相距，直接写出答案．
23．（12分）折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：____．
(2)深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接．
①求证：；
②猜想线段和的数量关系，并证明；
(3)拓展应用：延长交矩形的边于点N，若，直接写出的值．
24．（14分）抛物线与x轴交于点和点，与y轴交点A．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内．
①如图2，连接与直线交于点D，求的最大值；
②如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点M，若与相似，求此时点P的横坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据负数小于0，正数大于0判断即可．
【详解】解：，
，
最小的是，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】
解：A、既不是轴对称也不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、是轴对称但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项是正确的；
D、是轴对称但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：C
3．C
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握知识点和公式是解题的关键．
依次利用合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，以及完全平方公式进行化简计算即可．
【详解】解：A、与不是同类型，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【详解】解：平均数，故A选项不符合题意；
该组数据中，12出现的次数最多，因此众数是12，故B选项不符合题意；
将该组数据从小到大排列为10，12，12，12，14，15，16，处在中间位置的数是12，因此中位数是12，故C选项符合题意；
方差，故D选项不符合题意；
故选C．
5．A
【分析】本题考查了几何体三视图，解题的关键是能够通过三视图判断符合条件的几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此分析判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个五棱柱，
且五边形底面在左右两侧，前面平面面积小于后面平面面积，
所以，选项A符合题意．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】利用分类讨论的方法分点在上和点在上两种情形解答，分别求得与的函数关系式，利用对应的函数图象即可得出结论．本题主要考查了动点问题的函数的图象，利用分类讨论的方法求得不同条件下的函数解析式是解题的关键．
【详解】解：当点与点重合时，如图，
四边形是矩形，
，
，
，
．
．
①当时，点在上，
过点作于点，如图，
则，
，
，
，
此时对应的函数图象是一条以和为端点的线段；
②当时，此时点在线段上，如图，
四边形是矩形，
，
，
．
，
此时对应的函数的图象为一条以和为端点的线段，
综上，下列图象能反映与之间函数关系的是，
故选：B．
8．B
【分析】首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解．
【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：
2x+5y=40，
y=8-x，
∵x、y都是正整数，
∴x=5时，y=6；
x=10时，y=4；
x=15时，y=2；
∴购买方案有3种．
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程．
9．A
【分析】延长交延长线与Q，证明得到，由作图方法可知平分，，同理可证明，则，即可证明是的中位线，得到．
【详解】解：如图所示，分别延长交延长线与Q，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由作图方法可知平分，，
∴同理可证明，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与尺规作图，垂线的尺规作图，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．C
【分析】根据题干和图像可得，该抛物线的对称轴是，即；点的对称点坐标是；．
将代入该抛物线解析式可判断结论①；
根据和将代入抛物线解析式得到的，联立可求得 、的数量关系，根据可求的范围，以此判断结论②；
将顶点代入抛物线解析式得到，等量替换后得到与的关系再判断范围，以此判断结论③；
综合和、和的数量关系式，解一元二次方程即可判断结论④；
结合二次函数图象中可得，二次函数最小值为，则当时，有，结合、与数量关系式即可判断结论⑤．
【详解】解：依题得：该抛物线的对称轴是，即；
点的对称点坐标是；．
时，有，即，
①错误；
，
，
又将代入抛物线解析式中得，
，即，
又，
，
，
②正确；
将顶点坐标代入抛物线解析式中得，
即，
，
又，
，则，
③正确；
一元二次方程即，
即，
可解得，，
④一元二次方程的两个根分别为，正确；
时，在该抛物线中有，
，
，
，
⑤（其中）正确；
综上，②③④⑤正确，故正确的个数为个．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、解一元二次方程、不等式，解题关键是熟练掌握二次函数的图形与性质，运用数形结合思想分析问题．
11．
【分析】本题考查了科学记数法的定义，解决本题的关键是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．正确确定的值即可．
【详解】解：由题意可得，
故答案为：．
12．且
【分析】本题考查的是求解函数的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式与二次根式有意义的条件可得且，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
13．
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．
根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3
∴母线长为
∴圆锥模型的侧面积为．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出的范围，不等式组整理后，根据解集确定出的范围，进而求出整数的值即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程有负整数解，得到且，
即，且，
不等式组整理得：，
由解集为，得到，即，
∴，且，
整数，
∵由分式方程有负整数解
∴取整数
∴
∴
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数解析式，联立方程组根据只有一个交点求出值得到交点坐标，根据直线解析式求出点坐标，依据中点坐标公式分别求出点和点坐标，即可得到值，求出点坐标是关键．
【详解】解：联立方程组得
整理得：
∵只有一个交点，
舍去负值，
，
∴一次函数解析式为
∴联立方程组得
解得：，（舍去），
∴点，
∵当时，
∴
∴线段的中点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴，
∴
∴
在反比例函数图象上，
∴，
，
故答案为：
16．或
【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键．
根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度．
【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
当点D在线段延长线上时，如图2，
同理可得：，
∴，
故答案为：或．
17．
【分析】先从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可．
【详解】直线与x轴交于点，
， ， 边长为 ，
直线与x轴夹角为，，
，
轴，
，
，
，的边长为，
同理可得：，的边长为，
由此变化规律可得： 的边长是，
的边长为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得 的边长为．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）本题主要考查了绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角形函数值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据绝对值的性质、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则以及特殊角的三角函数值进行运算，然后相加减即可．
（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）
，
，
．
19．(1)，
【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解；
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，；
20．(1)
(2)见解析
(3)D组8~本
(4)名
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）由组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各分组人数之和等于总人数求得组人数，从而补全条形图；
（3）根据中位数的定义求解可得；
（4）用总人数乘以样本中超过本的学生占被调查人数的比例即可得．
【详解】（1）解：此次抽样调查共调查了学生(名)．
故答案为∶．
（2）C组的人数为：(名)．
补全条形统计图如下：
（3）共有个数据，
其中位数是第个数据的平均数，而第个数据均落在 D 组内，
学生读书数量的中位数落在D组8~本．
（4）估计2023年读课外书的数量超过本的学生有 名)
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角等等：
（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角推出，，据此即可证明；
（2）连接，如图所示，可得；解直角三角形得到，再证明，即可得到．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
∴．
是的切线，
，即，
，
．
（2）解：连接，如图所示，
，
．
是的直径，
，
，
．
，
．
，即点是的中点，
是边的中线，
∴，
，
．
22．(1)10，25
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意结合图象以及路程、速度与时间的关系列式计算即可求解；
（2）根据追及问题求出甲的速度，的值，设图中线段的解析式为，再结合图象得到点的坐标，求出线段的解析式即可；
（3）设图中线段的解析式为，结合图象得到点的坐标，求出线段的解析式，再根据题意知甲、乙二人途中相距，根据这个条件建立等式求解，即可解题（注意要从甲出发的时间算起）．
【详解】（1）解：由图知，乙骑自行车先从A地出发后，甲骑摩托车才从A地出发，
乙的速度为（），
由图知，乙骑自行车先从A地出发后，行至B地，
两地相距（），
故答案为：10，25．
（2）解：由点时，甲追上乙，
甲的速度为（），
，
设图中线段的解析式为，
由图知，，，
，
解得，
图中线段的解析式为；
（3）解：设图中线段的解析式为，
由图知，，，
，
解得，
图中线段的解析式为，
甲、乙二人途中相距，
或，
解得或，
（），（），
甲出发或，甲、乙二人途中相距．
23．(1)正方形
(2)①见解析；②，见解析
(3)或
【分析】（1）可推出，，，进而得出结果；
（2）①可证得，从而，由，得出进而得出，进而得证结论；
②在上截取，可证得，从而，，进而，从而，进一步得出结果；
（3）当交于N时，此时，可推出，，从而，，得出，，求得a的值，进一步得出结果；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，可推出，，从而，，得出，，求得x的值，从而求得，，由得出结果．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）①∵点C落在边上的点G处，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图1，
在上截取，
由①知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，
当交于N时，此时．
∵，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴， （舍去），
∴，
如图3，
当N在时，延长，，交于点W，
设，则，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，（舍去），，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
24．(1)
(2)
(3)①有最大值为；②或
【详解】（1）解：将，两点代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）解：存在，
，
时，
即，
设点Q坐标为，
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
，
解得：，
故Q点的坐标为；
（3）解：①过点P作轴垂线交直线于点E如图：
设直线的解析式为：，
将代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点P的坐标为则E的坐标为，
，
，
，
，，
，
，
当时，有最大值为；
②设点则点，
当，点M在点A的上方时，
，，
，
即，
解得：或（舍去），
此时点P的横坐标；
当，点M在点A的下方时，
，，
，
即，
解得：或（舍去），
此时点P的横坐标；
当，点M在点A的下方时，
，，
，
即，
解得：（舍去）或（舍去）；
当，点M在点A的上方时，
，，
，
即，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上分析可知：点P的横坐标为：或．
【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，平行线的性质，勾股定理，三角形外角和定理等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页