9.2用样本估计整体 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

9.2 用样本估计整体 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（ ）
A．1.4 B．1.45 C．1.5 D．1.55
2．为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数（　　）
A．一定为2小时 B．高于2小时
C．低于2小时 D．约为2小时
3．用简单随机抽样的方法抽取某小区20户家庭的日均用电量(单位：千瓦时)，统计如下：
日均用电量/千瓦时 4 5 6 7 8 10
户数 1 2 4 6 5 2
根据样本数据，估计该小区200户家庭日均用电量的平均数（ ）
A．一定为7千瓦时 B．一定高于8千瓦时
C．一定低于7千瓦时 D．约为7千瓦时
4．下图为2020年~2023年某国星级酒店数量 营业收入及餐饮收入比重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．2020年~2023年某国星级酒店数量逐年减少
B．2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高不超过2000亿元
C．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年
D．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是1.54%
5．某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（ ）
A．100 B．75 C．50 D．25
6．若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为4，方差为2，乙组样本数据的平均数为5，则下列说法错误的是（ ）
A．的值为7
B．乙组样本数据的方差为18
C．两组样本数据的样本中位数一定相同
D．两组样本数据的样本极差不同
7．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示：
有下列说法：
①从2022年7月到2023年7月，这13个月的PMI的极差为5.6%；
②PMI大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态；
③从2023年1月到2023年7月，这7个月的PMI的第75百分位数为51.9%；
④2023年7月份，PMI为49.3%，比上月上升0.3个百分点．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）

A．B组打分的极差小于A组打分的极差 B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致 D．A组打分的众数为50
二、多选题
9．四名同学各投掷骰子次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数的是（ ）
A．平均数为，中位数为 B．众数为，中位数为
C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为
10．下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A．2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元
B．居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％
C．城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D．医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％
11．已知一组样本数据的方差，则（ ）
A．这组样本数据的总和等于100
B．这组样本数据的中位数一定为2
C．数据，，…，的标准差为3s
D．现有一组新的样本数据，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大
12．演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0
9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的（ ）
A．极差为0.3 B．众数为9.0和9.1
C．平均数为9.025 D．第70百分位数为9.05
三、填空题
13．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测试，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：，，，，由此可知： （填“甲”或“乙”）机床性能好.
14．学校为了调查学生在消费项目上的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为100的样本，样本数据均属于，将其分为四组，其频率分布直方图如图所示，请估计该校学生在消费项目上支出的平均值是 元.
15．某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为 .
16．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数）
四、解答题
17．为了调查某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成家庭作业所需时间（单位：分钟）分别为60，55，75，55，55，43，65，40.
(1)求这组样本观测数据的平均数；
(2)估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间，按照学校要求，学生每天完成家庭作业所需的平均时间不能超过60分钟，该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？
18．已知甲组数据，，…，的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一数据为5.3.
(1)为甲组数据的平均值、方差、中位数M；
(2)乙组数据为，，…，，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值，方差，求乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算过程和步骤.
19．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
20．为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）
(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.
21．已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为.
(1)试证明：；
(2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.
【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为
，
该校学生每天学习时间的方差为
.
故选：B
2．D
【分析】根据题意，结合样本平均数具有随机性，即可求解.
【详解】根据样本估计总体知，样本平均数具有随机性，只能估计总体平均数．
故选：D.
3．D
【分析】计算出抽取的20户家庭的日均用电量的平均数，由样本估算总体即可.
【详解】因为抽取的20户家庭的日均用电量的平均数为(千瓦时)，
所以可以估计该小区200户家庭的日均用电量的平均数约为7千瓦时．
故选：D.
4．D
【分析】借助图表逐项分析即可得.
【详解】对A：2020年~2023年某国星级酒店数量依次为：，
逐年减少，故A正确；
对B：2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高为1907.77亿元，故B正确；
对C：2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年，故C正确；
对D：2020年年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是，
故D错误.
故选：D.
5．C
【分析】首先计算出82分以上的考生的频率，即可得获得的考生人数.
【详解】由频率分布直方图可得82分以上的考生的频率约为，
所以获得的考生人数约为人，
故选：C.
6．C
【分析】由平均数和方差的性质可以判断AB选项；由中位数的公式和性质可求C；由极差的概念和公式可求D.
【详解】由题意可知，，即，所以A正确；
乙组样本数据方差为，所以B正确；
设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；
甲组数据的极差为，则乙组数据的极差为，
所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；
故选：C.
7．D
【分析】由极差的定义结合图中数据可得①正确；由图可得②正确；由百分位数的计算可得③正确；由图可得④正确.
【详解】①由图可得这13个月的PMI的最大值为52.6%，最小为47.0%，所以极差为，故①正确；
②由图可得，2023年1月到2023年3月的PMI分别为50.1%，52.6%，51.9%均大于50%，故②正确；
③从2023年1月到2023年7月的PMI的值从小到大排列为，
因为，所以这7个月的PMI的第75百分位数为第六个数是51.9%，
故③正确；
④2023年7月份，PMI为49.3%，6月份PMI为49.0%，所以比上月上升0.3个百分点，故④正确；
所以正确的个数为4个，
故选：D.
8．C
【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断.
【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；
对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．
故选：C．
9．BD
【分析】推出A、C数据矛盾，利用特例说明B、D.
【详解】对于A，若平均数为，则点数和为，又中位数为，
则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，
故不可能出现平均数为且中位数为的数据，故A错误；
对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；
对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，所以C错误；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为，
方差为，
所以可以出现点，所以D正确，
故选：BD
10．ABD
【分析】根据消费支出构成图及已知条件分析数据一一判定选项即可.
【详解】2023年第一季度全市居民人均消费支出为（元），故A正确；
易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为（元），
占总人均消费支出的，故B正确：
依题意可得2022年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
2023年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
由于，故C错误；
医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的，故D正确．
故选：ABD．
11．AC
【分析】根据方差的形式可求样本均值，从而可判断A，根据方差的性质可判断C的正误，根据极差和中位数的计算方法可判断BD的正误.
【详解】对于A，因为方差，故，所以这组样本数据的总和等于，故A正确.
对于C，数据，，…，的方差为，故其标准差为，故C正确.
对于B，根据方差、均值无法求出中位数，故B错误.
对于D，新样本数据的极差为，
故新的样本数据的极差比原样本数据的极差小，故D错误.
故选：AC.
12．AC
【分析】利用极差、众数、平均数、百分位数的求法一一判定选项即可.
【详解】易知去掉最高分和最低分后剩下的8个分数分别为，
显然极差为，众数为9.0，平均数为，
，则第70百分位数为数据中的第6个数即9.1.
显然A、C正确，B、D错误.
故选：AC
13．甲
【分析】根据方差的意义作出判断即可，方差越小，波动越小，越稳定.
【详解】因为平均数甲等于乙，方差甲小于乙，
所以甲机床较为稳定，
所以甲机床性能较好，
故答案为：甲.
14．44
【分析】求出这一组的频率，再根据平均数的估计方法，即可求得答案.
【详解】由题意可求这一组的频率为，
估计该校学生在消费项目上支出的平均值是，
故答案为：44
15．
【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可.
【详解】设男生的平均身高为，则根据题目条件知，
即，所以.
故答案为：.
16．
【分析】由概率之和为计算出后，结合中位数的定义计算即可得.
【详解】，解得，
由，，
设中位数为，则，
有，解得.
故答案为：.
17．(1)56；
(2)该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.
【分析】（1）直接计算样本平均数；
（2）将平均数与60分钟比较即可.
【详解】（1）这组样本观测数据的平均数为.
（2）由样本平均数，估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟．
因为，
所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求．
18．(1)；；
(2)
【分析】（1）根据茎叶图求平均值，再由方差与均值的关系求，将茎叶图中的数据从小到大排列确定中位数M.
（2）由甲乙平均数及（1）的结果列方程求乙组数据的平均值，再由方差与均值的关系列方程组求出，进而求方差.
【详解】（1）甲组数据为，，，
则甲组数据的中位数，
甲组数据的平均值.
甲组数据的方差.
（2）由，可得
由，解得
则.
19．(1)，63
(2)
【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解；
（2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解.
【详解】（1）由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为，则，则，
解得，故第25百分位数为63．
（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
20．(1)1440；
(2)68分钟；
(3)86.7
【分析】（1）根据频率分布直方图求出阅读时间1小时以上的频率，进而求出达标人数；
（2）根据频率分布直方图求数字特征平均数可得结果；
（3）根据频率分布直方图求数字特征百分位数可得结果；
【详解】（1）由题意知，
每周课外阅读时间为1 时以上的 数约为.
（2）该校学 每周课外阅读的平均时间为：
分钟.
（3）因为前4组的频率和为，
第5组的频率为，所以第75百分位数位于第5组内.
所以估计第75百分位数为.
21．(1)证明见解析
(2)46.4
【分析】（1）根据方差公式结合完全平方和公式变形证明即可；
（2）先由分层抽样方法求得男生和女生抽取人数，然后计算总体平均数，再代入（1）中的公式计算即可.
【详解】（1）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，
各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.
记总样本的平均数为，样本方差为，
，
由，得，
所以
.
（2）设在男生、女生中分别抽取m名和n名，
则，解得，，
记抽取的总样本的平均数为，
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得：，
所以，抽取的总样本的平均数为166cm；
男生样本的平均数为，样本方差为；女生样本的平均数为，
样本方差为，记总样本的样本方差为，
则，
所以，估计高三年级全体学生的身高的方差为46.4.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页