10.1随机事件与概率同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

10.1 随机事件与概率 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆周率，把圆周率通过四舍五入精确到的近似值分别记为，若从中任取2个数字，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．从中任取一个数，这个数比大的概率为，若恰为以上数据的第百分位数，则的值可能是（ ）
A．30 B．40 C．45 D．50
3．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现1次正面向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，某学校图书室将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》各一本赠送给三个不同的同学，每人至少一本，则《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．勾股定理是数学史上非常重要的定理之一．若将满足的正整数组称为勾股数组，则在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，能组成勾股数组的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ）
A．65 B．70 C．75 D．80
二、多选题
9．某校举办篮球赛，来自甲队的6名队员与来自乙队的4名队员的得分如下图，则下列命题是真命题的是（ ）
A．甲队的6名队员得分的中位数是13.5
B．乙队的4名队员得分的平均数是15.25
C．这10名队员得分的60%分位数是15
D．若采用分层随机抽样的方法从甲队和乙队的这10名队员中抽取5名队员参加某项活动，再从这5名队员中抽取2人作为代表，则这2名代表都来自甲队的概率是
10．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球，现从袋中每次抽取一个球，抽后不放回、直到取出所有的白球，则下列说法正确的是（ ）
A．抽取次数为两次的概率为 B．抽取次数为三次的概率为
C．抽取次数为四次的概率为 D．抽取次数为五次的概率为
11．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与为对立事件 B．与不是互斥事件
C． D．
12．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．
其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ）
A．该公司四个季度的销售额先增长再下降
B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为
C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为
D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为
三、填空题
13．从、、、任取两个不同的数字，分别记为、，则为整数的概率是
14．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.
15．掷两颗均匀骰子，已知一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是 ．
16．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为 ．
四、解答题
17．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
(1)求顾客一次抽奖中奖的概率；
(2)若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值.
18．某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：
组数 分组 人数 本组中“H族”的比例
1 200 0.6
2 300 0.65
3 200 0.5
4 150 0.4
5 a 0.3
6 50 0.3
(1)试补全频率分布直方图，并求a与n的值：
(2)从每天慢走时间在（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率.
19．为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．
参考公式：，（是第组的频率），
参考数据：
20．某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.

(1)求和的值；
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
21．两家传媒公司联合开展了某市消费者2024年春节年货消费行为调查，从调查对象中随机抽取1000名消费者，统计他们购置年货的预算（单位：元．这1000名消费者的预算都不超过6000元），得到如下频数分布表：
预算/元
人数 460 276 184 60 16 4
(1)根据样本估计总体，估计该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数及中位数（结果四舍五入取整数）（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间，的消费者中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求抽取的3人中购置年货预算在区间的至少有2人的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】借助列举法计算即可得.
【详解】由题意可得，
从中任取2个数字，
结果有：，
，共10种，其中满足的有，共3种，
所以所求概率.
故选：C.
2．B
【分析】根据概率可得，由百分位数的计算即可求解.
【详解】中比7大的数字有6个，
若任取一个数，这个数比大的概率为，则，
又恰为以上数据的第百分位数，故为7与9的平均数，故，则为第40百分位数，
故选：B
3．D
【分析】先列出事件发生的总可能情况数，再求问题的事件发生情况数，利用古典概型概率公式求结论.
【详解】抛掷硬币次所有可能结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
其中恰好出现次正面向上的结果有（正，反），（反，正），
据此可得事件恰好出现次正面向上的概率.
故选：D.
4．A
【分析】古典概型的应用，找准四本书分成三组的方法总数和《西游记》与《红楼梦》分在一组时的方法总数，利用求出概率.
【详解】设《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》这四本书分别为A、B、C、D.
将四本书分成三组的情况有、、、、、共6种.
其中A、B在一组的情况有1种，所以《西游记》和《红楼梦》被分给同一个同学的概率为．
故选：A
5．A
【分析】求出基本事件总数，再求出勾股数组的个数，即可求解．
【详解】在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，
基本事件的总数为，
能组成勾股数组的有共2个，
能组成勾股数组的概率是
故选：A
6．B
【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】两两互斥，，
，，
.
故选：B.
7．D
【分析】利用古典概型可以得到所求概率.
【详解】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为，
则两人选择比赛项目的情况有，共6种，
其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，共2种，
故所求概率．
故选：D．
8．D
【分析】先利用古典概型分析的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.
【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：
、、、、、、、，
因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，
一共有8个数，所以比大的数有两个，则，
对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意；
对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意；
对于C，因为，
所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意；
对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据一组数据的中位数，平均数和百分位数的规定，依次求解数字特征即可判断A,B,C选项，运用古典概型概率公式可以判断D选项.
【详解】对于A项，由茎叶图可得甲队的6名队员得分的中位数是，故A正确；
对于B项，乙队的4名队员得分的平均数是，故B正确；
对于C项，将这10名队员的得分从低到高排列为，
因为，所以这10名队员得分的分位数是故错误；
对于D项，若采用分层随机抽样的方法抽取5名队员参加某项活动，
则抽取甲队的队员人数为3，设为，抽取乙队的队员人数为2，设为，
若从这5名队员中抽取2人作为代表，则所有情况有，共10种，
其中这2名代表都来自甲队的情况有3种，故所求概率为，故D正确.
故选：ABD.
10．ACD
【分析】根据独立事件的概率求解方法可得答案.
【详解】抽取次数为两次说明前两次都是抽取的白球，概率为；
抽取次数为三次说明前两次中抽取了一个白球，第三次抽取了一个白球，概率为；
抽取次数为四次说明前三次中抽取了一个白球，第四次抽取了一个白球，概率为；
抽取次数为五次说明前四次中抽取了一个白球，第五次抽取了一个白球，概率为；
故选：ACD
11．ABC
【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.
【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
与为对立事件，故A正确；
{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确；
，，故C正确；
由上知，故D错误.
故选：ABC
12．AB
【分析】根据题意和饼状图，可求出第一、二、三、四季度销售额，按照试验“任选两个季度的销售额”列举出所有的基本事件，分别就各选项中的事件，利用古典概型概率公式求解即得.
【详解】对于A项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A正确；
对于B项，任选的两个季度的销售额，可以为，，，，，，其6种情况，
这两个季度的销售额均大于250万的只有一种情况，则概率为，故B正确；
对于C项，这两个季度销售额的和大于500万的有，共2种情况，故概率为，即C错误；
对于D项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有共5种情况，故概率为，即D错误．
故选：AB.
13．
【分析】由利用列举法先求出基本事件总数，再判断为整数满足的基本事件个数，由此能求出为整数的概率．
【详解】从、、、中任取两个数记为，作为对数的底数与真数： ，共12个不同的基本事件，
其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率．
故答案为：.
14．可能
【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果.
【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是，
表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生.
故答案为：可能
15．/
【分析】根据题意求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，同时抛掷两枚均匀的骰子，已知第一枚掷出的点数为6，
则基本事件的总数为个，分别为，，，， ，；
其中两枚骰子掷出点数之和不小于10包含的基本事件为， ，；
共有个，所以两枚骰子掷出点数之和不小于10的概率为.
故答案为：
16．
【分析】根据题意求得所有的跳动可能性，再求得满足题意的可能性，根据古典概率的概率计算公式求解即可.
【详解】质点的每次跳动，都有2种选择，故共有种；
若从原点出发，最终落在点，则这四次跳动中，必有一次向负方向跳动，剩余三次向正方向跳动，
故满足题意的跳动方式有：种，即选择第一次，或者第二次，或者第三次，或者第四次向负方向跳动，
故满足题意的概率为.
故答案为：.
17．(1)；
(2)2000元.
【分析】（1）由题意，利用列举法写出满足题意的样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解；
（2）由（1），求出每次中一、二等奖的概率，即可求解.
【详解】（1）设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球，
从中随机抽取两个小球，则有
，，，，，，，，，共10种情况，
其中中奖的情况共有7种.
所以顾客一次抽奖中奖的概率为.
（2）由（1）可知，每次中一等奖的概率为.
每次中二等奖的概率为.
故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元.
18．(1)频率分布直方图见解析；，.
(2)
【分析】(1)利用所有组的频率之和等于1，算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数.
(2)按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率。
【详解】（1）第二组的频率为，
所以第二组小矩形高为．补全后的频率直方图如下：
第一组的频率为，所以．
第五组的频率为，所以．
（2）因为分钟的“H族”人数为，
分钟的“H族”人数为，二者比例为，
所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人．
设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，
在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，
则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，
共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，
所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，
另一个人在分钟内的概率为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得抽到的高三学生的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得，结合，求得相应的概率，即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以抽取的200名学生的平均成绩．
（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为，
从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法，
其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法，
由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为．
（3）依题意，由方差的计算公式，可得：
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为，
因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）可求得在的一组的，可求，利用概率和为，可求得；
（2）由已知可求得屏幕需求尺寸为的人数与屏幕需求尺寸为的人数，可求得在每组各抽了多少人，利用古典概型概率公式计算可得2人来自同一分组的概率.
【详解】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人，
所以其频率为.又因为组距为0.5，所以.
又因为，所以，
即，.
（2）因为屏幕需求尺寸为人数为：，
屏幕需求尺寸为人数为，
若要用分层抽样的方法抽取6人
所以要在组中抽2人，设为，；
要在组中抽4人，设，，，，
因此样本空间
，，，，，，
，，，，共15个基本事件，
而这2人来自同一分组为事件，
，共7个基本事件，
所以这2人来自同一分组的概率.
21．(1)平均数估计值是1408，中位数估计值是1145
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据，结合平均数、中位数的求法计算即可求解；
（2）利用分层抽样法确定题意要求区间的人数，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】（1）该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数的估计值为
，
设该市消费者2024年春节购置年货预算的中位数的估计值为，
因为，，
所以，
故，
所以该市消费者2024年春节购置年货预算的中位数的估计值为1145．
（2）因为，
利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间，的消费者中抽取5人，
抽取到的购置年货预算在区间的有3人，记作，预算在区间的有2人，记作，
从这5人中随机抽取3人的情况有：
，共10种，
设事件为“抽取的3人中购置年货预算在区间的至少有2人”，
则事件包含的情况有：，共7种，
所以所求概率．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页