叙州一中 2022 级高二下期 4 月月考试卷 6. 已知函数 f x x2 2x a ln x，若函数 f x 在 0,1 上单调，则实数 a的取值范围是（ ）
数学学科 A. a 0 B. a < -4 C. a 0或 a 4 D. a 0或 a < -4
e2
7.设a 2 ,b 2 ,c ，则（ ） 2 e
ln 2 2 ln 2
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号
A. a b c B. c b a C. a c b D. c a b
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
8．2023 年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
某校决定派 5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿
吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
（ ）
第 I 卷 选择题（60 分）
8 5 40 . A．50 B．36 C．26 D．14一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有一
. 二、多项选择题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分.在每个小题给出的四个选项中，有项是符合题目要求的
多项符合题目要求.全对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.）
1. 已知 f (x) ln x，若 f (x0 ) 2，则 x0等于（ ） 9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. e2 B. e C. 12 D. ln2 A. 1 1 B. ln x
1 ln x
C. cos x sin x D. ex x x 1 e x2 x x2
2. 1一质点的运动方程为 s＝20＋ 22 gt (g＝9.8 m/s
2)，则 t＝3s 时的瞬时速度为( )
10. 如果函数 y f x 的导函数 y f x 的图象如图所示，则以下关于函数 y f x 的判断错误
A. 20 m/s B. 29.4 m/s C. 49.4 m/s D. 64.1 m/s
的是（ ）
3. 某影城有一些电影新上映，其中有 3部科幻片、4部警匪片、3 部战争片及 2 部喜剧片，小明从中
A. 在区间（2，4）内单调递减 B. 在区间（2，3）内单调递增
任选 1 部电影观看，不同的选法共有（ ）
A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 C. x＝﹣3是极小值点 D. x＝4是极大值点
4. 函数 f x 2ln x x的单调增区间为（ ） 11. 4名男生和 3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）
3 5
A. , 2 B. 2,2 C. 0,2 D. 2, A. 若女生必须站在一起，那么一共有A3A5种排法
3 4
5. 现有 4名同学选择去听同时进行的 6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同 B. 若女生互不相邻，那么一共有A3A4 种排法
选法的种数是（ ） C C1A6若.甲不站最中间，那么一共有 6 6 种排法
A. 64 B. 46 C. A46 D. A
4
4 D. 7 6若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有A7 2A6种排法
2 （1）求 a、b的值；
12. 已知函数 f (x) x x 1 x ，则下列结论正确的是（ ）e
（2）设函数 g x x ln x，求曲线 y g x 在 x 1处的切线方程.
A. 函数 f (x)存在三个不同的零点
B. 函数 f (x)既存在极大值又存在极小值 19. 设函数 f (x) ln x ln(2 x) ax (a 0)．
C. 若 x [t, )时， f (x) 5 ，则 t的最小值为 2 （1）当 a 1时，求 f (x)的单调区间；max e2
f (x) (0,1] 1 a
D. 若方程 f (x) k有两个实根，则 k ( e, 0] { 5 } （2）若 在 上的最大值为 2 ，求 的值．
e2
第 II 卷 非选择题（90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
20. 已知函数 f x x3 ax2 bx c在 x 2 与 处都取得极值．
13. 曲线 y lnx x2在点 1,1 x 1处的切线方程为__________． 3
（1）求 a，b的值；
14. 2位教师和 4名学生站成一排，要求 2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为
_________ （2）若对任意 x 1,2 ，不等式 f x c2恒成立，求实数 c的取值范围．
15. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销
售收入 R x （万元）满足 R x 1 9 1 x3 x2 x（其中 x是该产品的月产量，单位：百台，
8 8 2
21 “
0 x 8 ．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对 初 ），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..
等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构
16. f x a x若函数 (a 0，a 1) g x x2与 的图像在实数集R 上有且只有3个交点，则实数 a
成的，且能用一个式子表示的，如函数 f (x) x x(x 0) ，我们可以作变形：
的取值范围为______．
x
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. f (x) x x eln x ex ln x et (t x ln x)，所以 f (x)可看作是由函数 f (t) et和 g(x) x ln x复合而成的，
17. 3 3（1）计算：C3 C4 C
3
5 C
3
6 ．
即 f (x) x x(x 0) 为初等函数.根据以上材料：
（2）利用 0，1，2，4，5，7 这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？
（1）直接写出初等函数 f (x) x x(x 0) 极值点
1
（2）求初等函数 h(x) x x (x 0)极值.
18. 已知二次函数 f x ax2 ax 2b，其图象过点 2, 4 ，且 f 1 3 .
22．已知函数 f x x2 a ln x 2x， a R．
（1）若函数 f (x)在 (0, )内单调，求 a的取值范围；
f (x ) f (x )
（2）若函数 f (x) 1 2存在两个极值点x1，x 2，求 x x 的取值范围．1 2叙州一中 2022 级高二下期 4 月月数学答案
1. 已知 f (x) ln x，若 f (x0 ) 2，则 x0等于（ ）
A. e2 B. e C. 12 D. ln2
【答案】C
1 1
【分析】根据题意，求得 f x0 x ，得出方程 2x ，即可求解.0 0
【详解】由函数 f x 1 lnx x 0 ，可得 f x 1 ，则 f x
x 0
x ，0
因为 f x0
1
2 2 1，可得 x ，解得 x0 .0 2
故选：C.
2. 1 2 2一质点的运动方程为 s＝20＋ 2 gt (g＝9.8 m/s )，则 t＝3 s 时的瞬时速度为( )
A. 20 m/s B. 29.4 m/s
C. 49.4 m/s D. 64.1 m/s
【答案】B
【解析】
【详解】v＝s′(t)＝gt，∴当 t＝3 时，v＝3g＝29.4. 选 B
3. 某影城有一些电影新上映，其中有 3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及 2部喜剧片，
小明从中任选 1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种
【答案】B
【详解】任选 1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，
第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片，
由分类加法计数原理可得不同的选法共有3 4 3 2 12（种）．故选：B．
4. 函数 f x 2ln x x的单调增区间为（ ）
A. , 2 B. 2,2 C. 0,2 D. 2,
【答案】C
【解析】
【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可.
【详解】解:由题知 f x 2ln x x ,定义域为 0, ,
f x 2 2 x所以 1 ,
x x
令 f (x)> 0 ,解得0 x 2 ,
所以 f x 的单调增区间为: 0,2 .
故选:C
5. 现有 4名同学选择去听同时进行的 6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个
讲座，不同选法的种数是（ ）
A. 64 B. 46 C. A4 46 D. A4
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步计数原理,依次安排每个学生选择,即可得解.
【详解】由题意 4名同学选择去听同时进行的 6个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中
的一个讲座,
每个学生均有 6种选择
所以 4名同学共有6 6 6 6 64种选择
故选:A
6. 已知函数 f x x2 2x a ln x，若函数 f x 在 0,1 上单调，则实数 a的取值范围
是（ ）
A. a 0 B. a < -4 C. a 0或 a 4 D. a 0或a < -4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意转化为 f x 0或 f x 0，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求
得 a的取值范围.
a
【详解】 f x 在区间 0,1 上单调， f x 2x 2 0, x 0,1 ，或
x
f x a 2x 2 0, x 0,1 ，即
x a 2x
2 2x或a 2x2 2x恒成立，
2
设 g x 1 1 2x2 2x 2 x ， x 0,1 ，
2 2
函数在区间 0,1 上单调递减，函数 g x 的值域是 4,0 ，
所以 a 0或 a 4 .
故选：C
e2
7.设 a 2 ,b 2 ,c 2 e ，则（ ）
ln 2 2 ln 2
A. a b c B. c b a C. a c b D. c a b
【答案】D
【解析】
x
【分析】根据题中数据的结构特征，构造函数 f (x) ，利用单调性比较大小即可.
ln x
e2
a 2 4 ,b e
2
【详解】因为 2 ,c 2 e
e
2 ，ln 2 ln 4 4 ln 4 ln e ln e
2
ln x 1
所以令 f (x) x ，由 f (x) ，
ln x (ln x)2
知当 x 0,e 时， f (x) 0， f (x)单调递减；
当 x e, 时， f (x) 0， f (x)单调递增.
2
因为 a f (2) f (4),b f ( e ),c f ( e)
2
e2
所以 a f (2) f ( e) c,a f (4) f ( ) b ，即 c a b .
2
故选：D.
8．2023 年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪
琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运
会，某校决定派 5 名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉
祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的
安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
【答案】A
【分析】按照 2,2,1和3,1,1分组讨论安排.
【详解】（1）按照 2,2,1分 3 组安装，
① 2若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 6种，
② 1 2 2若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 C3 A2 24 种，
（2）按照3,1,1分 3 组安装，
① 3 2若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C4 A2 8种，
② “ ” C2 2若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物 宸宸 ，则共有 4 A2 12种，
故共有6 24 8 12 50种，
故选：A.
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有
选错的得 0 分．
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 1
1 B. ln x
1 ln x
x x2
x x2
C. cos x sin x D. ex 1 ex
【答案】BD
【解析】
【分析】根据导数公式逐项判断即可。
1 1
【详解】对于 A， ，A错误；
x x2
1
ln x x ln x对于 B， x 1 ln x ，B正确；
x x2 x2
对于 C， cos x sin x，C错误；
对于 D， ex 1 ex ，D正确，
故选：BD.
10. 如果函数 y f x 的导函数 y f x 的图象如图所示，则以下关于函数 y f x 的
判断错误的是（ ）
A. 在区间（2，4）内单调递减 B. 在区间（2，3）内单调递增
C. x＝﹣3是极小值点 D. x＝4是极大值点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导数图象判断正负即可得出答案.
【详解】对 A，由图可知，当 x 2,4 时， f (x)> 0，故 f x 在 2,4 单调递增，故 A
错误；
对 B，由图可知，当 x 2,3 时， f (x)> 0，故 f x 在 2,3 单调递增，故 B正确；
对 C，由图可知， f x 在 x 3的左右均为负，故 x 3不是 f x 的极值点，故 C错
误；
对 D，由图可知， f x 在 x 4的左边为正，右边为负， x 4为 f x 的极大值点，故
D正确.
所以错误的选项有 AC.
故选：AC.
11. 4名男生和 3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）
A. 3 5若女生必须站在一起，那么一共有A3A5种排法
B. 3 4若女生互不相邻，那么一共有A3A4 种排法
C 1 6. 若甲不站最中间，那么一共有C6A6 种排法
D. 7 6若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有A7 2A6种排法
【答案】AC
【解析】
【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.
3
【详解】选项A ,利用捆绑法，将 3名女生看成一个整体，其排列方式有A3种，加上 4名男
5 3 5
生一共有 5个个体，则有A5种排列方式，则由乘法原理可知一共有A3A5种排法，故A正
确；
选项B , 4利用插空法，4名男生排成一排形成 5个空，其排列方式有A4 种，再将 3名女生插
3 4 3
入空中，有A5种排列方式，则由乘法原理可知一共有A4A5 种排法，故B不正确；
选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的 6个位置选一个，其
1 6
选择方式有C6种，再将剩余的 6人全排列，有A6 种排列方式，则由乘法原理可知一共有
C1A66 6 种排法，故C正确；
选项D ,利用间接法，3 7 6人站成一排共有A7种排法，若甲站最左边有A6 种排法，乙站最右
边有A6 56 种排法，甲站最左边且乙站最右边有A5种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右
A7 2A6 5边，那么一共有 7 6 A5 种排法，故D不正确；
故选：AC.
f (x) x
2 x 1
12. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
ex
A. 函数 f (x)存在三个不同的零点
B. 函数 f (x)既存在极大值又存在极小值
5
C. 若 x [t, )时， f (x) tmax 2 ，则 的最小值为 2e
D. 若方程 f (x) k 5有两个实根，则 k ( e,0] { 2}e
【答案】BD
【解析】
【分析】求导后，结合 f x 正负可得 f x 单调性；利用零点存在定理可说明 f x 零点
个数，知 A错误；根据极值定义可知 B正确；采用数形结合的方式可求得 CD正误.
x2 f x x 2 x 1【详解】 定义域为 R ， f x x 2 ，
ex ex
当 x , 1 2, 时， f x 0；当 x 1,2 时， f (x)> 0；
\ f (x)在 , 1 ， 2, 上单调递减，在(-1,2)上单调递增；
对于 A， f 1 e 0， f 2 5 0， f 2 e2 02 ，e
\ f (x)在区间 2, 1 和(-1,2)内各存在一个零点；
当 x 2时， x2 x 1 0， ex 0， f x 0恒成立；
\ f (x)有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于 B，由 f x 单调性可知： f x 的极小值为 f 1 e 5，极大值为 f 2 2 ，Be
正确；
对于 C， f 2 5 5 ， 2 作出 f x 图象如下图所示，可知方程 f x 存在另一个解e e2
x0，
若当 x t, 5时， f x t x , 2max ，则 ，C错误；e2 0
对于 D，方程 f x k有两个实根等价于 f x 与 y k 有两个不同交点，
作出 f x 图象如下图所示，
结合图象可知： k e,0 5 2 ，D正确.故选：BD. e
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 曲线 y lnx x2在点 1,1 处的切线方程为__________．
【答案】3x y 2 0
【解析】
【分析】由导数的几何意义即可求解切线斜率，从而求解切线方程.
1
【详解】由 y lnx x2得， y 2x
x
所以 y x 1 3，
所以 y lnx x2在点 1,1 处的切线方程为， y 1 3(x 1)
即3x y 2 0
故答案为：3x y 2 0 .
14. 2位教师和 4名学生站成一排，要求 2 位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排
法的种数为_________
【答案】 24
【解析】
【分析】先考虑两位教师的排法，再考虑甲的排法，最后考虑余下三位同学的排法，结合分
步乘法计数原理求总排法数即可.
2
【详解】先考虑将两位老师排在中间，有A2 种排法，
1
再考虑排甲同学，有 A2 种排法，
3
最后考虑余下三位同学的排法，有A3种排法，
A2A1A3由分步乘法计数原理可得共有 2 2 3 24种排法.
故答案为： 24 .
15. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万
1 3 9 2 1
元.已知销售收入 R x （万元）满足 R x x x x（其中 x是该产品的月产量，
8 8 2
单位：百台，0 x 8），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，
公司所获利润最大..
【答案】6
【解析】
【分析】设销售利润为 g(x), g(x) R(x) 1 1 x，利用导数求出 g(x)的最大值即可.
2
【详解】设销售利润为 g(x)，依题意可得，
g(x) 1 x3 9 x2 1 x 1 1 9 1 x x3 x2 1, x (0,8)，
8 8 2 2 8 8
g (x) 3 x2 9 3 x x(x 6)，
8 4 8
当 x (0,6)时， g (x) 0，当 x (6,8)时， g (x) 0，
所以 g(x)在 (0,6)单调递增，在 (6,8)单调递减，
所以 x 6时， g(x)取得极大值，也是最大值，
所以当公司每月生产 6 百台时，获得利润最大.
故答案为：6.
16. 若函数 f x a x (a 0，a 1)与 g x x2的图像在实数集R 上有且只有3个交点，
则实数 a的取值范围为______．
2 2
【答案】 e e ,1 1,e e
【解析】
ln x2
【分析】问题等价于 a x x2 仅有 3个解，进一步可等价于 ln a 仅有 3个解，设
x
2
h x ln x ， x 0 ，利用导数研究函数 h x 的性质，作出其图像，利用图像即可得解．
x
【详解】解：依题意，a x x2仅有3个解， x 0显然不是该方程的解，则 ln a x ln x2 ，
ln a ln x
2
即 仅有3个解，
x
h x ln x
2 ln x2
设 ， x 0 ，定义域关于原点对称，且满足 h x h x ，即 h x
x x
为奇函数，
h x 2 ln x 2 1 ln x考虑 x 0 时的情况， ， h x ，x x2
当 x e时， h x 0，即 h x 在 e, 上单调递减，
当0 x e时， h x 0，即 h x 在 0,e 上单调递增，
2
则函数极大值为 h e ，且当 x 1时， h x 0；当 0 x 1时， h x 0；
e
作出函数 h x 的大致图像如图所示：
2
ln a ln x 3 y ln a h x ln x
2
由于 仅有 个解，故 与函数 的图像仅有3个交点，
x x
2 2 2
结合图像可得 ln a 0 2或0 ln a ，解得
e e e e a 1
或1 a e e ．
2 2
故答案为： e e ,1 1,e e ．
四、解答题：本题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17. 1 3 3 3 3（ ）计算：C3 C4 C5 C6 ．
（2）利用 0，1，2，4，5，7 这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？
【答案】（1）35；（2）48；（3）1440
【分析】（1）根据组合数的性质结合题意求解即可；
（2）分不选 0 和选 0 两种情况，结合分类加法原理求解；
【详解】（1）C33 C
3 3
4 C5 C
3
6
C44 C
3 3
4 C5 C
3
6
C4 35 C5 C
3
6
C46 C
3
6
C47 35；
（2）不选 0 时，先从 1，5，7 中选一个数放在个位，然后剩下的 4 个数中选 2 个排在十位
1 2
和百位，则有C3A4 36个奇数；
选 0 时，先把 0 放在十位，然后从 1，5，7 中选一个数放在个位，再从剩下的 3 个数中选 1
C1 1个放百位，则有 3C4 12个奇数；
所以共有36 12 48个奇数．
18. f x ax2已知二次函数 ax 2b，其图象过点 2, 4 ，且 f 1 3 .
（1）求 a、b的值；
（2）设函数 g x x ln x，求曲线 y g x 在 x 1处的切线方程.
【答案】（1） a b 1
（2） x y 1 0
【解析】
【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数 a、b的方程组，可求得实数 a、b的值；
（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【小问 1 详解】
解：因为 f x ax2 ax 2b，则 f x 2ax a，
f 2 6a 2b 4 a 1
所以， ，解得 .
f 1 3a 3
b 1
【小问 2 详解】
解：因为 g x x ln x的定义域为 0, ，且 g x ln x 1，
所以， g 1 1， g 1 0，故切点坐标为 1,0 ，
所以，函数 g x 在 x 1处的切线方程为 y x 1 .
19. 设函数 f (x) ln x ln(2 x) ax (a 0)．
（1）当 a 1时，求 f (x)的单调区间；
1
（2）若 f (x)在 (0,1]上的最大值为 2 ，求 a的值．
1
【答案】（1） f (x)的单调递增区间为 (0, 2)，单调递减区间为 ( 2,2)；（2） a .
2
【解析】
【详解】函数 f (x)的定义域为 (0,2)，
f (x) 1 1 a ，
x 2 x
f (x) x
2 2
（1）当 a 1时， ，所以 f (x)的单调递增区间为 (0, 2)，单调递减区间
x(2 x)
为 ( 2, 2)，
f (x) 2 2x（2）当 x (0，1]时， a 0
x(2 x)
1
所以 f (x)在 (0,1]上单调递增，故 f (x)在 (0,1]上的最大值为 f (1) a，因此a ．
2
20. 已知函数 f x x3 ax2 bx c在 x 2 与 x 1处都取得极值．
3
（1）求 a，b的值；
（2）若对任意 x 1,2 2，不等式 f x c 恒成立，求实数 c的取值范围．
1
【答案】（1） a ，b 2；（2） , 1 2, ．
2
【解析】
【分析】（1）对 f x 求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有 f x 3x 2 x 1 ，进而判断 f x 的单调性并确定最值，结合不等
式恒成立求参数范围.
2 2 4 4
【详解】（1）由题设， f x 3x 2ax b，又 f a b 0，
3 3 3
f 1 3 2a b 0，解得 a 1 ，b 2．
2
2 (1) f x x3 1 x2（ ）由 ，知 2x c，即 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 ，
2
当 x 1,2 时， f (x)， f x 随 x的变化情况如下表：
x 1,
2 2
2
3 3
,1 1 1,2
3
f (x) + 0 - 0 +
f x 递增 极大值 递减 极小值 递增
f x 1, 2 2∴ 在
上单调递增，在 ,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增，
3 3
x 2 f
2 22
∴当 时， c为极大值，又 f 2 2 c，则 f 2 2 c为 f x 在3 3 27
1,2 上的最大值，
要使 f (x) c2对任意 x 1,2 恒成立，则只需 c2 f 2 2 c，解得 c 1或 c 2，
∴实数 c的取值范围为 , 1 2, ．
21．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教
材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及
有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 f (x) x x(x 0) ，我们可以作
x
变形： f (x) x x eln x ex ln x et (t x ln x)，所以 f (x)可看作是由函数 f (t) et和
g(x) x ln x复合而成的，即 f (x) x x(x 0) 为初等函数.根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 f (x) x x(x 0) 极值点
1
（2）求初等函数 h(x) x x (x 0) 极值.
1 1
【答案】（1））极小值点为 x ，无极大值点；（2）极大值且为 e e ，无极小值.e
1 f x ex ln x【分析】（ ） ， f ' x ex ln x x ln x ' ex ln x 1 ln x ，由此求得求得极值点.
（2）利用复合函数求导研究h x 的单调性，由此求得 h x 的极值.
1
【详解】（1）极小值点为 x ，无极大值点.
e
1 1 1
2 ln x（ ） h(x) x x eln x x e x x 0 ，
1 '
' ln x 1
1
ln x 1 ln x
所以 h x e x ln x e x
1 1 1
ln x x2 2 2 e (1 ln x)， x x x x
'
令 h x 0得 x e，当0 x e '时， h x 0，此时函数 h(x)单调递增；
当 x e '时， h x 0，此时函数 h(x)单调递减.
1
所以 h(x)有极大值且为 h(e) e e，无极小值.
22．已知函数 f x x2 a ln x 2x， a R．
（1）若函数 f (x)在 (0, )内单调，求 a的取值范围；
f (x ) f (x )
（2）若函数 f (x) 1 2存在两个极值点x x 1， 2，求 x x 的取值范围．1 2
1
【答案】（1） a ；（2） , 3 2ln 2 .
2
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a 2x2 2x恒成立，求出 a的范围即可；
f (x ) f (x )
（2 1）求出 2 的解析式，令 g(x) (1 x)lnx xln(1 x)
1
x x ， (0 x )，根据函数的1 2 2
单调性求出 g(x)的范围，从而求出问题的答案．
a 2x2 2x a
【详解】（1） f (x) 2x 2 (x 0)，
x x2
由题意得 f (x) 0恒成立，
即a 2x2 2x 2恒成立，而 2x 2x 2(x
1
)2 1 1 ，
2 2 2
a 1 ；
2
1
（2）由题意知2x2 2x a 0在 (0, )内有 2 个不等实根x ，x ，则 a 01 2 ，2
x a 1且 1 + x2 1， x1x2 ，不妨设 x1 x2，则 0 x1 ，2 2
f (x1) f (x 2
)
(x alnx 1 2) (x alnx2 2) 3 lnx lnx1 2 a( 1 2 )x1 x2 x1 x2 x1 x2
3 2x x (lnx lnx 11 2 2 ) 2x lnxx x 2 1
2x1lnx2 3 2(1 x1 )lnx1 2x1ln(1 x1 ) 3，
1 2
令 g(x) (1 x)lnx xln(1 x) (0 x
1
， )，
2
g (x) lnx 1 x ln(1 x) x 1 1 2x则 ln( 1) x 1 x x x(1 x)，
1
显然 1 1，1 2x 0，故 g (x) 0， g(x)递增，
x
g(1而 )
1
ln ln2， x 0时， g(x) ，
2 2
故 g(x) ( ， ln2)，
f (x1) f (x ) 2 ( , 3 2ln2)
x x ．1 2
