10.3频率与概率同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

10.3 频率与概率 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：
425123423344144435525332152342
534443512541135432334151312354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．213石 B．152石 C．169石 D．196石
4．一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．
问题：你的生日的月份是否为偶数 （假设生日的月份为偶数的概率为）
问题：你是否有在校使用手机
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（ ）
A． B． C． D．
6．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
7．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 5 7 24 35 19
则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
8．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
10．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（ ）
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
11．某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（ ）

A．参加社团的同学的总人数为480
B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人
D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35
12．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.5 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
三、填空题
13．袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个．
14．为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了人，已知非吸烟者占比，吸烟者中患肺癌的有人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是 ．
15．频率的稳定性
（1）频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐 事件A发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
（2）频率稳定性的作用
可以用频率估计概率．
16．在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
四、解答题
17．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
18．甲 乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为：每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答，答对得1分，答错或不答得0分，最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲 乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后的答题情况如下表：
甲 乙
练习题目个数 120 120
答错个数 24 20
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响，且用频率代替概率.
(1)估计甲 乙两人在比赛时答对题的概率；
(2)设事件“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”，求.
19．在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数；
(2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）.
20．我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率.
21．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C.
(1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率；
(2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）
A B C
a 40 10 10
b 3 24 3
c 2 2 6
①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率；
②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果.
【详解】根据题意可得不等式等价于；
因为，所以不等式的解集为；
依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得；
由几何概型概率公式可得其概率为.
故选：C
2．D
【分析】由样本数据，利用频率近似估计概率.
【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，
至少有两天下雨有，
即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为．
故选：D．
3．C
【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解．
【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为，
则这批米内夹谷约为（石，
故选：C
4．B
【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解.
【详解】设红球的个数为，由题意可知：，
所以红球的个数最可能是5个，
故选：B
5．B
【分析】计算出回答问题的学生人数，以及回答问题回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手机的概率.
【详解】由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.
故选：B.
6．D
【分析】根据频率和概率的关系分析每个选项.
【详解】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即，
B选项中所估计的概率和频率差别过大，
C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误；
D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确.
故选：D
7．C
【分析】由频率估计概率，得出所求概率.
【详解】因为前三年6月份各天最高气温小于的频率为，
因此估计今年6月份的某天最高气温小于的概率为0.4.
故选：C
8．A
【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解.
【详解】由题意可知：体重减轻的频率为，
用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.
故选：A.
9．ABC
【分析】
根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.
【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；
对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；
对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.
故选: ABC.
10．BCD
【分析】根据概率的定义与含义，即可得到答案.
【详解】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确．
故选：BCD
11．ABD
【分析】对于A，根据参加合唱社团的人数及所占比例可求出总人数；
对于B，根据参加脱口秀社团的人数除以总人数即可判断；
对于C，求出参加朗诵社团的人数，再求出参加舞蹈社团的比例及人数即可判断；
对于D，根据参加舞蹈的占比及参加脱口秀社团的占比即可判断.
【详解】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确；
对于B，参加脱口秀社团的有120名，
故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；
对于C，参加朗诵社团的人数为，
参加舞蹈社团的占比为，
参加舞蹈社团的人数为，
故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误；
对于D，从参加社团的同学中任选一名，
其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确．
故选:ABD．
12．ABC
【分析】根据题中统计数表中的数据变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确；
对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确；
对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确；
对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误；
故选：ABC.
13．7
【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案.
【详解】因为红球所占比例为，
所以红球的个数最有可能有.
故答案为:7
14．
【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为，根据题意列出方程，求出，即可得到答案
【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人，
设非吸烟者患肺癌的人数是人，则，，
因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人．
故答案为：.
15．稳定于
【分析】略
【详解】略
16．16
【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可.
【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：，
经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个.
故答案为：16
17．(1)答案见解析
(2)0.47
(3)2000
【分析】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可；
（2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和；
（3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表
分组 频率
0.05
0.20
0.28
0.30
0.15
0.02
（2），所以数据落在中的概率约为0.47.
（3）设水库中鱼的总条数约为条，则，
即，所以水库中鱼的总条数约为2000条.
18．(1)甲 乙两人在比赛时答对题的概率分别为
(2)
【分析】（1）根据题中条件计算出频率，用频率代替概率即可；
（2）根据互斥事件的概率加法公式进行计算即可.
【详解】（1）由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为：
，
乙在比赛时答对题的概率为：
.
（2）设事件“某轮比赛中甲得1分”，事件“某轮比赛中乙得1分”，
则事件，
所以.
（或）.
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率估计概率运算求解，并根据百分位数的定义求分位数；
（2）直接利用平均数公式求出平均数.
【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为，
身高位于区间的频率为，
用频率估计概率，估计该校一位男生的身高位于区间的概率为，
又因为的人数占比为0.10，的人数占比为0.20.
可知该校100名生学身高的分位数落在.
设该校100名生学身高的分位数为x，则，解得.
故该校100名生学身高的分位数为.
（2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得：
20．(1)120
(2)
【分析】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解.
【详解】（1）根据分层抽样的方法，
所以男生样本数据个数为；
（2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：，
所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率.
21．(1)
(2)①；②252
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率.
（2）①利用频率估计概率求解可得.
②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可.
【详解】（1）列表如下：
a b c
A
B
C
所有等可能的情况数有9种，
其中垃圾投放正确的有，，共3种，
所以垃圾投放正确的概率为.
（2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为，
②.由（吨），
答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料.
答案第1页，共2页
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