第十章 10.1.2 事件的关系和运算 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第九章
10.1.2 事件的关系和运算
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解两个随机事件的包含与相等以及并（和）、交（积）运算的含义. 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.理解互斥事件和对立事件的概念，弄清互斥事件和对立事件的联系与区别． 2.数学抽象素养和数学建模素养.
3.能正确地判断两个随机事件的互斥和对立关系，掌握两个事件的并、交运算. 3.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.样本空间有关概念：
样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示.
样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示.
2.随机事件有关概念：
基本事件:只包含一个样本点的事件.
随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集.
随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.
事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现.
必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生.
Ω为必然事件.
不可能事件：在每次试验中都不会发生.
为不可能事件.
新知引入
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如:
Ci＝“出现i点”,i=1,2,3,4,5,6；
D1＝“出现的点数不大于3”；D2＝“出现的点数大于3”；
E1＝“出现的点数为1或2”；E2＝“出现的点数为2或3”；
F＝“出现的点数为偶数”；G＝“出现的点数为奇数”
......
你还能写出这个试验中其他一些事件吗 请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗
事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提高有效而简便的方法.下面我们按照这一思路展开研究.
知新探究
1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，它们分别是
C1={1}，G={1，3，5}
显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生.
事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1} ={1,3,5}，即C1 G.
这时我们就说事件G包含事件C1.
一般地，若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，
记作B A(或A B).
可用如图表示.
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等，
记作A=B．
注意
不可能事件记作 ，任何事件都包含不可能事件.
知新探究
2.用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，E1＝“点数为1或2”和E2＝“点数为2或3”，它们分别是
D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．
可用发现，事件E1和事件 E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．
事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，
即E1∪E2＝D1，
这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，
记作A∪B(或A＋B)．
可用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.
知新探究
3.事件C2＝“点数为2”用集合的形式表示为C2={2}，
可以发现，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”同时发生，相当于事件C2发生．
事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}∩ {2,3}={2}.
即E1∩E2＝C2，
这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件．
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，
记作A∩B(或AB)．
可用如图中的蓝色区域表示这个交事件.
知新探究
4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别是
显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,
用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}= ，
即C3∩C4＝ ，
这时我们称事件C2为事件C3和事件C4互斥．
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
可以用如图表示这两个互斥事件.
C3={3}，C4＝{4}．
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
知新探究
5.用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，G＝“点数为奇数”. 它们分别是
在任何一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中一个．
事件之间的这种关系,用集合的形式可以为，
即F∪G＝ Ω ，F ∩G＝ ，
这时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系．
可以用如图表示.
F={2，4，6}，G＝{1，3，5}．
{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6}，{2,4,6}∩{1,3,5}= ，
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么称事件A与事件B互为对立．
事件A的对立事件记为.
知新探究
问题：如何辨析互斥事件与对立事件？
从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例.
从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.对于一个样本空间来说，一个事件的互斥事件是唯一确定的.
知新探究
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算 含义 符合表示
包含 A发生导致B发生 A B或B A
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B= ，A∪B=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
知新探究
【例1】由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能
正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
⑴写出表示两个元件工作状态的样本空间；
⑵用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
⑶用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
乙
甲
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.
解：
⑴用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,
以1表示元件正常,0表示元件失效,
则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
知新探究
【例1】由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能
正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
⑴写出表示两个元件工作状态的样本空间；
⑵用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
⑶用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
解：
⑵根据题意，可得
A∪B与∩互为对立事件.
⑶A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}, ∩={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常, 表示电路工作不正常；
乙
甲
A={(1,0),(1,1)}, B={(0,1),(1,1)},
={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.
知新探究
【例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿”,
M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
⑴用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：
事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2，于是
R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}
⑴用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号，样本空间为
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
同理
R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}
R={(1,2),(2,1)}，
G={(3,4),(4,3)},
M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
知新探究
【例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿”,
M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
⑵事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？
解：
因为M∪N=Ω,M∩N= ,所以事件M与事件N互为对立事件.
⑵因为R R1,所以事件R1包含事件R；
因为R∩G= ,所以事件R与事件G互斥；
知新探究
【例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿”,
M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
⑶事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
解：
⑶因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
初试身手
1.⑴抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
⑵（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:
Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”;
E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.
下列判断中，正确的有（ ）
A.D2∪D3=Ω,D2∩D3= , B.D3=C5∪C6
C.E=C1∪C3∪C5 D.C2,C3为对立事件
解：
⑴事件A为“至少有2件次品”的对立事件为“至多有1件次品”.故选B.
B
⑵由题意，得D2∪D3=D2，D2∩D3=D3，所以A错误；D3={5,6}=C5∪C6，所以B正确；E={1,3,5}=C1∪C3∪C5 ，所以C正确；C2={2}，C3={3}，则C2,C3不是对立事件，D错误.故选BC.
BC
初试身手
2.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任抽取1张．
⑴“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
⑵“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
⑶“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解：
⑴是互斥事件，不是对立事件．
⑵既是互斥事件，又是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
初试身手
2.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任抽取1张．
⑴“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
⑵“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
⑶“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
解：
⑶不是互斥事件，当然不可能是对立事件．．
理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
课堂小结
1.事件的关系：
2.事件的运算：
包含关系：若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B).记作A B.
相等关系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等.记作A=B.
互斥关系：如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
对立关系：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B= ，那么称事件A与事件B互为对立．
并事件：事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).
交事件：事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).
作业布置
作业： P235 练习 第1,2题
P245 习题10.1 第3，4题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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