湖南省浏阳市2023-2024学年重点校联考高二下学期期中数学测试卷（含答案）

高二数学试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．1
2．若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列中，是其前n项和，，，则有（ ）
A． B． C． D．
4．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
5．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
6．如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知、为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且，的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为，则下列结论正确的是（ ）
A．每次游戏中小明得1分的概率是 B．的均值是2
C．的均值是3 D．X的标准差是
10．已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20
11．已知抛物线C：过点是准线上的一点，F为抛物线焦点，过作的切线，与抛物线分别切于，则（ ）
A．C的准线方程是 B．
C． D．
12．已知函数及其导函数的定义域均为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．方程有两个解
D．在区间上单调递增
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．函数的定义域是 .
14．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，去掉所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前46项和为________．
15．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，．若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为 ．
16．已知，为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，直线l是曲线C的切线，，分别为，在切线l上的射影，则面积的最大值为__________．
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角的大小；
(2)若，求的值.
18．甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
19．已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和.
20．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，.过点作四棱锥的截面，分别交，，于点，，，且，.
(1)若为的中点，求实数的值；
(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．
21．已知点、，动点满足直线与的斜率之积为，记M的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)经过点的直线与曲线交于、两点.记与的面积分别为和，求的最大值.
22．设，.
（1）求的单调区间；
（2）讨论零点的个数；
（3）当时，设恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1-8 CADBDDAB
0-12 ACD BCD ABC ACD
13．
14．　2 037
15．
16．
17．（1）若选①：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
且，所以；
若选②：因为，由正弦定理可得，
且，则，可得，
且，所以；
若选③：因为，
则，可得
且，则，可得，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又，
即，解得.
18．
（1）
由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.
所以乙有机会答题的概率为，
解得；
（2）
X的可能取值为0，10，20，30，40；
所以X的分布列为：
X 0 10 20 30 40
P
.
19．
（1）设等差数列的公差为d，又因为，
且，所以，故，
所以；
（2）由（1）可知，，又，所以.
若选择条件①，可得，
；
若选择条件②，可得，
；
若选择条件③，可得，
.
20．（1）
过在平面内作，使，
又平面，
所以以点为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴作空间直角坐标系，
则，，，，，
又为的中点，
则，，，，，
，，
，，
即，，
方法一：由向量，，在同一平面内，
则满足，即，解得；
方法二：设平面的法向量，
则，令，得，
所以，解得；
（2）当时，，，
设平面的法向量，
则，令，得，
又平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面所成角为，
则，
所以.
21．（1）由题意，，，，
所以，
整理可得，
所以C的方程为，
曲线C是去掉两个长轴端点的椭圆.
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，
此时与的面积相等，所以.
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立方程组，可得，
则，
且，，
则，
此时，
由于，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值.
综上所述，的最大值为.
22．（1），
当时，，单调递增，当时，，单调递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）是的一个零点，当时，由得，，，
当时，递减且.
当时，，且时，递减，时，递增，
故，.图象如图，
当时，有1个零点
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点.
（3），
所以：，
当时，设的根为，即有，可得，，
当时，，递减.当时，，递增.
所以：，
∴.
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