湖南省浏阳市2023-2024学年重点校联考高一下学期期中数学测试卷（含答案）

高一数学试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项。其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边上有一点，则的值为( )
A．3 B． C．1 D．
4．设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆柱的轴截面为正方形，为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，均为单位向量，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ）
B． C． D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．以下结论正确的有（ ）
A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B．等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大
D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
10．以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若复数z满足，则z对应的点在第四象限
D．是复数（、）为纯虚数的必要不充分条件
11．的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则有一解
C．已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，
D．若为斜三角形，则
12．如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．是直角三角形
B．异面直线与所成的角为
C．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值
D．平面平面
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．已知向量与的夹角为，，，则 ．
14．已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.（结果用坐标表示）
15．已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是___________．
16．如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，的面积为，求b．
18．已知向量，.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
19．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．
若，求的长；
（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21．已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求的值；
(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．如图，在三棱台中，，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．
参考答案
1-12 BBBDAADD AB BD AD ABC
13． 14． . 15． 16．
17．
（1）由题干条件可知，，
由正弦定理得，
∵，∴，
∴．
∵，
∴或．
（2）∵，
∴，
解得，
∴．
当时，
由余弦定理得，
∴．
又，
∴，则，与题干矛盾，舍去．
当时，由余弦定理得，
∴．
综上，．
18．
解：（1）设，因为，所以，
因为，所以，解得或，
所以或.
（2）因为向量与互相垂直
所以，即，
而，，所以，，
因此，解得.
19．
解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆⊙A中，， 弧长，
这是圆锥的底面周长，所以，
所以，
故圆锥的底面积为；
（2）设圆柱的高，，
在中，，
，所以，
即，，
，
，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大，
此时.
20．
（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，
因为，，所以，，
在中由余弦定理，且，
所以，
解得或，
（2）因为，，
所以，
所以，
在中由正弦定理得：
所以，
在中，由正弦定理得：
所以，
若产生最大经济效益，则的面积最大，
，
因为，所以
所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大
21．
（1）由函数为奇函数且定义为R，∵，
当时，可得，故，
则，得，
经检验，符合题意，
故；
（2）由（1）可知，函数在上为减函数，
由，
得，
所以，
设，，则，
又函数图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
所以在上，，
所以，得，
故实数的取值范围.
22．
（1）取中点为，连接,
∵，，所以,故,由三角形内角和可得,
故，
又∵,平面,为相交直线，
∴平面，平面,∴
又∵,即,平面,
∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面
（2）由（1）知直线与平面所成角为，
∴，由于,∴
设平面和平面的交线为，
由于平面，平面，所以，
过点作于G，
又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面,
∴平面，平面，所以，
且,
再过点作于，连接，
平面，所以平面，
平面,故，
∵即为所求角,
,
∵

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