第八章 立体几何初步 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为平面外的一条直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在直线，使得， B．存在直线，使得，
C．存在直线，使得， D．存在直线，使得，
2．若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（ ）
A． B． C．-1 D．
4．若底面半径为r，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
6．如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点是的重心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则截面的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱长均为，则该“刍童”的体积为（ ）
A．224 B．448 C．147 D．
8．如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D．圆锥侧面积是
10．将正四棱锥和正四棱锥的底面重合组成八面体，则（ ）
A．平面 B．
C．的体积为 D．二面角的余弦值为
11．在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　）
A．等边三角形 B．矩形
C．等腰梯形 D．正方形
12．已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为4
三、填空题
13．已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是 ．
14．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为 m， m.又测得AB的长为5 m，CD的长为 m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 .
15．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为 .
16．已知正四棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，点是底面（含边界）上一个动点，直线与平面所成的角的正切值为2，则的取值范围为 ；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题
17．正方体中，，分别是，的中点.

(1)求异面直线与所成角；
(2)求证：平面
18．如图已知是所在平面的一条斜线，点是在平面上的射影，且在的高上．，与之间的距离为，点．
(1)证明是二面角的平面角；
(2)当时，证明平面；
19．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
20．如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．
(1)求证：平面
(2)若，求四棱锥的表面积．
(3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．
21．已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，.
(1)求证：；
(2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合线面平行的判定与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当直线与平面斜交时，此时不存在直线，使得，，所以A错误；
对于B中，如图所示，当时，过直线作平面，使得，
因为，，所以，
又因为，可得，因为，所以，
当与平面斜交时，设斜足为，在直线上取一点，作，垂足为，连接，
在平面内，过点作直线，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，即，
在过和确定的平面内，过点作直线，使得，所以，
因为，所以，所以存在直线，使得，
若直线，此时存在平面且，在直线取一点，
在平面内过作直线，根据面面平行的性质有，所以B正确；

对于C中，当直线与平面相交时，若，则直线与平面必相交，所以C错误；
对于D中，当时，若，可得或，所以D错误.
故选：B.
2．A
【分析】由题意可得圆锥母线，底面半径和高的关系，再根据线面角的正切值，即可求解.
【详解】设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为，母线与底面所成角为，由题意可得，
由勾股定理可得圆锥的高，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值．
故选：A
3．D
【分析】由题意可得球心在，设与的交点为， 于M，为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，设外接球的 半径为,球心到平面的距离为,可得，，进而计算可求最大时，的值.
【详解】由题意可得球心在，设与的交点为， 于M，
由题意可得，
所以为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，
所以，，设外接球的 半径为,球心到平面的距离为,
则，
设的边长为，由正三角形的性质，
所以，， ,
所以
所以
，所以，故当时，最大，
此时.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用正切函数的单调性求三角函数的值的最大值以确定角的最大值，表示三角函数是解本题的关键.
4．D
【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到，解出即可.
【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为，
故，即，故（负舍）.
故选：D.
5．A
【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，且平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以③恒成立；
设与交于点，则为底面正方形的中心，且，
由正四棱锥，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立；
对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立.
故选：A.
6．B
【分析】过点作，分别交于，作交于，设平面与交于点，根据线面平行判定定理证明四边形即为截面，结合条件判断截面形状，再求其面积.
【详解】由题意可知，点是的重心，过点作，
分别交于，作交于，
设平面与交于点，
由于平面平面，故平面，
因为，平面平面，
所以平面，即四边形即为截面，
由于平面，平面平面，
平面
故，同理，
故四边形为平行四边形，
设为的中点，连接，
则平面
故平面平面
故，而，故，
即平行四边形为矩形，即截面是矩形，
因为点是的重心，则，
故，所以，
故矩形的面积为，即截面的面积为2.
故选：B.
7．D
【分析】根据题意结合图形得到求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果．
【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，
．
因为“刍童” 上、下底面均为正方形，所以底面，又，所以底面，
因为，所以，
易知四边形是等腰梯形，则，
所以在中，则，即“刍童” 的高为，
则该刍童的体积．
故选：D．
8．B
【分析】连接与交于点，取中点，连接，则，则为异面直线与所成角（或补角），设，在中利用余弦定理求出，最后求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积.
【详解】连接与交于点，则为中点，
取中点，连接，则，
为异面直线与所成角（或补角），
设，，，则， ，
在中，由余弦定理得，
若，则，解得（负值已舍去），
若，则，方程无解，
所以，
所以长方体的对角线长为，
所以长方体的外接球的半径，
所以长方体外接球的表面积.
故选：B
9．BCD
【分析】根据弧长公式、圆锥体积公式、三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】因为圆锥的底面半径，母线长，
所以圆锥的高.
对于A，因为圆锥的体积为，故A错误；
对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确；
对于C，设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为，
当时，面积有最大值，最大值为，故C正确；
对于D，圆锥的侧面积为，故D正确.
故选：BCD.
10．AC
【分析】利用正四棱锥的定义判断A；判断是否为平行四边形判断B，计算体积判断C；几何法求出二面角的余弦值判断D.
【详解】令正方形的中心为，连接，

对于A，由正四棱锥，得平面，同理平面，
则共线，因此平面，A正确；
对于B，连接，显然是的中点，，，
，不是的中点，因此四边形不是平行四边形，不平行，B错误；
对于C，的体积，C正确；
对于D，取中点，连接，则，是二面角的平面角，
而，则，D错误.
故选：AC
11．ABC
【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案.
【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）；
当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）；
当点不与点重合时，当分别为的中点，
则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）．
故选：ABC.
12．AC
【分析】由已知可得，由锥体体积公式可求圆锥的体积判断A；求得侧面积判断B；设是的中点，连接，可得，进而可求得AC判断C；求得，可求判断D.
【详解】依题意，，所以，
对于选项，圆锥的体积为选项正确；
对于选项，圆锥的侧面积为，选项错误；
对于选项，设是的中点，连接，则，

所以是二面角的平面角，则，所以，
故，则，选项正确；
选项，，所以，选项错误.
故选：AC.
13．6
【分析】首先还原底面，根据几何关系，计算底面积和体积.
【详解】根据直观图的画法规则，还原三棱柱的底面，得，，且，
所以底面的面积，三棱柱的高为3，
所以三棱柱的体积.
故答案为：6
14．/
【分析】作且，连接，可得是所求二面角的平面角，进而求得，再利用余弦定理可求得，可求得.
【详解】如图，作且，连接.又，则四边形是矩形，
.又，所以是所求二面角的平面角.
因为，，则.
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，，
所以，，
由题可知，
则.
又是三角形的内角，所以.
故答案为：.
15．
【分析】由圆台的体积求得圆台的高h，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.
【详解】圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h，
则该圆台的体积为，则，
作出圆台的轴截面如图所示，
上底面圆心为，下底面圆心为，，，
过作，则，又，
所以圆台的母线长为．
故答案为：.
16．
【分析】利用线面角的正切值得出的轨迹，结合轨迹特征可得答案；先确定球心所在直线，利用勾股定理建立方程组，求出球的半径，利用面积公式可得答案.
【详解】从点向底面作垂线，垂足为,连接，则为直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角的正切值为2，所以，
因为,所以，由对称性可知，，即点的轨迹是底面内，以为圆心，1为半径的圆弧，
如图，当位于与圆弧的交点处时，最小，最小值为；
当位于或时，最大，最大值为1，所以的取值范围为.
设交于点，交于点，连接，则球心在上，
连接，设，球半径为，则,，
有勾股定理可得，
解得，所以球的表面积为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，，即可得到，则为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出；
（2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证.
【详解】（1）连接，，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，则为异面直线与所成的角，
在正方体中，可得，即为等边三角形，
所以，所以异面直线与所成角为；

（2）取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
而，所以，
又因为平面，平面，平面，
平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用二面角平面角的定义进行证明为二面角的平面角；
（2）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，易证，，问题得证．
【详解】（1）如图由已知，
，平面，，平面，
∴．
又平面，平面，
∴平面，
又都在所在的平面内，与必相交，
因为平面，因为平面，
，，
∴为二面角的平面角．
（2）由已知，，
在与中，，，
又，，故有，
由（1）得平面，平面，
又，
又，平面，平面，平面，
平面．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得.
（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值.
【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面平面，
得平面，又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又平面，所以平面.
（2）如图，
在平面内，过点作，垂足为，显然，
由侧面底面，交线为，得底面，底面，
则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，而平面，因此，
则即为二面角的平面角，其大小为，
在中，，则，
由，得四边形为平行四边形，则，
由，得（或其补角）为异面直线与所成角，
由（1）知平面，则为直角三角形，，
所以异面直线与所成角的正切值为.
20．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解；
（3）由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解.
【详解】（1）取中点，连，
因为点为中点，
，且，
同时因为分别是边的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2），
，
，
根据对称性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱锥的面积.
（3）
由（1）知平面，
平面平面
，，
又，，.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定性质推理即得.
（2）证明平面，再利用等体积法求出点到平面的距离即可.
【详解】（1）连接，由，，
得，
在中，由余弦定理得，
则，于是，而平面，
因此平面，又平面，
所以.
（2）在中，由，，得，而平面，
平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
又，设点到平面的距离为，则，
，，
，，
由，得，即，解得，
所以点N到平面的距离.
答案第1页，共2页
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