第十章 概率 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ）
A． B． C． D．
2．用2，3，4中的任意一个数作分子，4，6，8中的任意一个数作分母，则可构成不同的分数个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知在8个电子元件中，有2个次品，6个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
二、多选题
9．保定某中学上午大课间跑操，为了提升班级跑操水平，某班在跑操后进行分组训练，现六名同学一组进行队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A．若不在第一个，则不同的排序种数有480种
B．若和不相邻，则不同的站队方式共有480种
C．若和相邻，且不在两端，则不同的站队方式共有120种
D．排在之前的概率为
10．对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则
C．若，则 D．若A与B相互独立，则
11．甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛． 设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥
12．某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则（ ）
A．竞聘者第1环节考核通过的概率为
B．若竞聘者第1环节考核通过个项目，则的均值
C．竞聘者第2环节考核通过的概率为
D．竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以下
三、填空题
13．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 .
14．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为 ．
15．从中任取两个不同的数字，若取到的两个数字之和小于0，则这两个数字之积大于0的概率为 ．
16．设事件是互斥事件，且，则 .
四、解答题
17．某学校进行了垃圾分类知识普及的系列培训讲座及实践活动，现对高二学生进行综合检测，从中按比例抽取了30名学生的成绩，其频率分布表如图所示.
分数段
频数 2 4 9 4
频率
(1)求和，并估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率（分数在为合格），若合格率低于，将增加培训的次数，请根据抽样结果分析并判断是否增加培训次数.
(2)从样本中成绩在的学生中随机选2人，求恰有2人成绩位于的概率.
18．在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.
(1)求甲投篮次得分的概率；
(2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望；
(3)比较甲、乙的比赛结果.
19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．
(1)求乙投球次的命中率；
(2)若甲、乙两人各投球次，求两人共命中次的概率．
20．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值及200名学生一周课外阅读时间的平均数；
(2)为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在内的概率.
21．第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.
【详解】因为，故，
因为与为互斥事件，故，
所以
，故，故.
故选：A
2．B
【分析】把分数列举出来，即得答案.
【详解】当分子为时，可构成分数为，
当分子为时, 可构成分数为，
当分子为时，可构成分数为，
综上，可构成不同分数为，共7个，
故选：B.
3．B
【分析】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解.
【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为，
若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为，
故两次摸到的小球颜色不同的概率为.
故选：B.
4．D
【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用和求解即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D
5．A
【分析】由互斥加法公式、独立事件的概率公式与古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】若经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第一次抽一个合格品、第二次抽一个次品、第三次抽一个次品，
或第一次抽一个次品、第二次抽一个合格品、第三次抽一个次品，
则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为.
故选：A.
6．C
【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，4，
从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有：
，共10个，
其中恰好有1个数是质数的基本事件有，，共6个，所以所求概率为.
故选：C．
7．B
【分析】因为“恰有2队完成任务”，即可能是“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，根据相互独立事件及互斥事件的概率可得结果.
【详解】设事件A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，且相互互斥，
则，
故选：B．
8．C
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，共36个样本点．
则事件包括，共6个，，
事件包括
，共18个，，
事件包括，共5个，，
事件包括，共6个，.
对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件包括，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.
9．BD
【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解.
【详解】对于，若甲不排第一个，则甲有5种排法，其余5个人全排，共有种；
对于，先排列除与外的4个人，有种方法，利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法；
对于，若和相邻，利用捆绑法不同站队方式有种，
若和相邻且在两端，则站队方式有种，
故由间接法得站队方式共有192种；
对于排在之前的概率为.
故选：BD.
10．BD
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解.
【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误；
对于B，A与B互斥，则，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，A与B相互独立，则，D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】根据相互独立事件及互斥事件的定义判断即可.
【详解】由题意可得，，，.
因为，所以与相互独立，故A正确；
因为，所以与不相互独立，故B错误；
因为，所以与相互独立，故C正确；
因为，所以与互斥，故D正确.
故选：ACD
12．BD
【分析】设分别为两个环节第个项目通过，则，然后根据相互独立事件的概率的求法逐个分析判断即可
【详解】设分别为两个环节第个项目通过，则，且间相互独立，
对于A，竞聘者第1环节考核通过的概率为，
所以A错误，
对于B，由题意可得可能取0，1，2，3，则，
，
，
，
所以，所以B正确，
对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为
，所以C错误，
对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D正确，
故选：BD
13．
【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件；
其中满足的有：，共个基本事件，
所求概率.
故答案为：.
14．
【分析】利用独立事件的乘法公式可得答案.
【详解】若乙射进1次，则他赢的概率为；
若乙射进2次，则他赢的概率为；
若乙射进3次，则他赢的概率为；
故乙赢的概率为.
故答案为：.
15．
【分析】分别求出取到的两个数字之和小于0的取法数，以及在此基础上两个数字之积大于0的取法数，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】从中任取两个不同的数字，取到的两个数字之和小于0的取法为
，，，共有9种，
其中两个数字之积大于0的取法为，共有3种，
所以所求概率．
故答案为：.
16．/0.5
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解.
【详解】事件是互斥事件，且，所以.
故答案为：
17．(1)，合格率为，不需要增加培训的次数
(2)
【分析】（1）根据频数、频率之间的关系即可求得；由频率分布表可计算合格率，即可得结论；
（2）列举出随机选2人所有可能的情况，再确定恰有2人成绩位于的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得.
，
分数在的频率为.
样本中合格率达，估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率达，不需要增加培训的次数.
（2）成绩在有4人，记为，在内有3人，记为，
从成绩位于中的学生中任取2人，有，共21种取法.
恰有2人成绩位于的有共3种取法.
则恰有2人成绩位于的概率.
18．(1)
(2)分布列见解析，3
(3)答案见解析
【分析】（1）甲3次投篮得2分即3次中1次，根据独立事件概率公式即可求解；
（2）由题意得， X的所有可能取值为0，2，4，6，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望；
（3）分别求出甲、乙的期望和方差，然后进行比较大小，根据大小进行分析即可.
【详解】（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为；
（2）由题意知的所有可能取值为，，，，
则，
，
随机变量的分布为，
0 2 4 6
期望；
（3）设甲三次投篮的得分，则，，，，
可求得随机变量的分布为，
0 2 4 6
所以
，
又可算得，
因为，，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.
19．(1)，
(2).
【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式求乙两次都没有命中的概率，列方程求可得结论；
（2）求出甲只有一次命中、乙2次都命中的概率，再求出乙只有一次命中、甲2次都命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．
【详解】（1）设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件，
由已知，，
则乙投球2次均未命中的概率，
由题意得，解得或（舍去），
乙投球次的命中率为.
（2）事件甲、乙两人各投球2次，两人共命中3次，可表示为事件甲只有一次命中、乙2次全部命中，与事件乙只有一次命中、甲2次全部命中的和事件．
而甲只有一次命中、乙2次全部命中的概率为，
而乙只有一次命中、甲2次全部命中的概率为，
故两人共命中3次的概率为．
所以甲、乙两人各投球次，两人共命中次的概率为.
20．(1)，小时；
(2).
【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，结合各小矩形面积和为1求出，再估计一周课外阅读时间的平均数.
（2）求出指定的两组内各抽取的人数，利用列举法、结合古典概率求解即得.
【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得，
平均数
（小时），
所以，200名学生一周课外阅读时间的平均数为小时.
（2）在这两组采用分层抽样的方法抽取6人，
则从课外阅读时间在内的学生中抽取5人，记为，
课外阅读时间在内的学生中抽取1人，记为，
于是有，
共15种，且每种结果的发生是等可能的，
而满足两名组员都在内的情况有，共10种，
所以两名组员全在内的概率为.
21．(1)，
(2)．
【分析】（1）根据评分在的游客人数为18和总人数为50得到，利用频率之和为1得到方程，求出；
（2）根据分层抽样的方法得到评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在的情况，求出概率.
【详解】（1）由题知，，
，解得．
（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在的人数为，
满意度评分在的人数为，
抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，
从5人中随机抽取2人的不同取法为，，共有10种不同取法，
设“2人中恰有1人的满意度评分在”为事件，
则事件包含的取法为，，共有6种不同取法．
．
答案第1页，共2页
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