阶段性综合复习训练（考查范围：第八章、第九章）（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

阶段性综合复习训练（考查范围：第八章、第九章）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．若样本，，，，的平均数为10，方差为20，则样本，，，，的平均数和方差分别为（　　）
A．16，40 B．16，80 C．20，40 D．20，80
6．2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．2017年至2022年该省年生产总量逐年增加
B．2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元
C．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低
D．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%
7．陪伴是最好的亲情．某地政府倡议年轻人平时多陪伴父母，多措并举，创造就业机会，尽量让年轻人在家附近工作．一年后，该地政府对在家附近工作的年轻人进行了调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则样本中位数为（ ）

A．150.5 B．152.5 C．154.5 D．156.5
8．养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速．如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量（单位：百只）的统计图：

则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是（ ）
A．45 B．60 C．80 D．85
二、多选题
9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则与为异面直线
C．若，则 D．若，则
10．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A． B．
C．与成60°角 D．与是异面直线
11．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为（，2，，6），则（ ）
A．x的值为0.0044
B．这100户居民该月用电量的中位数为175
C．用电量落在区间内的户数为75
D．这100户居民该月的平均用电量为
12．为了进一步加强安全教育，增强学生防溺水安全意识，多所学校多角度开展以“珍爱生命、预防溺水”为主题的系列安全教育活动．某校组织了甲、乙两个宣传小组进行暑期宣传，下面是他们一周内宣传活动的频数折线图，则（ ）
A．甲组数据的众数小于乙组数据的众数
B．甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
C．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
D．甲组数据的方差大于乙组数据的方差
三、填空题
13．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 .
14．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为 .
15．若数据，，，的标准差为，则数据的标准差为 .
16．以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：，，则这15人成绩的第80百分位数是 ．
四、解答题
17．如图，正方体中，，点分别是棱的中点.
(1)根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明；
(2)求多面体的表面积和体积.
18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
(1)设平面与直线相交于点，求证：；
(2)若，，，求直线与平面所成角的大小.
19．如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.

(1)求证：平面平面；
(2)若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.
20．某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为，，，…，，九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；
(2)据统计，在样本数据，，的会员中体检为“健康”的比例分别为，，，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.
21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.
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参考答案：
1．C
【分析】由长方体的体积求出，再由基本不等式可求出，再由球的表面积公式计算得到答案.
【详解】设长方体的长、宽、高分别为，
所以长方体的体积为，解得：，
设长方体的外接球的半径为，
所以，即，
即，当且仅当时取等，
所以，
所以其外接球表面积的最小值为.
故选：C.
2．C
【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面平面的位置关系逐一判断各个选项即可.
【详解】A：由，可知、可能平行或相交，A错误；
B：由，，可知、可能平行或异面，B错误；
C：由，，，可知，C正确；
D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误.
故选：C
3．D
【分析】取的中点，作交于点，由线面垂直的判定定理、性质定理可得就是直线与平面所成角，在中计算可得答案.
【详解】如图所示，取的中点为，连接，作交于点，
因为，且，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，点为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以就是直线与平面所成角，
因为，
所以.
故选：D.
4．D
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：当，，，且与相交时，故B错误；
对于C：若，，则或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D
5．B
【分析】根据已知条件，结合平均数与方差的线性公式，即可求解
【详解】因为样本，，，，的平均数为10，方差为20，
所以样本，，，，的平均数，方差为.
故选：B.
6．C
【分析】根据给定的条形图和折线图，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，观察条形图知，2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确；
对于B，2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3（亿元），B正确；
对于C，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度逐年降低，
而2021年该省年生产总量的增长速度比2020年该省年生产总量的增长速度高，C错误；
对于D，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度由小到大排列为：，
因此增长速度的中位数为，D正确.
故选：C
7．B
【分析】先根据频率之和为1求出未知数，再找到频率之和为0.5所在的区间即可根据频率分布直方图进行求解中位数.
【详解】由条件可得，故.
因为，，
所以样本中位数为.
故选：B.
8．C
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】将样本数据从小到大排列为44，45，60，60，80，85，110．
因为，所以第60百分位数是第5个数，即80，
故选：C
9．AD
【分析】运用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可推理A项正确，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可推理D项正确，B , C两项可以通过举反例说明其错误.
【详解】对于A项，因，经过直线可作平面，使，则，因，则，又，故得，即A项正确；
对于B项，若，则与可能相交、平行或异面，故B项错误；
对于C项，若，则或，故C项错误；
对于D项，因，经过直线可作平面，使，则，又，，则，故得，即D项正确．
故选：AD．
10．BCD
【分析】由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系．
【详解】展开图翻折成的正方体如图所示，因为，，因此，所以A错误；同理，，所以，B正确；
或其补角是与所成的角，又△是等边三角形，所以，所以与所成的角是，C正确.
又平面，且与不平行，故与是异面直线，D正确.
故选：BCD.
11．AD
【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A，根据中位数的计算即可求解B，根据频率即可求解C，根据平均数的计算即可判断D.
【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知，
，
解得，故A正确；
对于B，因为，，
所以中位数落在区间内，设其为，
则，解得，故B错误；
对于C，用电量落在区间，内的户数为
，故C错误；
对于D，这100户居民该月的平均用电量为
，故D正确.
故选：AD．
12．ACD
【分析】根据众数、平均数、极差与方差的计算与性质结合折线图判断即可.
【详解】对于A，甲组数据的众数为2，乙组数据的众数为3，A正确．
对于B，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，B错误．
对于C，将甲组数据从小到大排列为2，2，2，3，3，4，5则甲组数据的极差为3，将乙组数据从小到大排列为2，2，3，3，3，4，4，则乙组数据的极差为2，故C正确．
对于D，甲组数据的方差，乙组数据的方差
，D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案.
【详解】由题意可知，，斜边，，∴，
由斜二测画法的规则可知，在中，，，，
∴的面积是，
故答案为：
14．/
【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解.
【详解】如图，连接MC，MA，
则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短，
此时N为AC中点，面，
如图延长至G，使得，连接GM，
则面，且，
所以面，故当三点共线时最小，
此时.
故答案为：.
15．
【分析】根据方差的性质计算可得.
【详解】，，，，的标准差为，
，，，，的方差为，
数据的方差为，则标准差为.
故答案为：
16．90.5
【分析】计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.
【详解】因为，
将数据从小到大排序得56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98，
故这15人成绩的第80百分位数为，
故答案为：90.5.
17．(1)几何体是三棱台，证明见解析
(2)表面积为，体积为
【分析】（1）根据基本事实证明三线共点，从而得几何体是三棱锥，结合三棱台的定义即可判断；
（2）依次求出三棱台的各个面的面积即可求得表面积，再求出三棱台的高，结合台体体积公式求解即可.
【详解】（1）几何体是三棱台，证明如下：
因为点分别是棱的中点，连接，所以，
且，因此四边形是梯形.
延长相交于点，因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面.
因为平面平面，所以，
所以直线相交于同一个点.
所以几何体是三棱锥，
由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，
底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台.
（2）因为，所以，
在等腰梯形中，，高，
所以.
又因为，，
所以三棱台的表面积是.
因为三棱台的高，
所以棱台的体积
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出；
（2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案．
【详解】（1）证明：平面与直线相交于点，平面平面，
四边形是菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
；
（2）连接，取中点，连接、，
菱形中，，，是等边三角形，
是中点，，
平面，平面，，
、平面，，平面．
是直线与平面的所成角，
是中点，，．
平面，平面，，
为中点，，中，，
等边中，高，
中，，
可得，即直线与平面的所成角等于．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）连接，作于，证明平面，再计算即得.
【详解】（1）连接，交于点，由为等边三角形，得是的中心，则，
而平面，平面，则，又平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.

（2）连接，作于，由（1）知平面，平面，则，
而平面，则平面，
显然，，则，
而，于是≌，因此，
所以点到平面的距离为.
20．(1)14.5
(2)0.38
【分析】（1）根据频率分布直方图和总体百分位数的定义直接求解即可.
（2）设任取的会员数据在，，中分别为事件，，，先求出对应概率，即可求解体检为“健康”的概率.
【详解】（1）解：（1）由于在的样本数据比例为：
∴样本数据的70%分位数在内∴估计为：.
（2）（2）设任取的会员数据在，，中分别为事件，，，
∴，，
设事件在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”
.
21．(1)0.30
(2)36000，理由见解析
【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出答案；
（2）计算出月均用水量不低于3吨的频率，进而求出答案.
【详解】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为.
同理在，，，，的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由，
解得.
（2）由（1）知，该市100位居民月均用水量不低于3吨的频率为.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为.
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