广东省广州市实验外语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（PDF版无答案）

2023 学年第二学期高中数学期中考试试卷
高一数学
试卷说明：
本测试分为试题卷和答题卷两部分。试卷共 4 页，答题卷共 2 页。试题卷全卷四大题共
19小题，满分 150分。考试时间 120分钟。
注意事项：
本测试答题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。必须在答题卷上的答题区域作答，在试卷上作
答或非答题区域上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设M {正四棱柱},N {直四棱柱},P {长方体},Q {直平行六面体}，则四个集合
的关系为（ ）
A．M P N Q B．M P Q N
C．P M N Q D．P M Q N
2.复数 z a bi(a 0,a,b R) ，若 (1 i)z为纯虚数，则（ ）
A． a b 0 B． a b 0 C．a 2b 0 D．a 2b 0
3．下列说法正确的是（ ）

A．若 a//b,b//c，则 a//c B．若 a= b，则 2a< 3b

a
C．对任意非零向量 a， 是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
| a |
4．如图， A 'B 'C '是水平放置的 ABC的斜二测直观图， A 'B 'C '为等腰直角三角形，
其中O ' 与 A '重合， A 'B ' 6 ，则 ABC的面积是（ ）
A．9 B．9 2
C．18 D．18 2

5.在 ABC中，点D在边 AB上， BD 2DA，记CA a,CD b，则CB （ ）

A．3a 2b B． 2a 3b C．3a 2b D． 2a 3b
高一数学期中考试试卷 第 1 页
{#{QQABLYCEoggoAIJAABhCQwFQCEGQkBACCIoGRAAIoAIACRFABAA=}#}
6.已知圆锥的表面积为3 ，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A 3 3． B． C． 3 D． 3
3 3
7.在 ABC中， sin(B A) 1 , 2a 2 c 2 2b2 ，则 sinC （ ）
4
2 3 1
A． B． C． D．1
3 2 2

8.在 ABC中，A 1200 , AB AC 3 ，点G是 ABC的重心，则 | AG |的最小值是（ ）
2 6 2 5
A． B． C． D．
3 3 3 3
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知 i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A． i i2 i3 i4 0 B．3 i 1 i
C．若 z (1 2i)2 则复数 z对应的点位于第四象限
D．已知复数 z满足： | z 2i | 3，则 z在复平面内对应的点的轨迹为圆

10．已知向量 a (1, 3),b (cos ,sin )(0 )，则下列命题正确的是（ ）

A 3．若 a b，则 tan
3
1 2
B．若b在 a上的投影向量为 a，则向量 与 的夹角为4 a b 3

C (1 , 3 6 3．若b与 a共线，则b为 ) 或 ( , )
2 2 2 2

D．存在 ，使得 | a b | | a | | b |

11． ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,S 为 ABC的面积，且 a 2, AB AC 2 3S，
下列选项正确的是（ ）
A． A
3
B．若b 3，则 ABC只有一解
C．若 ABC为锐角三角形，则b的取值范围为 (2 3,4)
D．若D为 BC边上的中点，则 AD的最大值为 2 3
高一数学期中考试试卷 第 2 页
{#{QQABLYCEoggoAIJAABhCQwFQCEGQkBACCIoGRAAIoAIACRFABAA=}#}
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为
________.
1
13.已知正方形 ABCD的边长为 2 ，点 P满足 AP (AB AC ) ，则 | PD | ____（2 分），
2

PB PD _______（3 分）．
14.如图，某山的高度BC 300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为150 ，地面上
A处的俯角为 450，若 BAC 600 ，则此无人机距离地面的高度 PQ为_______m．
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本小题 13 分）

已知向量 a,b满足 | a | 1,| b | 2 ，且 (2a b) (a 3b) 5 ．

（1）若 (a kb) (ka b) ，求实数 k的值；

（2）求 a与 2a b的夹角．
16.（本小题 15 分）

在 ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若向量 p (a, cos A),q ( 3b,sin B)

且 p//q．
（1）求角 A的大小；

（2）若3b c 3 ，且3BD BC，求 | AD |．
高一数学期中考试试卷 第 3 页
{#{QQABLYCEoggoAIJAABhCQwFQCEGQkBACCIoGRAAIoAIACRFABAA=}#}
17．（本小题 15 分）
已知复数 z1 sin 2x i , z2 m (m 3 cos 2x)i ( ,m, x R, ) ,且 z1 z2 ．
（1）若 0 且0 x ，求 x的值；
1
（2）设 f (x) ，已知当 x 时， ，试求 cos(4 ) 的值．
2 3
18（本小题 17 分）
已知锐角 ABC的内角 A,B,C a,b,c, 3c的对边分别为 tan A tan B ．
bcos A
（1）求 B；
（2）若 c 4，求 ABC面积的取值范围．
19．（本小题 17 分）
0
如图，在 ABC中，点D为边 BC上靠近 B点的三等分点， ADC 60 ,AD 2 .
（1 0）若 ACD 45 ，求三角形 ABC的面积；
AC
（2）当 最小时，求 BD的长.
AB
高一数学期中考试试卷 第 4 页
{#{QQABLYCEoggoAIJAABhCQwFQCEGQkBACCIoGRAAIoAIACRFABAA=}#}