2024年普通高等学校招生全国统一考试
高三第三次联合诊断检测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合集合若则
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.设复数满足则z的虚部为
A. B. C.3 D.
3.已知一种服装的销售量y(单位：百件)与第x周的一组相关数据统计如下表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则=
x 1 2 3 4 5
y 6 6 3 1
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为
A. B.2π C. D.4π
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人做样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为
A. B. C. .
6.已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0，则f(20)=
A.-1 B.0 C.1 D.±1
7.当点到直线l:的距离最大时，实数λ的值为
A.-1 B.1 C.-2 D.2
8.已知，且，则cos2α=
A. . C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.命题“存在x>0，使得”为真命题的一个充分不必要条件是
A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1
10.已知双曲线C：，则其离心率可能为
A.2 B. . .
11.若函数既有极小值又有极大值，则
A.ab<0 B.a<0 . D.|a-b|<4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若BE=2CE，则_________
13.已知且|lga|=|lgb|，则a+b=_________
14.已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足MA=MD ，且MB=1，则四棱锥体积的最小值为_________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数
(1)当时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
16.(15分)
已知函数 (＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且，求该三角形的周长.
17.(15分)
我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如下图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率；
(3)当设供暖器的噪声不超过(分贝)的概率为，供暖器的热效率不低于x%的概率为，求的取值范围.
18.(17分)
设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知|
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，动点M(异于点A，B)在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
面积的取值范围.
19.(17分)
已知且设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上.表示点A，B间的距离，记集合
(1)若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且
①求二面角C-AD-B的余弦值;
②若，求τ(S).
(2)证明：
参考公式：高三第三次联合诊断检测数学参考答案
一、选择题：
1~4 BACC
5~8 CBBC
第7题提示：：直线1：(3入+1)x+(1+元)y-2-42=0→(x+y-2)+(3x+y-4)2=0,
由x+y-2=0
x=1
3r+y-4=0'解得
=1故直线/恒过点O1,).
当10时点P到1的距离最大：大，=骨分则由长，片=-1程名=法怎之，
入+1
故2=1.
第8题提示：cosa≠0由2sin2a=4cosa-3cos3a→4sina=4-3cos2a→4sinu=4-31-sin2a)
1
7
→3sin2-4sina+1=0解得sind=
(sina1)...cos2a=1-2sina=
9
二、选择题：（正确答案为两个选项的每个选项3分，正确答案为三个选项的每个选项2分，有选错得0分）
9.CD
10.BD
11.ABC
第1题提示：由题意，/=0-4r+b=4+x+0(x>0则有-4r2+x+a=0x>0)有两个根，
x+3=8>0
即有%=异>0→b>0a<0,62+10>0,AB,C正确，取a=-1b=5,满足题
△=b2+16a>0
意，显然a-b>4,D错误.
三、填空题：
2
2.-9
12
4
14.
36
17
第13题提示：由log,a+log:b=l得Vab=2,llgaHlgbab=-l,则有a=4b=4,a+b=
第14题提示：由题意满足MA=MD的点在AD的中垂面上即面ABCD上，
又MB=1,则M点是在以B为球心，半径为1的球面上，所以
M点是在以B为球心，半径为1的球面与平面ABCD的交线
上，即以找段尽C中点O为心，羊径为三的半圆，闪校锥
2
“i带
M-ADD,4的体积最小，此时M点到面4DD4的距离最小，此时OM=
2
则am4g1x0-马=日巨
2)=36
四、解答题：
15.(13分)
解w当a=1卧品0-2品
(x+)2(x+
有∫(0)=1，(0)=0，所以在点(0，(0)处的切线方程为y=1:
…6分
(2)厂6=eC+aC-=C+0=D,所以当x+a-1≥0时，即x之1-a,了单调递增，
(x+a)(x+a)
由题意，则有1-a≤0，所以a≥1.
…13分
16.(15分)
解：(4)由T=2g=7,得0=1，
…2分
2
所以f0)=5sn2x+学，
号+2：≤2x+号号+2r,
2
5n
得函数的州区间为-泛+k红，径+k问《e )：
…6分
a)0=5m24+9-号所w24+写-9解指4=君
…10分
3
AB.AC=cb.
之=2W5,解得bc=4
由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA有：5=b2+c2-4W5,
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=13+4W5=(2W5+1)2,所以b+c=2N5+1,
则周长为a+b+c=2W5+1+5.
…15分
17.(15分)
解：(1)由题意得(0.01+0.03+a+0.06+a+0.02)×5=1,解得a=0.04
(0.008+0.02+b+0.04+0.06+0.04)×5=1,解得b=0.032:
…4分
(2)供暖器的噪声不超过25分贝的概率为0.05，
其热效率不低于90%的概率为0.3+0.2=0.5，
∴每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为0.5×0.05=0.025，
