2024年中考数学二轮专题探究之存在性问题复习讲义（无答案）

课程主题 中考探究之存在性问题
在平面直角坐标系中探究是否存在一点，使此点或与之相关联的点与其他两点或三点构成某个特殊几何图形.这类题不仅要求对平面直角坐标系中函数和特殊三角形或四边形的知识熟练掌握，还要善于挖掘其中隐含的数量关系，对综合运用数学知识解决实际问题的能力要求较高.在平面直角坐标系中，探讨是否存在一些点，使其构成某些特殊图形，有以下常见类型：
(1)构造等腰三角形，通常要考虑以已知的线段“为腰”和“为底”两种情况；
(2)构造直角三角形，要考虑以三个顶点分别为直角三角形的情况；
(3)构造相似三角形，现根据题目的要求确定相似三角形的对应点；
(4)构造平行四边形，①利用点的平移表示点的坐标，代入函数关系式进行求解；
②做出图形，构造三角形全等转移线段长，进而表示点的坐标；③不需作图，只需明确点的大致位置，结合中点坐标公式建立方程进行求解.
考点一 特殊三角形存在性问题
【例1】在平面直角坐标系xOy中,已知A(0, 2), 动点 P在 的图象上运动(不与O重合)，连接AP. 过点P作PQ⊥AP, 交x轴于点Q, 连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围；
(2)试问：点P运动的过程中，∠QAP 是否为定值 如果是，求出该值；如果不是，请说明理由；
(3) 当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.
考点二 特殊四边形存在性问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点 C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当 时，求点D的坐标；
(3)已知E、F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当B、O、E、F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.
【例2】如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，( , 连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 .
(3)点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和 BE.求 面积的最大值及此时点 E 的坐标；
(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
考点三 相似三角形存在性问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是等腰梯形， , BC在x轴上, 点A在y轴的正半轴上, 点A、D的坐标分别为A(0, 2)、D(2, 2), 连接AC.
(1)求出直线AC的函数解析式；
(2)求过点A,C,D 的抛物线的函数解析式;
(3) 在抛物线上有一点P(m, n)(n<0), 过点P作PM垂直于x轴, 垂足为M, 连接PC, 使以点C, P, M为顶点的三角形与Rt△AOC相似, 求出点P的坐标.
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 的图象经过点A(-2, 0), C(0, -6)，其对称轴为直线，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若直线 将 的面积分成相等的两部分，求m的值；
(3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点 D是直线 2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线. 2 右侧.若以点 E 为直角顶点的 与 相似，求点E的坐标.
一、选择题
1. 如图, △ABC中, AB=20cm, AC=12cm, 点P从点B 出发以3cm/s的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点 C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点.也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )
A. 2.5s B. 3s C. 3.5s D. 4s
2. 如图, 在直角梯形ABCD中, AD∥BC,∠ABC=90°, AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
3. 如图, 已知线段AB=4, O是AB的中点, 直线l经过点O, ∠1=60°, P点是直线l上一点, 当△APB为直角三角形时，则BP= .
三、解答题
4. 如图所示，二次函数 的图象与一次函数的图象交于 A、B两点，点B 在点A 的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中
(1) 求A、B两点的横坐标;
(2)若 是以OA 为腰的等腰三角形，求k的值；
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得 ，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
5. 如图1, 在△ABC中, 点D为BC边上的动点(点D不与点B, C重合). 以D 127为顶点作 射线DE交AC边于点E, 过点A作AF⊥AD交射线DE于点F, 连接CF.
(1) 求证:
(2) 当DE∥AB时(如图2), 求AE的长;
(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF 若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由，
6. 如图,抛物线 与x轴交于A、B两点, B点坐标为(3, 0), 与y轴交于点C(0, 3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线. 与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值;
(3)点D 为抛物线对称轴上一点.当△BCD 是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标.
7. 已知抛物线 与x轴分别交于A(-3, 0), B(1, 0)两点, 与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点 D的坐标；
(2) 点F是线段AD 上一个动点.
①如图1, 设 当k为何值时，
②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似 若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由.
如图,抛物线 经过点A(-2, 0), B(4, 0)两点, 与y轴交于点 C, 点D是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为 连接AC, BC, DB, DC.
(1)求抛物线的函数表达式；
的面积等于 的面积的 时,求m的值;
(3)在 (2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，顶点为M的抛物线 与x轴交于A(3, 0), B(-1, 0)两点, 与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
(3) 若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设 的内心为I，试求 CI的最小值.
如图，已知抛物线 的顶点为A(4,3),与y轴相交于点. 对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P,Q两点的坐标.
如图1, 的三个顶点A、O、B分别落在抛物线 的图象上，点A的横坐标为 点B的纵坐标为 (点A在点B的左侧)
(1) 求点A、B的坐标;
(2) 将 绕点O逆时针旋转 得到 抛物线 经过 A'、B'两点,已知点M为抛物线 的对称轴上一定点，且点A恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求 的面积；
(3) 如图2, 延长OB'交抛物线 于点C,连接. 在坐标轴上是否存在点 D，使得以A、O、D为顶点的三角形与 相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.