2.3 三角函数的叠加及其应用——诱导公式与旋转 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
北师大版高中必修二数学课件
诱导公式与旋转
CONTENTS
目录
新课导入
拓展延伸
课堂小结
新课探究
1
4
3
2
新课导入
第一部分
温故知新
学习目标
1. 根据角的终边的旋转关系，推导并掌握对应的诱导公式. （重点）
2. 对所有诱导公式进行综合应用. （难点）
新课探究
第二部分
课文精讲
观察图，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转 得到点P′，即α+ 的终边与单位圆交于点P′.
由平面几何知识可知:
点P′的坐标为(-v ，u).所以点P的横坐标cosα与点P′的纵坐标sin相等，即
sin(α+ )=cosα；
点P的纵坐标sinα与点P′的横坐标cos的绝对值相等且符号相反，即
cos=-sinα.
以上结论对任意角α都成立，即对任意角α，有
sincosα；
cos=-sinα.
可以实现正余弦的相互转换
记忆口诀“函数名改变，符号看象限”
例1：证明：
sin=-cosα，
cos=sinα.
证明：设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v).由图可知，点P的横坐标cosα与点P′的纵坐标sin的绝对值相等且符号相反，即sin=- cosα.
例1：证明：
sin=-cosα，
cos=sinα.
证明：点P的纵坐标sin 与点P′的横坐标
cos 相等，即cos=sinα.
以上结论对任意角都成立，即对任意角，有
sin=-cosα，cos=sinα.
例1：证明：
sin=-cosα，
cos=sinα.
可以实现正余弦的相互转换
记忆口诀“函数名改变，符号看象限”
抽象概括
sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα
sin(-α)=-sinα cos(-α) =cosα
sin(α+π) = sin(π+α) =-sinα
cos(α+π) = cos (π+α) =-cosα
sin(α-π) = -sinα cos(α-π) = -cosα
sin(π-α) = sinα cos (π-α) = -cosα
抽象概括
sin sincosα
coscosα
sin=cosα
cos=sinα
通常称上述公式为正弦函数、余弦 函数的诱导公式.
六组诱导公式
2kπ+a（k∈Z） a-π -a π-a -a +a
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
角
函数
六组诱导公式
①诱导公式都是α的三角函数与k·±α的三角
函数之间的转化.
记忆口诀:奇偶不变，符号看象限.
六组诱导公式
②“奇变偶不变”：α角前面的是k·±α ，如
果k是奇数，那么得到的三角函数名
称要发生变化，正弦变余弦，余弦变正弦；
如果k是偶数，那么三角函数名称不
发生变化.
六组诱导公式
③“符号看象限”:将α角看成一个锐角(只是为了判断符号将α角看成锐角，这个角并不一定是锐角)，此时判断k·±α(k∈Z)所在的象限，并观察三角函数对这个角运算得到的符号是正还是负.
六组诱导公式各有什么作用？
sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα
sin(α+π) =-sinα
cos(α+π) =-cosα
sin(-α)=-sinα
cos(-α) =cosα
将角化为0~2π内的角求值
将0~2π内的角转化为0~π内的角求值
将负角转化为正角求值
六组诱导公式各有什么作用？
sin(π-α) = sinα
cos (π-α) = -cosα
sincosα
cosα
sin=cosα
cos=sinα
将~π内的角转化为0~内的角求值
实现正弦与余弦的相互转化
至此，我们在平面直角坐标系中，对角的终边经过对称或旋转得到了诱导公式.我们
发现， 是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π，2kπ(k∈Z)又都是 的整数倍；还有，中心对称也可以用旋转π表示.于是，我们试图用旋转 的整数倍来分析诱导公式.
1.先分析，α+π，α-π，α+2kπ(k∈Z)
(1)可以看作角α的终边旋转了；
(2)可以看作角α的终边旋转了的2倍；
(3)与 α+π的终边重合，其三角函数值均相
等；
(4)可以看作角α的终边旋转了的4k倍
(k∈Z).
2.再先分析和π-α
(1)显然， 也就是- ，与的终边重合，其三角函数值均相等，即求的三角函数时，可以将看作角的终边旋转了的3倍；
(2) π-α也就是-(α-π).
2.再先分析和π-α
综上所述，除了关于-的诱导公式sin(-)= -sin和cos(- )=cos，对于其他诱导公式中的角，都可以看作+，其中n =1，2 ， 3 ，4k(k∈Z).
只需注意，关于和- 的诱导公式，在做了+和α-π的公式变化之后，还要借助于- 的诱导公式·
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个
是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定.
由于我们比较熟悉锐角三角函数，诱导公式的一个重要作用是将不是锐角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数问题.
课堂小结
第三部分
典型例题
例1：求下列函数值：
(2) sin
(3)
sin
解： (1) sin= sin
= sin=
= cos =.
sin cos+ sin cos
例1：求下列函数值：
(2) sin
(3)
sin
解： (2) sin = - sin
= -
=（） = =.
sin cos+ sin cos
例1：求下列函数值：
(2) sin
(3)
sin
解： (3) sin cos+ sin cos
sin cos+ sin cos
=sin cos+ sincos
=sin cos+
=2××=.
例2：化简：
解：原式=
=
=1.
拓展延伸
第四部分
综合练习
已知=，则=______.
解：∵= +π，
∴sin[+π]
=sin .
-
已知f()=
.
(1)若=，求f()的值；
(2)若为第三象限角，且cos =，求f()
的值.
已知f()=
解： (1) 由于f()=
.
(1)若=，求f()的值；
=
又=，所以f()=
==.
已知f()=
解： (2) ∵cos =sin =，
∴sin=，
.
(2)若为第三象限角，且cos =，求f()
的值.
又∵为第三象限角，
∴ cos=，f()=.
北师大版高中必修二数学课件
诱导公式与旋转