吉林地区普通高中 2023—2024 学年度高三年级第四次模拟考试 根据函数 y 2 sin(2x ) 与函数 y 2x 3图象的公共点个数即可判断（＊）式的根的个数.
4
教学延伸：思考过点 (1，0)能作几条与函数 f (x) x tan x图象相切的直线？
数学试题参考答案
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．其中第 14 题的第一个空填对得 2 分，第二个
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 空填对得 3 分．
3
1 2 3 4 5 6 7 8 (0, )12． 8 13． 3
A C D C B D B C
（注：表示成 0 3 也可以）
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分 3
分，有选错的得 0 分． 14． 6 3 ； 27
9 10 11 14题教学提示：
ACD ABD BCD 可以将该组合体嵌入到正方体内进行研究（如图所示）.
该组合体外接球半径为正方体的外接球半径．
11题 C 选项教学提示： 两正交四面体公共部分内切球半径为正八面体的内切球半径，
f (x) x tan x
2 也是正四面体的内切球半径．
法一：因为 y tan x k k k x的对称中心为 ( ,0) (k Z ) ，且 ( , ) (k Z ) 是 y 的对称中心， 四 、解答题 （14题图）
2 2 4 2 15．【解析】
故 f (x) k 的对称中心为 ( , k ) (k Z ) .
2 4 解：（Ⅰ）当 n 1时， 2S1 3a1 m，
x 2a x
法二： f (x) f (2a x) tan x tan(2a x) a [tan x tan(2a x)]
2 2 ∵S1 a1， 2a1 3a1 m ，
当 2a k (k Z ) k 即 a (k Z )时， f (x) f (2a x) a
2 m a1 1 ········································································································ 2 分
f (x) (a , a ) (k , k 故 的对称中心为 ，即 ) (k Z ) .
2 2 4 当 n 2时， 2an 2Sn 2Sn 1 3an 1 (3an 1 1) ，
D 选项教学提示：
设过点 (2,0)的直线与曲线 y f (x) 相切于点 a
整理得 a 3a ，∵a 0 nx n n 1 1 3，
P(x , 00 tan x0 )，则切线方程为 an 12
x
y ( 0 tan x ) ( 1 1
数列{an }是以1为首项， 3为公比的等比数列，
0 2 )(x x )，2 2 cos x 00
a 3n 1n ．··········································································································· 5 分
代入 (2,0)得 2 sin(2x 0 ) 2x0 3（＊）4 （Ⅱ）法一：
高三数学试题答案 第 1 页 （共 7 页）
∵bn an log3an 1 3
n 1 log 3n3 n 3
n 1 ····································································· 7 分 （Ⅰ）当a 0时， f (x) x 2e x (x R)
T 1 30 2 31 3 32 (n 1) 3n 2n n 3
n 1 ① f (x) (x 2 2x)e x x(x 2)e x ················································································ 2 分
3T 1 31 2 32 3 33 (n 1) 3n 1 n 3nn ②·······································9 分 令 f (x) 0得 x 0或 x 2 ，当 x变化时， f (x) 与 f (x)变化如下表：
① ②得
2T 30 1 2
x ( , 2) ( 2,0) 0 (0, )
n 3 3 3
n 2 3n 1 n 3n 2
n f (x) 0 0 1 (1 3 )
n 3n
1 3 f (x) 4单调递增 单调递减 0 单调递增
1 (1 2n) 3n 2
e
2 2 ····························································································································· 4 分
T 1 (2n 1) 3
n
n ．··························································································13 分
4
故当 x 2 时， f (x)取得极大值 ；当 x 0时， f (x)取得极小值 0．··························· 分
4 4 e 2
6
法二：
（Ⅱ） f (x) [x 2 (2 a)x 2a]e x (x 2)(x a)e x ， x 0
∵bn an log a 3
n 1
3 n 1 log
n
3 3 n 3
n 1 ····································································· 7 分
∵ x 0 x 2 0
设 bn (An B) 3
n [A(n 1) B] 3n 1 (2An A 2B) 3n 1 令 f (x) 0，则 x a，当 x变化时， f (x) 与 f (x)变化如下表：
2A 1且 A 2B 0
1 1
，解得 A ,B ．
2 4 x (0,a) a (a , )
1
bn ( n
1
) 1 1 3n [ (n 1) ] 3n 1 ······································································· 9 分
2 4 2 4 f (x) 0
（注：此处没有过程，直接写出bn 形式不扣分） f (x) 单调递减 aea 单调递增
即 bn c c ，其中 c [
1 (n 1) 1 ] 3n 1n 1 n n 2 4
故 f (x) amin f (a) ae ．······················································································ 10 分
Tn b1 b2 bn a
(c2 c1 ) (c3 c2 ) (cn 1 cn ) 要证当 0 a 1， x 0时， f (x) ． a 1
cn 1 c1 法一：
(n 1 ) 3n 1 0 a 1 a2 4 4 只需证当 时， ae
a 即 (1 a)ea 1（＊）·············································· 12 分
a 1
(2n 1) 3n 1
a a
4 4 令 g(a) (1 a)e ， 0 a 1，则 g (a) ae 0， g(a)在 (0,1)上单调递减
n
T 1 (2n 1) 3n ．··························································································13 分 故 g(a) g(0) 1 ，即（＊）式成立，原不等式成立．··················································· 15 分4 4
（注：利用错位相减法求数列的和，若直接套用公式没有过程给 2 分.） 法二：
16．【解析】
高三数学试题答案 第 2 页 （共 7 页）
0 a 1 ae a a 1 16只需证当 时， 即 ea 0 （＊）·············································12 分 （注： r计算得出 ，但未得出 0.94或其它数值，扣 1 分．）
a 1 a 1 17
1 2 a 5
令 h(a) ea ， 0 a 1 h (a) ea 1 (a 1) e 1 ，则 (x x)( y y)
a 1 (a 1)2 (a 1)2 i ib i 1 160(ⅱ) 5 16
2 a 2 a (xi x)2
10
令m(a) (a 1) e 1， 0 a 1，则m (a) (a 1)e 0 i 1
m(a) 在 (0,1)上单调递减． 5 5
∵ ( y y)2i y 2i 5y 2 4890 5 y 2 2890 m(a) m(0) 0， h (a) 0 i 1 i 1
h(a) 在 (0,1)上单调递减， h(a) h(0) 0 y 20
即（＊）式成立，原不等式成立．··············································································15 分 a y b x 20 16 3 28
17．【解析】 经验回归方程为 y 16x 28 ···············································································13 分
（Ⅰ） 的所有可能取值为1， 2， 3
2 当 x 10时， y 16 10 28 132
P( 1) C 2 12 C4 6 故估计第10天有132 名消费者参与抽奖．·································································15 分
P( 2) (1 1) C
2
2 1 （教学建议：本次考试 r ,b均给出两个公式，但教学中要求学生会由公式一推导得出公式二）
6 C 25 12 18．【解析】
1 1 3 （Ⅰ）法一：P( 3) (1 ) (1 ) （或 P( 3) 1 1 1 3 ）
6 10 4 6 12 4 取弧BC 中点H ，则OH BC ．以O为坐标原点，
的分布列：
1 2 3 以OB,OH ,OO1所在直线
1 1 3
P
6 12 4 分别为 x轴， y轴， z轴
E( ) 1 1 2 1 3 3 31 ．··········································································· 6 分 建立如图所示空间直角坐标系.
6 12 4 12
x 1 2 3 4 5
连接OA，在 ABC 中， BC 4，
（Ⅱ）(ⅰ) 3
5
AB AC 2 2 ，OB OC，
5 5 2
(x 2i x) 4 1 0 1 4 10 2（注：也可由 xi 5x 得出） 则 AO BC ， AO 2，
i 1 i 1
易得O(0,0,0)， A(0, 2,0)，B(2,0,0) ，C( 2,0,0)，D( 2,0,1)
5
(xi x)( yi y) ······················································································································· 2 分
r 160 16 i 1 0.94
5 5 10 2890 17 设F (x , y ,0)，则G(x, y,1) ，其中 x 2 y 2 4, y 0 ，
(x x)2i ( y y)2i
i 1 i 1
CG (x 2, y,1)，BF (x 2, y,0) ，
y与 x线性相关程度很强．················································································· 10 分
高三数学试题答案 第 3 页 （共 7 页）
法二：
有CG BF x 2 4 y 2 0 ， CG BF ，
（Ⅰ）取弧 BC 中点H ，则OH BC ．以O为坐标原点，以OB,OH ,OO
所以CG BF ．································································································ 5 分 1
所在直线
分别为 x轴， y轴， z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
（Ⅱ）因为 BE 平面 ABC ， AC 平面 ABC ，所以 BE AC ，
AB 2 AC 2 BC 2 AB AC AB BE B 连接OA，在 ABC 中， BC 4， AB AC 2 2 ，OB OC，则 AO BC ， AO 2，又∵ ，∵ ∩ ，
则O(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C( 2,0,0)， D( 2,0,1) ， A(0, 2,0)，
所以 AC 平面 ABE ，所以 AC ( 2,2,0) 为平面 ABE 的一个法向量. 设 BOF ， 0 ，
有 F (2cos ,2sin ,0) ，G (2cos ,2sin ,1)，
DF ( x 2, y , 1) ，∵DF // 平面 ABE DF AC 2 x 4 2 y 0 ，
CG (2cos 2，2 sin ，1) ，
2 2 x 0又 x y 4, y 0 ，解得 ，y 2 BF (2cos 2，2 sin ，0)，
此时 F (0,2,0) ，G (0,2,1) ··················································································· 9 分 有CG BF 4cos2 4 4 sin2 0， CG BF
设 n (a,b,c)是平面FOD的法向量. 所以CG BF ．································································································ 5 分
n OF 2b 0
则 ，取a 1，则 b 0 ， c 2 ， （Ⅱ）OD ( 2,0,1) ，OG (2cos ,2sin ,1) ，
n OD 2a c 0
因为 BE 平面 ABC ， AC 平面 ABC ，
则 n (1,0,2)是平面FOD的一个法向量. 所以 BE AC ，
又因为 AB AC ， AB ∩BE B，
设m (e, f , g)是平面GOD的法向量. 所以 AC 平面 ABE ，
所以 AC ( 2,2,0) 为平面 ABE 的一个法向量. m OG 2 f g 0
则 ，取 e 1，则 f 1， g 2 ，
m OD 2e g 0 DF (2cos 2,2sin , 1) ， DF AC 4cos 4 4sin 0
则 n (1, 1,2)是平面GOD的一个法向量.······························································ 11 分
得 sin cos 2 sin( ) 1，由 0 ，得 ，
4 2
则平面FOD与平面GOD | n m | 30夹角的余弦值为 ··········································13 分 此时 F (0,2,0) ，G (0,2,1)
6 ··················································································· 9 分| n ||m |
可得 n (1,0,2)是平面FOD的一个法向量.
（Ⅲ）OD ( 2,0,1)，OG ( x , y ,1) ，
2 OG OD (1 2x)2 m (1, 1,2)是平面GOD的一个法向量（注：此处法向量的求解过程参照法一）·········· 11 分2
则点G到直线OD的距离 d OG ( ) 5 5 ···························· 15 分OD
则平面FOD与平面GOD | n m | 30夹角的余弦值为 ．·······································13 分
1 1 15 | n ||m |
6
当 x 时，即 F 的坐标为 ( , ,0) 时，点G到直线OD的距离取最大值为 5 .····· 17 分
2 2 2 （Ⅲ）OD 5 ，OG (2cos ,2sin ,1) ，OD ( 2,0,1) ，
高三数学试题答案 第 4 页 （共 7 页）
2 2 所以OD 平面 FOM ，
则点G OG OD到直线OD的距离 d OG ( )2 5 (1 4cos ) ························15 分
5 又OM 平面FOM ，OD
所以OM OD ，
所以 FOM 为二面角F OD G的平面角．·······················································11 分
1 1 15
当 cos 时，即 F 的坐标为 ( , ,0) 时，
4 2 2 V 6根据 D OFG VF ODG 可求得 FM ，3
点G到直线OD的距离的最大值为 5 ．······························································· 17 分
6
在 FOM 中， FM ，OF 2 ， FM OM ，
法三： 3
（Ⅰ）连接FC ，因为F 在以O为圆心的半圆弧BC 上，
FM 6 2 30
所以FC BF 可得 sin FOM ，则 cos FOM 1 sin FOM ．···································································································2 分 OF 6 6
因为FG 是半圆柱的母线，所以FG 平面 ABC ，又BF 平面 ABC ，
30
所以FG BF ，又FG ∩FC F ， 所以平面FOD与平面GOD夹角的余弦值为 ．················································ 13 分6
所以BF 平面FCG， （Ⅲ）在 DOG 中，OG OD 5 ，设点G到直线OD的距离为 d，
因为CG 平面FCG，
有 S 1 OD OG sin DOG 1 d OD
所以CG BF ．······························································································ 5 分 ODG 2 2
（Ⅱ）若DF // 平面 ABE ，则F 在以O为圆心的半圆弧BC 的中点处 ．
当OG OD 时，即CF 10 ,BF 6 时（注：未指出 F 或G 位置不扣分），
证明如下：
因为DC // BE ， DC 平面 ABE ，BE 平面 ABE ，
S 1 5 ODG 取得最大值为 OD OG ，所以DC // 平面 ABE ， 2 2
又 DF // 平面 ABE ， DF ∩DC D， 2S
此时 d ODG 取得最大值 5 ，
所以平面DCF // 平面 ABE ， OD
又平面 ABC ∩平面DCF CF ，
ABC ABE AB 所以点G到直线OD的距离的最大值为 5 ．························································· 17 分平面 ∩平面 ，
所以CF // AB，又 ABC ， （注：以O为坐标原点，OC ,OA,OO1所在直线4
分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的空间直角
所以 FCB ，又OF OC，所以OF BC ，
4 坐标系.
即点F 在以O为圆心的半圆弧 BC 的中点处. （注：没有证明过程只给 1 分）··············· 9 分
则 n (1,0, 2)是平面FOD的一个法向量.
过点F 作平面GOD的垂线，垂足为M，连接MO ，
因为CD 平面 ABC ，OF 平面 ABC ，
CD OF m (1, 1, 2)是平面GOD的一个法向量．）所以 ，
又OC OF ，CD∩OC C，
所以OF 平面DOC ，∵OD 平面DOC ，所以OF OD ，
又 FM 平面GOD ，OD 平面GOD，
所以 FM OD ，又FM ∩OF F ， 19．【解析】
高三数学试题答案 第 5 页 （共 7 页）
解：（Ⅰ）由题可知，直线族mx ny 1 0(m，n R)与圆O : x 2 y 2 16 相切 直线 PB的方程为 2x2x 8 y x
2
2 0 ②
即圆心O(0,0) 到直线族mx ny 1 0的距离为 4 x x x x x x x x
由①②得： x 1 2 , y 1 2 P( 1 2 , 1 2 ) ·············································· 13 分
1 2 8 2 8
4 ····································································································· 2 分 设直线 AB的方程为 y kx t
m 2 n 2
y kx t
1 由 得 x 2 8kx 8t 0
m,n满足的关系式为m 2 n 2 ．········································································ 4 分 x 2 8 y16
2
（Ⅱ）∵点M (x0，y0 )不在直线族Φ：2 x 8 y
2 0( R) 64k 32t 0 的任意一条直线上
x1 x2 8k ， x1x2 8t
则对 R，方程 2 2 x0 8 y0 0 无解 P(4k , t ) ············································································································15 分
x 2 ∵P(4k , t )在直线 x 4 y 8 0上 4k 4t 8 0 即 t 2 k
4x 20 32 y
0
0 0, y0 8 直线 AB的方程 y k(x 1) 2过定点 (1,2)
x 2
1
当 k 时，原点O到直线 AB距离的最大值为 2 2 ．0 2 1 5 ······························· 17 分即 y0 的取值范围为 ( , ) ．·················································································· 7 分 28 法二：
2
猜想：直线族Φ E y x的包络曲线 为 ．（注：没有证明过程只给 2 分）···························8 分 设 A(x1 , y1 )，B(x2 , y2 )
8
证明如下：
由（Ⅱ）知，直线 PA的方程为 x1 x 4 y 4 y1 0，直线2 PB的方程为 x2 x 4 y 4 y2 0
E y x Q(u, u
2
①设曲线 : 上任意一点 )
8 8 x a 4b 4 y 0
x u 设 P(a,b)，则
1 1
y' E Q ∵ 曲线 在点 处的切线斜率为 x a 4b 4 y 0
4 4 2 2
u 2E Q y u 曲线 在点 处的切线方程为 (x u)，即 2ux 8 y u 2 0 A,B两点满足上述方程
8 4
直线 AB的方程为 ax 4 y 4b 0 ·········································································· 15 分
令 u，则切线方程为 2 x 8 y 2 0
又∵P 在直线 x 4 y 8 0上 a 8 4b
即曲线 E 上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
2x y b(x 1) 0 即直线 AB过定点 (1,2)
x 2 2
② R，直线族Φ：2 x 8 y 2 0中的每条直线都是曲线 E : y 在点 ( , )处的切线． 当 a 2时，原点O到直线 AB距离的最大值为 22 12 5 ．·································17 分
8 8
2
综上①②，直线族Φ的包络曲线 E y x为 ．···························································· 11 分 法三：
8
（Ⅲ）法一： 设点 P(a,b)，则 a 4b 8 0
2 2
设 A(x1 ,
x1 )， B(x , x22 ) ， P(x , y)
由题意可知，过点 P(a,b)与曲线 E 相切的直线斜率存在，
8 8
故可设直线方程为 y b k(x a)
由（Ⅱ）知，直线 PA的方程为 2x 21x 8 y x1 0 ①
高三数学试题答案 第 6 页 （共 7 页）
y b k(x a) x 2
由 2 联立得 kx b ka 0
x 8 y 8
k 2 1 (ka b) 0 且 x 4k 2k 2 ak b 0
2
设直线 PA, PB的斜率分别为 k1 ,k2 ，则 k1 ,k2 是方程 2k 2 ak b 0的根
a 2 8b 0
k a b则 1 k2 ,k1k2 2 2
由题意可知，直线 AB的斜率一定存在，
2 2 x x
设直线 AB的方程为 y c x d，设 x xA(x 11 , ),B(x ,
2 ，则 1 2
8 2
) k1 ,k 8 4 2 4
y c x d
由 2 联立得： x
2 8cx 8d 0
x 8 y
64c 2 32d 0
则 x1 x2 8c, x1x2 8d
则 k1 k
x1 x2 a
2 2c ,k k
x x d b
1 2
1 2
4 4 2 4 4 2 2
a 4c,b d P(4c, d ) ······················································································ 15 分
∵a 4b 8 0 4c 4d 8 0 即 d 2 c
直线 AB的方程为 y c(x 1) 2 过定点 (1,2)
当 c 1 时，原点O到直线 AB距离的最大值为 22 12 5 ．································17 分2
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数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知命题，则命题的否定为
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3．如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，一直
以来是吉林市的重要地标之一，时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时
钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成的角的最大值为
A． B． C． D．
4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震
时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.
年月日，斐济附近海域发生里氏级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿
克苏地区发生里氏级地震的
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．或
6．越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，两个地区分别有，
的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为．若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为；若此人参加户外极限运动，则此人来自地区的概率为，那么
A． B．
C． D．
7．已知的三个内角的对边分别为，，，，，
则线段的长为
A． B． C． D．
8．如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和
半圆组成，过的左焦点作直线与
曲线仅交于，两点，过的右焦点作直线与曲线仅
交于，两点，且，则的最小值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则
A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种
B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为
C．抽出的产品中至少有1件是次品的概率为
D．抽出的产品中次品数的数学期望为
10．已知在公差不为的等差数列中，，是与的等比中项，数列的前
项和为，且，则
A． B．，
C． D．，
11．已知函数，则
A．函数一个周期是
B．函数递减区间为
C．函数有无数多个对称中心
D．过点作曲线的切线有且只有一条
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分．
12．已知随机变量，，满足，，则 ．
13．已知函数，将函数的图象向右平移个单位得到函数的
图象，点是函数与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是 ．
14．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合
而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）．
如图，若正四面体棱长为，则该组合体的表面积为 ；该组合体
的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求实数的值和数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
16．（本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）求证：当，时，．
17．（本小题满分15分）
某商场为庆祝开业周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的个黄球和个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束．
（Ⅰ）现某消费者一次性消费元，记其参加抽奖的次数为随机变量，求的分布列
和数学期望；
（Ⅱ）随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，表示第天参加抽奖
活动的人数，该商场对活动前天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下：
第天
人数
经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．
(ⅰ)计算相关系数，并说明与的线性相关程度的强弱；（结果精确到）
(ⅱ)请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计第天
参加抽奖的消费者人数．
附：①相关系数：
最小二乘估计分别为：
②参考数据：．
18．（本小题满分17分）
如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，，．
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到直线距离的最大值.
19．（本小题满分17分）
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为的直线族. 直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（Ⅰ）若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
（Ⅱ）若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.
命题人：高三数学核心组
★ 保密·启用前 ★
高三数学试题
