四川省资阳市2023年中考数学真题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．（2023·资阳）的相反数是（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
2．（2023·资阳）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·资阳） 毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（ ）
A．4.89×106 B．4.89×105 C．0.489×107 D．48.9×105
4．（2023·资阳） 下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．2a2 3b＝6ab D．（a3）2＝a5
5．（2024九下·高州月考）某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试.小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．4.8，4.74 B．4.8，4.5 C．5.0，4.5 D．4.8，4.8
6．（2023·资阳） 数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．
7．（2023·资阳）体重指数（BMI）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高1.70米，体重70千克，则小张的体重状况是（ ）
体重指数（BMI）的范围 体重状况
体重指数＜18.5 消瘦
18.5≤体重指数≤23.9 正常
23.9＜体重指数≤26.9 超重
体重指数＞26.9 肥胖
A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖
8．（2023·资阳） 下列说法不正确的是（ ）
A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根
B．若△A'B'C'由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
9．（2023·资阳） 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝120°，AD＝厘米，AB＝厘米，点P从点D出发以每秒厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A．设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·资阳） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2023·资阳） 使代数式有意义的x的取值范围是 ．
12．（2023·资阳） 在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是 ．
13．（2023·资阳） 如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝ ．
14．（2023·资阳） 计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为0×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝91．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ．
15．（2023·资阳） 如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（2023·资阳） 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·资阳）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
18．（2023·资阳） 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图 ；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
19．（2023·资阳） 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？
20．（2023·资阳） 如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．
（1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径．
21．（2023·资阳） 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，m）和点B，与y轴交于点C．直线x＝4经过点B与x轴交于点D，连结AD．
（1）求k、b的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
22．（2023·资阳）如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°，飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为60°，飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为60°．已知OA＝千米．（A、B、C、O、M、N在同一竖直平面内）
（1）求O、B两点之间的距离；
（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（≈1.414，结果精确到0.01）
23．（2023·资阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分别交BD、BC于点G、H．
（1）求证：AE＝BC；
（2）探究AF与CF的关系，并说明理由；
（3）若AD＝8，CD＝6，求OG的长．
24．（2023·资阳） 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：A
【分析】根据相反数的定义结合题意求出有理数的相反数即可求解。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；由题意得几何体的俯视图是，
故答案为：B
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意画出俯视图即可求解。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得数489万用科学记数法表示为4.89×106
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的定义结合题意表示数据489万即可求解。
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：、与不能合并，不符合题意；
、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项、平方差公式、单项式乘单项式、幂的乘方结合题意对选项逐一运算即可求解。
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵4.8在这组数据中出现了2次，是出现次数最多的数据，
∴4.8是这组数据的众数；
把这组数据从小到大排列：4.5，4.6，4.8，4.8，5.0，中间的数据是4.8，
∴这组数据的中位数是4.8.
故答案为：4.8，4.8.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合题意即可求解.
6．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵ 数轴上点A到原点的距离为，
∴点A所表示的数是或
故答案为：C
【分析】根据无理数在数轴上的表示结合题意即可求解。
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得小张的体重指数为：，
，
小张的体重状况是超重．
故答案为：C
【分析】根据题意计算小张的体重指数，进而即可求解。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；平行线的性质；旋转的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：、方程，△，故方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；
、若△由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，B不符合题意；
、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，C不符合题意；
、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根的判别式、旋转的性质、作图-垂线、平行线的性质结合题意对选项逐一判断即可求解。
9．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，厘米，
（厘米）．
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：（秒．
当点在上时，．故排除．
当时，点在点处．过点作于点．
．
，
．
厘米，
（厘米），
（厘米）．
的面积（平方厘米）．
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质得到（厘米）．进而即可求出点走完所用的时间为：（秒，从而排除C，当时，点在点处．过点作于点，进而结合题意解直角三角形即可得到（厘米），从而得到AE，再根据三角形的面积即可求解。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可得，
，，，
，故①正确，
抛物线的对称轴为直线，且过点．
，，
，
，故，故②正确，
当时，取得最小值，
，即为任意实数），故③错误，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
若点，、，是图象上任意两点，且，
，故④正确；
故答案为：C
【分析】先根据二次函数的图象得到，，，进而即可判断①；再根据二次函数的对称轴结合题意即可得到，，进而即可判断②；根据二次函数的最值即可得到，即为任意实数），从而即可判断③；再根据二次函数的性质结合题意即可判断④。
11．【答案】x≥6
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可得到x-6≥0，进而即可求解。
12．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意得取到黄球的概率是，
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率结合题意进行计算，进而即可求解。
13．【答案】35°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
故答案为：35°
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合题意根据外角的性质即可求解。
14．【答案】73
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由二进制和十进制的互换规则得：．
故答案为：73．
【分析】根据二进制和十进制的互换规则结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的外接圆与外心；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接、，如图所示：
边长为6的正三角形内接于，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接并延长交于点，连接、，先根据圆内接三角形的性质结合等边三角形的性质得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意解直角三角形（含30°角的直角三角形）得到，从而即可求出AD，再根据即可求解。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点作，交延长线于点，取的中点，连接，，，如图所示：
等边三角形的边长为2，
，，
由翻折可知：，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
当、、三点共线时最大，最大值为．
故答案为：．
【分析】过点作，交延长线于点，取的中点，连接，，，先根据等边三角形的性质得到，，进而根据折叠的性质得到，，从而得到，再结合含30°角的直角三角形解直角三角形得到，从而运用勾股定理求出DE，进而即可求解。
17．【答案】解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
18．【答案】（1）500；选项B的人数为500﹣200﹣100﹣50＝150（人）．补全条形统计图如图所示．
（2）解：A所在扇形的圆心角度数为360°×＝144°．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为＝．
【知识点】列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽取了（名）学生．
故答案为：500．
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图的信息求出总人数，进而用总人数减去其余人数即可得到选项B的人数，从而补全统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）先根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种，再根据等可能事件的概率进行计算即可求解。
19．【答案】（1）解：设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，则：
．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）解：设购进a个粽子，
根据题意，得（5﹣3）×a+（2﹣1）（1000﹣a）≥1600．
解得a≥600．
因为a是正整数，所以a最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，根据题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设购进a个粽子，根据题意列出不等式，再解不等式即可求解。
20．【答案】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵⊙O的圆心O在AC上，且与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠ODA+∠BDA＝∠ODB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠OED＝90°，
∵∠CDE+∠ODE＝∠ODC＝90°，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CE CA＝CD2，
∵CD＝4，CE＝2，OE＝OA，
∴2（2+2OE）＝42，
解得OE＝3，
∴⊙O的半径长为3．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，进而根据等腰三角形的性质即可得到∠OAD＝∠ODA，再根据切线的性质得到BC⊥OD，进而结合题意进行角的运算证明∠OAB=90°，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质得到∠ODE＝∠OED，再根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，从而结合题意证明∠CDE＝∠CAD，再根据相似三角形的判定与性质得到CE CA＝CD2，代入数值即可求解。
21．【答案】（1）解：把点A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝得，，
解得m＝2，n＝﹣1，
∴A（﹣2，2），B（4，﹣1），
把A（﹣2，2），B（4，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）中得：
，
解得，
即k的值为，b的值为1；
（2）解：由题意可知D（4，0），
∴△ABD的面积为：＝3；
（3）y＝x+1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
【分析】（1）先根据反比例函数图象上的点代入即可得到点A和点B的坐标，进而运用待定系数法即可求出k和b；
（2）根据点D的坐标结合三角形的面积公式即可求解；
（3）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点C的坐标，进而设经过点的一次函数解析式为，再根据一次函数的性质即可求解。
22．【答案】（1）解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，
由题意得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，
∴∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，
在Rt△ADO中，OA＝千米，
∴OD＝OA sin45°＝×＝9（千米），
在Rt△BDO中，OB＝＝＝（千米），
∴O、B两点之间的距离为千米；
（2）解：过点B作BE⊥OC，垂足为E，
由题意得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOM﹣∠CON＝60°，
∵∠DBO＝60°，
∴∠CBO＝∠CBD+∠DBO＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45°，
在Rt△BOE中，OB＝千米，
∴BE＝OB sin60°＝×＝9（千米），
在Rt△BCE中，BC＝（千米），
∴飞机从点B飞行到点C所用的时间＝≈1.06（分钟），
∴飞机从点B飞行到点C所用的时间约为1.06分钟．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，由题意得∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，再解直角三角形即可求解；
（2）过点B作BE⊥OC，垂足为E，由题意得∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，进而结合题意进行角的运算得到∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45°，从而解直角三角形即可求解。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠CDE＝45°，
∴∠E＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：AF与CF的关系为：AF＝FC，理由：
∵∠EBC＝90°，∠E＝45°，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴BE＝BM，
∵F为EM的中点，
∴BF⊥EM，BF＝EF＝FM，
∴△BFM为等腰直角三角形，
∴∠FBC＝45°，
∴∠FBC＝∠E＝45°．
在△AEF和△CBF中，
，
∴△AEF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF；
（3）解：∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝＝10，
∵△DCM为等腰直角三角形，
∴DM＝CD＝6，
∵AE＝BC＝8，
∴BE＝2，
∴BF＝EF＝FM＝，
∴DF＝FM+DM＝7．
∴BD＝AC＝10．
∵△AEF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∵∠AHB＝∠CHF，
∴△BAH∽△FCH，
∴∠ABH＝∠CFH＝90°，
∵AF＝CF，
∴∠FAC+∠FCA＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠CBD＝∠ACB，
∵∠AHB＝∠HAC+∠ACB＝45°+∠ACB，∠DBF＝∠FBC+∠CBD＝45°+∠CBD，
∴∠AHB＝∠DBH．
∵∠ABH＝∠BFD＝90°，
∴△ABH∽△DFB，
∴，
∴，
∴BH＝，
∵BC∥AD，
∴△BHG∽△DAG，
∴，
∴
∴OG＝．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝90°，AB＝CD，AB∥CD，再根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE＝45°，进而根据平行线的性质得到∠E＝∠CDE＝45°，从而结合题意运用等腰三角形的判定即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质得到BE＝BM，进而得到BF⊥EM，BF＝EF＝FM，再证明∠FBC＝∠E＝45°，从而结合三角形全等的判定与性质证明△AEF≌△CBF（SAS）即可求解；
（3）先根据勾股定理求出AC，进而根据等腰直角三角形的性质得到DM＝CD＝6，再结合题意即可得到DF，进而根据三角形全等的性质即可得到∠BAF＝∠BCF，从而运用相似三角形的判定与性质证明△BAH∽△FCH得到∠ABH＝∠CFH＝90°，从而进行角的运算证明∠AHB＝∠DBH，再证明△ABH∽△DFB得到BH＝，从而证明△BHG∽△DAG得到，最后代入数值即可求解。
24．【答案】（1）解：∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
A（﹣4，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3；
（2）解：设D（m，﹣m2﹣m+3），
∵DC∥作x轴，与直线AB交于点C，
∴x+3＝﹣m2﹣m+3，解得x＝﹣m2﹣3m，
∴C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），
∴DC＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DC的长的最大值为4；
（3）解：设N（0，n），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，
分两种情况：
①当△ABQ∽△BQN时，
∵△ABQ∽△BQN，
∴∠ABQ＝∠BQN，，
∴PQ∥AB，
∴△OQN∽△OAB，
∴，
∴，
∴OQ＝n，QN＝n，
∴BQ＝，
∴，
∴n＝或3（舍去），
∴OQ＝n＝，
∴Q（﹣，0），N（0，），
设直线PQ的解析式为y＝kx+a，
∴，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝x+，
联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）
∴点P的坐标为（， ）；
②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵△ABQ∽△QBN，
∴∠ABQ＝∠QBN，∠BAQ＝∠BQN，
∴QH＝QO，
∵BQ＝BQ，
∴Rt△BHQ≌Rt△BOQ，
∴BH＝OB＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
设OQ＝q，则AQ＝4﹣q，QH＝q，
∴22+q2＝（4﹣q）2，解得q＝，
∴Q（﹣，0），
∵∠BQO＝∠BQN+∠OQN＝∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ＝∠BQN，∠ABQ＝∠QBN，
∴∠OQN＝∠QBN，
∵∠QON＝∠BOQ＝90°，
∴△OQN∽△OBQ，
∴，
∴，
∴n＝，
∴Q（﹣，0），N（0，），
同理得直线PQ的解析式为y＝x+，
联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为（， ）或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点A和点B的坐标，进而代入抛物线即可得到解析式；
（2）设D（m，﹣m2﹣m+3），先根据平行线结合题意表示出x，进而即可得到点C，从而即可得到DC，再根据二次函数的最值问题即可求解；
（3）设N（0，n），先根据勾股定理求出AB，进而根据相似三角形的判定分类讨论：①当△ABQ∽△BQN时，②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，进而根据相似三角形的性质、解直角三角形（勾股定理）、待定系数法求出一次函数、二次函数与一次函数的交点问题即可求解。
1 / 1四川省资阳市2023年中考数学真题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．（2023·资阳）的相反数是（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：A
【分析】根据相反数的定义结合题意求出有理数的相反数即可求解。
2．（2023·资阳）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解；由题意得几何体的俯视图是，
故答案为：B
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意画出俯视图即可求解。
3．（2023·资阳） 毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（ ）
A．4.89×106 B．4.89×105 C．0.489×107 D．48.9×105
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得数489万用科学记数法表示为4.89×106
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的定义结合题意表示数据489万即可求解。
4．（2023·资阳） 下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．2a2 3b＝6ab D．（a3）2＝a5
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：、与不能合并，不符合题意；
、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项、平方差公式、单项式乘单项式、幂的乘方结合题意对选项逐一运算即可求解。
5．（2024九下·高州月考）某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试.小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．4.8，4.74 B．4.8，4.5 C．5.0，4.5 D．4.8，4.8
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵4.8在这组数据中出现了2次，是出现次数最多的数据，
∴4.8是这组数据的众数；
把这组数据从小到大排列：4.5，4.6，4.8，4.8，5.0，中间的数据是4.8，
∴这组数据的中位数是4.8.
故答案为：4.8，4.8.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合题意即可求解.
6．（2023·资阳） 数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵ 数轴上点A到原点的距离为，
∴点A所表示的数是或
故答案为：C
【分析】根据无理数在数轴上的表示结合题意即可求解。
7．（2023·资阳）体重指数（BMI）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高1.70米，体重70千克，则小张的体重状况是（ ）
体重指数（BMI）的范围 体重状况
体重指数＜18.5 消瘦
18.5≤体重指数≤23.9 正常
23.9＜体重指数≤26.9 超重
体重指数＞26.9 肥胖
A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得小张的体重指数为：，
，
小张的体重状况是超重．
故答案为：C
【分析】根据题意计算小张的体重指数，进而即可求解。
8．（2023·资阳） 下列说法不正确的是（ ）
A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根
B．若△A'B'C'由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；平行线的性质；旋转的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：、方程，△，故方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；
、若△由旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，B不符合题意；
、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，C不符合题意；
、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根的判别式、旋转的性质、作图-垂线、平行线的性质结合题意对选项逐一判断即可求解。
9．（2023·资阳） 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝120°，AD＝厘米，AB＝厘米，点P从点D出发以每秒厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A．设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，厘米，
（厘米）．
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：（秒．
当点在上时，．故排除．
当时，点在点处．过点作于点．
．
，
．
厘米，
（厘米），
（厘米）．
的面积（平方厘米）．
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质得到（厘米）．进而即可求出点走完所用的时间为：（秒，从而排除C，当时，点在点处．过点作于点，进而结合题意解直角三角形即可得到（厘米），从而得到AE，再根据三角形的面积即可求解。
10．（2023·资阳） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可得，
，，，
，故①正确，
抛物线的对称轴为直线，且过点．
，，
，
，故，故②正确，
当时，取得最小值，
，即为任意实数），故③错误，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
若点，、，是图象上任意两点，且，
，故④正确；
故答案为：C
【分析】先根据二次函数的图象得到，，，进而即可判断①；再根据二次函数的对称轴结合题意即可得到，，进而即可判断②；根据二次函数的最值即可得到，即为任意实数），从而即可判断③；再根据二次函数的性质结合题意即可判断④。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2023·资阳） 使代数式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≥6
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-6≥0，
∴x≥6，
故答案为：x≥6
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可得到x-6≥0，进而即可求解。
12．（2023·资阳） 在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意得取到黄球的概率是，
故答案为：
【分析】根据简单事件的概率结合题意进行计算，进而即可求解。
13．（2023·资阳） 如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝ ．
【答案】35°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
故答案为：35°
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合题意根据外角的性质即可求解。
14．（2023·资阳） 计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为0×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝91．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ．
【答案】73
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由二进制和十进制的互换规则得：．
故答案为：73．
【分析】根据二进制和十进制的互换规则结合题意即可求解。
15．（2023·资阳） 如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的外接圆与外心；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接、，如图所示：
边长为6的正三角形内接于，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接并延长交于点，连接、，先根据圆内接三角形的性质结合等边三角形的性质得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意解直角三角形（含30°角的直角三角形）得到，从而即可求出AD，再根据即可求解。
16．（2023·资阳） 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点作，交延长线于点，取的中点，连接，，，如图所示：
等边三角形的边长为2，
，，
由翻折可知：，，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
当、、三点共线时最大，最大值为．
故答案为：．
【分析】过点作，交延长线于点，取的中点，连接，，，先根据等边三角形的性质得到，，进而根据折叠的性质得到，，从而得到，再结合含30°角的直角三角形解直角三角形得到，从而运用勾股定理求出DE，进而即可求解。
三、解答题（本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·资阳）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．
【答案】解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
18．（2023·资阳） 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图 ；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【答案】（1）500；选项B的人数为500﹣200﹣100﹣50＝150（人）．补全条形统计图如图所示．
（2）解：A所在扇形的圆心角度数为360°×＝144°．
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为＝．
【知识点】列表法与树状图法；利用统计图表分析实际问题；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽取了（名）学生．
故答案为：500．
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图的信息求出总人数，进而用总人数减去其余人数即可得到选项B的人数，从而补全统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）先根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种，再根据等可能事件的概率进行计算即可求解。
19．（2023·资阳） 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？
【答案】（1）解：设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，则：
．
解得．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）解：设购进a个粽子，
根据题意，得（5﹣3）×a+（2﹣1）（1000﹣a）≥1600．
解得a≥600．
因为a是正整数，所以a最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，根据题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设购进a个粽子，根据题意列出不等式，再解不等式即可求解。
20．（2023·资阳） 如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．
（1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵⊙O的圆心O在AC上，且与边BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠ODA+∠BDA＝∠ODB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠OED＝90°，
∵∠CDE+∠ODE＝∠ODC＝90°，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CE CA＝CD2，
∵CD＝4，CE＝2，OE＝OA，
∴2（2+2OE）＝42，
解得OE＝3，
∴⊙O的半径长为3．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，进而根据等腰三角形的性质即可得到∠OAD＝∠ODA，再根据切线的性质得到BC⊥OD，进而结合题意进行角的运算证明∠OAB=90°，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质得到∠ODE＝∠OED，再根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，从而结合题意证明∠CDE＝∠CAD，再根据相似三角形的判定与性质得到CE CA＝CD2，代入数值即可求解。
21．（2023·资阳） 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，m）和点B，与y轴交于点C．直线x＝4经过点B与x轴交于点D，连结AD．
（1）求k、b的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．
【答案】（1）解：把点A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝得，，
解得m＝2，n＝﹣1，
∴A（﹣2，2），B（4，﹣1），
把A（﹣2，2），B（4，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）中得：
，
解得，
即k的值为，b的值为1；
（2）解：由题意可知D（4，0），
∴△ABD的面积为：＝3；
（3）y＝x+1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）当时，，
，
则设经过点的一次函数解析式为，
随的增大而增大，
，
经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）．
【分析】（1）先根据反比例函数图象上的点代入即可得到点A和点B的坐标，进而运用待定系数法即可求出k和b；
（2）根据点D的坐标结合三角形的面积公式即可求解；
（3）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点C的坐标，进而设经过点的一次函数解析式为，再根据一次函数的性质即可求解。
22．（2023·资阳）如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°，飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为60°，飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为60°．已知OA＝千米．（A、B、C、O、M、N在同一竖直平面内）
（1）求O、B两点之间的距离；
（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（≈1.414，结果精确到0.01）
【答案】（1）解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，
由题意得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，
∴∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，
在Rt△ADO中，OA＝千米，
∴OD＝OA sin45°＝×＝9（千米），
在Rt△BDO中，OB＝＝＝（千米），
∴O、B两点之间的距离为千米；
（2）解：过点B作BE⊥OC，垂足为E，
由题意得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOM﹣∠CON＝60°，
∵∠DBO＝60°，
∴∠CBO＝∠CBD+∠DBO＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45°，
在Rt△BOE中，OB＝千米，
∴BE＝OB sin60°＝×＝9（千米），
在Rt△BCE中，BC＝（千米），
∴飞机从点B飞行到点C所用的时间＝≈1.06（分钟），
∴飞机从点B飞行到点C所用的时间约为1.06分钟．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，由题意得∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，再解直角三角形即可求解；
（2）过点B作BE⊥OC，垂足为E，由题意得∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，进而结合题意进行角的运算得到∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45°，从而解直角三角形即可求解。
23．（2023·资阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分别交BD、BC于点G、H．
（1）求证：AE＝BC；
（2）探究AF与CF的关系，并说明理由；
（3）若AD＝8，CD＝6，求OG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠CDE＝45°，
∴∠E＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）解：AF与CF的关系为：AF＝FC，理由：
∵∠EBC＝90°，∠E＝45°，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴BE＝BM，
∵F为EM的中点，
∴BF⊥EM，BF＝EF＝FM，
∴△BFM为等腰直角三角形，
∴∠FBC＝45°，
∴∠FBC＝∠E＝45°．
在△AEF和△CBF中，
，
∴△AEF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF；
（3）解：∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝＝10，
∵△DCM为等腰直角三角形，
∴DM＝CD＝6，
∵AE＝BC＝8，
∴BE＝2，
∴BF＝EF＝FM＝，
∴DF＝FM+DM＝7．
∴BD＝AC＝10．
∵△AEF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∵∠AHB＝∠CHF，
∴△BAH∽△FCH，
∴∠ABH＝∠CFH＝90°，
∵AF＝CF，
∴∠FAC+∠FCA＝45°，
∵OB＝OC，
∴∠CBD＝∠ACB，
∵∠AHB＝∠HAC+∠ACB＝45°+∠ACB，∠DBF＝∠FBC+∠CBD＝45°+∠CBD，
∴∠AHB＝∠DBH．
∵∠ABH＝∠BFD＝90°，
∴△ABH∽△DFB，
∴，
∴，
∴BH＝，
∵BC∥AD，
∴△BHG∽△DAG，
∴，
∴
∴OG＝．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝90°，AB＝CD，AB∥CD，再根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE＝45°，进而根据平行线的性质得到∠E＝∠CDE＝45°，从而结合题意运用等腰三角形的判定即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质得到BE＝BM，进而得到BF⊥EM，BF＝EF＝FM，再证明∠FBC＝∠E＝45°，从而结合三角形全等的判定与性质证明△AEF≌△CBF（SAS）即可求解；
（3）先根据勾股定理求出AC，进而根据等腰直角三角形的性质得到DM＝CD＝6，再结合题意即可得到DF，进而根据三角形全等的性质即可得到∠BAF＝∠BCF，从而运用相似三角形的判定与性质证明△BAH∽△FCH得到∠ABH＝∠CFH＝90°，从而进行角的运算证明∠AHB＝∠DBH，再证明△ABH∽△DFB得到BH＝，从而证明△BHG∽△DAG得到，最后代入数值即可求解。
24．（2023·资阳） 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
A（﹣4，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3；
（2）解：设D（m，﹣m2﹣m+3），
∵DC∥作x轴，与直线AB交于点C，
∴x+3＝﹣m2﹣m+3，解得x＝﹣m2﹣3m，
∴C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），
∴DC＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DC的长的最大值为4；
（3）解：设N（0，n），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，
分两种情况：
①当△ABQ∽△BQN时，
∵△ABQ∽△BQN，
∴∠ABQ＝∠BQN，，
∴PQ∥AB，
∴△OQN∽△OAB，
∴，
∴，
∴OQ＝n，QN＝n，
∴BQ＝，
∴，
∴n＝或3（舍去），
∴OQ＝n＝，
∴Q（﹣，0），N（0，），
设直线PQ的解析式为y＝kx+a，
∴，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝x+，
联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）
∴点P的坐标为（， ）；
②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵△ABQ∽△QBN，
∴∠ABQ＝∠QBN，∠BAQ＝∠BQN，
∴QH＝QO，
∵BQ＝BQ，
∴Rt△BHQ≌Rt△BOQ，
∴BH＝OB＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
设OQ＝q，则AQ＝4﹣q，QH＝q，
∴22+q2＝（4﹣q）2，解得q＝，
∴Q（﹣，0），
∵∠BQO＝∠BQN+∠OQN＝∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ＝∠BQN，∠ABQ＝∠QBN，
∴∠OQN＝∠QBN，
∵∠QON＝∠BOQ＝90°，
∴△OQN∽△OBQ，
∴，
∴，
∴n＝，
∴Q（﹣，0），N（0，），
同理得直线PQ的解析式为y＝x+，
联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为（， ）或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点A和点B的坐标，进而代入抛物线即可得到解析式；
（2）设D（m，﹣m2﹣m+3），先根据平行线结合题意表示出x，进而即可得到点C，从而即可得到DC，再根据二次函数的最值问题即可求解；
（3）设N（0，n），先根据勾股定理求出AB，进而根据相似三角形的判定分类讨论：①当△ABQ∽△BQN时，②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，进而根据相似三角形的性质、解直角三角形（勾股定理）、待定系数法求出一次函数、二次函数与一次函数的交点问题即可求解。
1 / 1
