沪教版九年级数学上册24.1放缩与相似形试题 （含解析）

24.1放缩与相似形
一、单选题
1．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
2．下列说法正确的是（ ）
A．所有矩形都相似 B．所有等腰三角形都相似
C．角相等的四边形都相似 D．等边三角形都相似
3．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
4．一个长方形各边按扩大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大原来的16倍 B．周长缩小原来的
C．面积扩大原来的16倍 D．面积缩小原来的
5．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）．
A． B． C． D．
6．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，正五边形与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（　　）
A．36cm B．42cm C．48cm D．54cm
9．如图，已知D．E分别在△ABC的AB．AC边上，△ABC与△AED相似，则下列各式成立的是（ 　）
A．； B．；
C．； D．．
10．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
二、填空题
11．ABC与DEF相似，∠A＝72°，∠B＝48°，∠F＝60°，则∠E＝_________．
12．相似的两个图形，它们的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．
13．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25 、55 ，则另一个三角形的最大内角的度数为__________．
14．四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是__________．
15．在矩形中，点分别在上（点与点不重合）矩形与矩形相似，那么的长为________.
16．已知：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，它们的周长分别为5m和3m，则S四边形ABCD：S四边形A′B′C′D′=______．
17．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为、、，另一个三角形框架的一条短边长为，则另外一个三角形的周长为________．
18．如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都是经过同一点O，且有OP′=k·OP(k≠0)，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心，已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′=3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是________.
19．如图，一块长（）为2米，宽()为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？（补全解答过程）
解：不相似.理由如下：
.
由题意.得 ________，
____________.
∵______，（“填”“=”或“≠”）
∴两个矩形不相似.
20．如图，两个相似四边形的已知数据如图所示，则x=_______，y=______，α=______度．
21．我们通常用到的一种复印纸，整张称为纸（如图），按下图方式对折一分为二裁开成为纸（如图），再一分为二成为纸（如图）…它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一定值，这个定值是________．
三、解答题
22．画图题．
在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1．请画出符合下列要求的图形：
（1）图1中将三角形A的各条边按1：3放大，得到三角形B；
（2）图2中将长方形C的各条边按2：1缩小，得到长方形D．
23．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
24．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10米，此时身高是米的小明的影长是米，求旗杆的高度．
25．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长．
26．如图，△ABC在方格中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A、C两点坐标依次为 (1，2)、 (3，1)，并写出点B坐标为 ；
（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形．
27．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．D
【解析】
根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选D．
2．D
【解析】
根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、矩形的四个角相等，四条边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
B、所有等腰三角形不一定相似，只有顶角对应相等或底角对应相等才相似，故本选项错误；
C、角相等的四边形，四条边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
D、等边三角形三个角均相等且对应边成比例，符合相似三角形的判定；故本选项正确．
故选：D．
3．D
【解析】
根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．
【详解】
A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；
D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；
故选：D．
4．C
【解析】
相似矩形的周长比等于相似比，相似矩形的面积比等于相似比的平方，据此进行求解即可．
【详解】
一个长方形按放大后，得到的图形与原图形相似，边长扩大到原来的4倍，
所以周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍，
所以A、B、D错误，C正确，
故选C．
5．C
【解析】
根据相似图形对应边成比例列出关系式即可求解.
【详解】
如图，矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，
设矩形的长边长是a，短边长是b，则AB=CD=EF=b，AD=BC=a，BF=AE=，
根据相似多边形对应边成比例得：，即
∴
∴
故选C.
6．C
【解析】
根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.
【详解】
①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；
②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；
③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；
④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；
②③④说法正确，故选C.
7．B
【解析】
根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．
【详解】
解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，
所以，故可排除C和D
所以．故排除A
故选B．
8．C
【解析】
根据相似三角形的周长的比等于相似比，设较大多边形的周长为x，表示出较小的多边形的周长，再根据它们的周长的和等于84cm列式求解即可．
【详解】
解：设较大多边形的周长为x，则
较小多边形的周长：x=3：4，
∴较小多边形的周长为x，
∵它们的周长和为84cm，
∴x+x=84，
解得x=48cm
故选：C．
9．D
【解析】
根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可.
【详解】
∵△ABC与△AED相似，
∴,
∴.
故选D.
10．B
【解析】
设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，根据平行线分线段成比例可得JI＝，根据相似多边形的性质可得＝，然后表示出S阴影的面积和S矩形ABJH﹣S矩形HDEG的值即可求解．
【详解】
解：设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，
则BJ＝x，JC＝a，
∵JI//CD，
∴＝即JI＝，
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
即＝，
∴x+a＝，
∴S阴影＝BJ JI
＝x
＝xy．
∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG
＝xb﹣ay
＝x ﹣ay
＝xy．
∴S阴影△BIJ＝(S矩形ABJH﹣S矩形HDEG)．
所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．
故选：B．
二、填空题
11．48°或72°
【解析】
根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
∵ABC与DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F，
∴∠E＝∠B或∠E＝∠A，
∵∠B＝48°，∠A＝72°
∴∠E＝48°或72°，
故答案为：48°或72°．
12．不一定
【解析】
根据相似图形的定义判断即可．
【详解】
相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况．
故答案为：不一定．
13．
【解析】
先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．
【详解】
解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°-（25°+55°）=100°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大内角度数为100°，
故答案为：100°．
14．1.6
【解析】
相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．
【详解】
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′=BC：B′C′，
∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2，
∴C′D′=1.6，
故答案为：1.6．
15．
【解析】
由矩形的对边相等，可得CD=AB=2，由相似多边形的性质可得AB：BC=ED：CD，求解即可．
【详解】
解：如图，
∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
∴CD=AB=2，
∵矩形CDEF与矩形ABCD相似，
∴AB：BC=ED：CD，
即2：3=ED：2，
∴ED=．
故答案为：．
16．25：9．
【解析】
首先确定相似多边形的相似比，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解．
【详解】
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，它们的周长分别为5m和3m，
∴相似比为5：3，
∴S四边形ABCD：S四边形A′B′C′D′=25：9
故答案为：25：9．
17．
【解析】
根据三角形的三边长是4、5、6,即可求得此三角形的周长,又由相似三角形周长的比等于相似比,即可求得另一个三角形的周长.
【详解】
设另外一个三角形的周长是x,
∵一个三角形的三边长是4、5、6,
∴这个三角形的周长为:4+5+6=15,
∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2,
∴,
解得:x=7.5,
∴另一个三角形的周长是7.5.故答案为7.5.
18．1:3
【解析】
分析：根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
详解：∵△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，∴△ABC∽△A′B′C′．∵OA′=3OA，∴△ABC与△A′B′C′的周长之比是：OA：OA′=1：3．故答案为1：3．
19.
【解析】
两个矩形的四个角为直角相等，但先求出边框的内外边缘所成的矩形长的比与宽的比，然后根据相似多边形的定义进行判断即可．
【详解】
不相似.理由如下：
.
由题意.得，
.
∵≠，（“填”“=”或“≠”）
∴两个矩形不相似.
故答案为：(1). (2). (3).
20.6.4， 9.6， 80°.
【解析】
根据相似形对应角相等，对应边的比相等，即可求解．
【详解】
解：∵两个四边形相似，∴==；
解得：x==6.4．y==9.6．
α=360°﹣120°﹣30°﹣130°=80°
故答案为(1). 6.4， (2). 9.6， (3). 80°.
21.
【解析】
分别设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出的值即可．
【详解】
解：设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为，由A1、A2纸的长与宽对应比成比例得=，
故==．
故答案为．
三、解答题
22.解：（1）如图1，三角形B为所作；
（2）如图2，长方形D为所作；
23.∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= =75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
24.解：设此时高为x米的旗杆的影长为10m，
根据题意得，
解得x=12．
所以此时高为12米的旗杆的影长为10m．
25.解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴，
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，
∴，
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38．
26.（1）如图所示：
则B的坐标为：（2，0）；
故答案为：（2，0）；
（2）如图所示：△A′B′C′即为所求．
27.解：（1）存在
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，
由①，得：，③
把③代入②，得，
解得，．
所以“减半”矩形长和宽分别为与．
（2）不存在
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．