沪教版九年级数学上册24.2比例线段试题（含解析）

24.2比例线段
一、单选题
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　）
A．17km B．34km C．170km D．340km
3．下列各组数中，能成比例的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．线段2cm，8cm的比例中项为多少cm．（ ）
A．4 B．4.5 C．±4 D．±8
6．已知C是AB的黄金分割点，若，则AC的长为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC BA
9．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
11．，，为非零实数，且，若，则等于（ ）.
A．8 B．4 C．2 D．1
12．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若≠0，则＝__．
14．已知线段，，若线段c是线段a，b的比例中项，则线段c的长度等于______．
15．已知a=3，b=27，则a，b的比例中项为____________
16．已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．
17．如图，扇子的圆心角为，余下扇形的圆心角为，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则y的值为___________．
18．已知线段，则b，a，c的第四比例项________．
19．已如线段．C为AB的黄金分割点，则线段___________cm．
20．如图，已知是线段的黄金分割点，且.若表示以为一边的正方形的面积，表示长是、宽是的矩形的面积，则______.(填“>”“＝”或“<”)
21．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________．
22．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
三、解答题
23．已知，且，求的值．
24．（1）已知，求的值．
（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．
25．如图，点是线段的黄金分割点，且，若，求的长．
26．已知：．
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值．
27．如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上．
（1）求的长；
（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？
28．阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．
证明：∵，
∴．
∴．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，证明．
29．已知，且.求证：.
30．（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．
（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由．
（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度．
（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　．
31．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BDAB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．
请根据以上材料．回答下列问题
（1）如图2，若AB＝8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC=　　，DC= ．
（2）若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值．
32．材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”． 为了研究这个点，我们在线段AB上取点C（如图1），点C把AB分成AC和CB两段，其中BC是较小的一段，现要使即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人们把这个数叫黄金分割数，点C叫“黄金分割点”．
材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．
（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（2）如图3，在平面直角坐标系中， A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中经过点C的“黄金分割线”解析式．
答案
一、单选题
1．B
【解析】
根据比例的性质，可得答案．
解：由比例的性质，得
，
故选：B．
2．C
【解析】
要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．
解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的实际距离是170千米，
故选：C．
3．A
【解析】
根据比例线段的定义对各选项进行判断．
解：A、3×10=5×6，故A选项符合题意；
B、3×9≠6×8，故B选项不符合题意；
C、3×9≠6×7，故C选项不符合题意；
D、3×6≠4×5，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．B
【解析】
将已知条件变形后代入四个选项，验证是否正确即可．
解：∵，
∴，
∴，
A、，故正确，不符合题意；
B、，故错误，符合题意；
C、，故正确，不符合题意；
D、，故正确，不符合题意；
故选B．
5．A
【解析】
设线段2cm、8cm的比例中项为xcm，根据比例中项的定义得到x2＝2×8，然后求算术平方根即可．
解：设线段2cm、8cm的比例中项为xcm，
根据题意得x2＝2×8，解得x＝4或x＝﹣4（舍去），
即线段2cm、8cm的比例中项为4cm．
故选：A．
6．B
【解析】
根据黄金比值求出较长线段BC，即可得出答案．
解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
故选：B．
7．B
【解析】
根据比的性质，可得a，b，c，代入代数式求值，可得答案．
【详解】
解：由a：b：c=2：4：5，
设a=2x，b=4x，c=5x．
∴==，
故选B．
8．A
【解析】
根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴，
∴选项A符合题意，
，
∴选项D不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
故选：A．
9．D
【解析】
对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可．
【详解】
解：A：设，
则，，
∴，，
∴，故A不符合题意；
B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意；
C：设，则，， ，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D：设，则，， ，
∴，，，
∴，故D符合题意；
故选：D．
10．B
【解析】
设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】
解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
11．A
【解析】
【解析】
根据已知设，得出方程组，相加得出k的值，代入方程组即可得出
【详解】
设，从而有，.
化为整式方程有
三式相加，可得.
题设，故知.
从而可知
于是.
12．A
【解析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
∴==，
故选：A．
二、填空题
13．
【解析】
设＝k，可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入求值即可得到答案．
【详解】
设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝＝．
故答案为：
14．
【解析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2=ab，则c2=4×8，
解得c=±，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：．
15．
【解析】
根据比例中线的性质列式求解即可；
【详解】
设比例中项为c，
则，
∴；
故答案是．
16．
【解析】
先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到，把AB=2代入计算即可．
【详解】
解：∵点P在线段AB上，AP2=AB BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
，
故答案为：．
17．225
【解析】
由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出y的值．
【详解】
解：由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，
根据题意得：x：y＝0.6＝3：5，
又∵x＋y＝360，
则y＝360×＝225．
故答案为：225．
18．∵C为线段AB的黄金分割点，
则AC=8×=（cm），
或AC=8-（）=（cm）．
20．=
【解析】
分析：根据黄金分割的定义得到PA2=PB AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB AB，即可得到S1=S2．
详解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB AB，
∴S1=S2．
故答案为：=．
21．2cm或cm或cm
【解析】
设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm.
22．
【解析】
根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【详解】
∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．
故答案为：10﹣20．
三、解答题
23．
解：由题意设a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+3b-2c=15，
∴2k+9k-8k=15，
∴k=5，
∴a=10，b=15，c=20，
∴a+b-c
=10+15-20
=5．
24．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段，
∴，
∴线段a，b的比例中项为（负值舍去） ．
25．
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴，
∴AB2=BC·AC．
设AB=x，则BC=2-x，
∴x2=(2-x)×2，
∴x2+2x-4=0，
解得：x1=，x2=，
∵x＞0，
∴x= 即AB=，
∴BC=3-，
答：AB=，BC=3-．
26．
解：（1）∵，
∴设，，，
则；
（2）设，，，
∴，解得．
则，，．
∴．
27．
解：（1）在中，，，由勾股定理知，
，
．
故的长为，的长为；
（2）点是的黄金分割点．
由于，
点是的黄金分割点．
28．
（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
29．
设，从而，，，
于是（+），
又因为，所以；
.
30．解：（1）设，，则有，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
整理得：，
解得，（舍去负值），
，
．
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下：
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点是线段的另一黄金分割点．
（3）点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
线段，，的长度为：，，．
（4）由以上证明可得以下规律：
，，，…，（为正整数）．
，
，…，
（为正整数）．
．
故答案为：．
31．
解：（1）∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，
∴AC＝BDAB8＝44，
∴BC＝8﹣（44）＝12﹣4；
∴DC＝BD﹣BC＝（44）﹣（12﹣4）＝816；
故答案为12﹣4；816；
（2）由（1）和题意可知：， ，
∵在数轴上，m＜p＜q＜n，n＝3|m|，
∴PN＝n﹣p， MQ＝q﹣m， MN＝n﹣m，
当m＞0时，n＝3m，即3m﹣p，
∴根据被减数﹣差＝减数：p＝3m4m，
同理可求q，
∴的值为，
当m＜0时，n＝﹣3m，
∴3m﹣p，
∴根据被减数﹣差＝减数：p＝﹣3m﹣2（1）m＝﹣5m＋2m，
同理可求q＝3m，
可得：，
∴的值为或．
32．
（1）
点是线段A的黄金分割点，理由如下：
∵OC=O，
∴AO - O=BO-OC，
∴A=BC，
∵=，
∴=，
∴点是AC的黄金分割点，
∴ ，
同理可得
∴
∴是线段A的黄金分割点
（2）设直线CD是△ABC的黄金分割线，点D的坐标为（x,0），直线CD的解析式为：，
过点C作CH⊥x轴于点H，
，，，
①当＞时，
∵直线CD是△ABC的黄金分割线，
∴，
∴，
∴点D是线段AB的黄金分割点，
∴=，，
解之得，x=2- ，
∵直线经过D（2-，0），C（4-，2），
∴，
解之得，，
∴；
②当＜时，
∵直线CD是△ABC的黄金分割线，
∴，
∴，
∴点D是线段AB的黄金分割点，
∴=，=，
解之得，，
∵直线经过C（4-，2），D（-1,0），
∴，
解之得， ，
∴.