沪教版九年级数学上册24.3 三角形一边的平行线-性质定理试题 （含解析）

24.3 三角形一边的平行线-性质定理
一、单选题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则等于( )
A． B． C． D．
2．中，直线交于，交于点，那么能推出的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知线段a、b、c，求作线段，下列作法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若，则=（　　）
A． B． C． D．1
6．如图，已知：AB、CD相交于点O，由下列哪一组条件可以推出AC∥BD（ ）
A．， B．
C． D．
7．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，与相交于点，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
10．如图，已知点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点、分别是的边、的点，且，点是边上的点，与交于点，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，已知，、交于点，若，则______．
14．如图，，如果，那么________．
15．如图，已知，则______，______，______，______．
16．如图，AB∥CD∥EF，若，则_____．
17．如图，已知，，则______，______.
18．如图，已知，，，则______.
19．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=___________．
20．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．
21．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．
22．如图，在中，，．在边上有个不同的点，，，¨¨¨¨，，过这个点分别作的内接矩形，，¨¨¨¨，，设每个矩形的周长分别为，，¨¨¨¨，，则¨¨¨¨________．
三、解答题
23．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD和DB的长．
24．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）；（2）AC的长．
25．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．
26．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．
求证：DE∥BC
27．已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、．求证：．
28．如图，B、C、D、N分别是⊿AMO边AO、MO上的点，MC∥ND，，求证：NB∥MA
29．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=10．
（1）求AB，BC的长；
（2）如果AD=7，CF=12，求BE的长．
30．如图(1)，，直线AB和CH交于点O，分别交于D、E两点，已知，，.
(1)尝试探究：在图(1)中，求DB和AD的长；
(2)类比延伸：平移AB使得A与H重合，如图(2)所示，过点D作，若，求线段BF的长；
(3)拓展迁移：如图(3)，若的面积是10，点D、E分别位于AB、CA上，，点F在BC上且，，如果的面积和四边形FCED的面积相等，求这个相等的面积.
答案
一、单选题
1．C
【解析】
试题解析：：∵DE∥BC，
∴，
故选C．
2．C
【解析】
作出图像证明△ABC∽△ADE即可解题.
解：见下图,当时,
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC,
故选C.
3．D
【解析】
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
由A得，，则x＝，A错误；
由B得，，则x＝，B错误；
由C得，，则x＝，C错误；
由D得，，则x＝，D正确.
故选：D．
4．D
【解析】
利用得到对应线段成比例，再逐一分析即可得到答案．
【详解】
解：
故错误；
故错误；
故错误；
，故正确，
故选
5．A
【解析】
由题意直接根据平行线分线段成比例定理进行分析即可求解．
【详解】
解：∵a//b//c，
∴=．
故选：A．
6．C
【解析】
根据平行线分线段成比例的性质解答即可．
【详解】
解：由 ，才能得出AC∥DB，
A、=，不能得出AC∥DB，错误；
B、，不能得出AC∥DB，错误；
C、∵，∴，∴，
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD
∴∠C=∠D
∴AC∥DB，正确；
D、，不能得出AC∥DB，错误；
故选：C．
7．B
【解析】
根据平行线所截线段成比例直接判断即可．
【详解】
如图：
，
只有B选项符合，A、C、D都错误．
故选B．
8．C
【解析】
根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】
解：∵，，
∴AB=AH＋HB=3
∵
∴
故选C．
9．B
【解析】
过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【详解】
解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，
∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，
∴DM＝ME＝DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，
∴＝＝，
∴NM＝AG＝PG，
∵DM＝ME，
∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．
故选：B．
10．C
【解析】
根据平行线分线段成比例依次判断可求解．
【详解】
解：∵DE∥AC，
∴BD：AD=BE：EC，A正确；
∵EF//AB，
∴EF：AB=CF：CA，B正确；
∵DF∥BC不一定成立，
∴AD：AF=BD：CF不一定成立，C错误；
∵DE//AC，
∴DE：AC=BD：AB，
∴DE：BD=AC：AB，D正确；
故选C．
11．B
【解析】
利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．
【详解】
解：∵EF∥BC，
∴，，，，
∴选项A，C，D正确，
故选：B．
12．C
【详解】
①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C．
二、填空题
13．
【解析】
由AE∥BC可知△AED∽△CBD，从而可求得＝，然后即可求得的值．
【详解】
解：∵AE∥BC，
∴△AED∽△CBD，
∴，
∴＝，
∴＝，
故答案为：
14．12
【解析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．
【详解】
∵DE∥FG∥BC，
∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，
∵EG=4，
，
．
故答案为：12．
15． 或
【解析】
根据，可知AC∥EF∥BD，然后根据平行线分线段成比例定理解答即可.
【详解】
∵，
∴AC∥EF∥BD，
∴，，，或.
故答案为： ， ， ，或.
16．．
【解析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
17． ，
【解析】
由，则有，又，得，即可得到.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
设
∴，
故答案为：，.
18．
【解析】
由，可得，由，可得，然后根据等量代换得，然后即可得到.
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
19．
【解析】
∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，即=，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴=，即=，
解得：AF= ，
则EF=AE﹣AF=10﹣=，
故答案是：
20．
【解析】
【解析】
先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出的值．
【详解】
∵AB∥EF，∴，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴．
故答案为.
21．6
【解析】
利用平行线分线段长比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．
【详解】
解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴，
∴DG＝2FG＝2，
∴FD＝2+1＝3，
∴AD＝2FD＝6．
故答案为：6．
22．400
【解析】
首先过点A作AH⊥BC于H，由AB=AC=，BC=2，可求得BH的长，由勾股定理可求得AH的长，又由四边形P1E1F1G1是矩形，可得E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得E1P1=2BP1，F1G1=2CG1，则可求得L1的值，同理可求得L2，……，L100的值，继而求得答案．
【详解】
过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=，BC=2．
∴BH=BC=1，
∴AH==2，
∵四边形P1E1F1G1是矩形，
∴E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，
∴E1P1∥AH，
∴，即，
∴E1P1=2BP1，
同理：F1G1=2CG1，
∴矩形P1E1F1G1的周长为：E1P1+E1F1+P1G1+F1G1=2P1G1+2BP1+2CG1=2（P1G1+BP1+CG1）=2BC=4，
∴L1=4，
同理：L2=L3=…=L100=4，
∴L1+L2+……+L100=4×100=400．
故答案为400．
三、解答题
23．
解：∵DE∥BC
∴ AE：EC=2：3=AD：BD
设AD=2k，BD=3k，则k=3
∴AD=6，BD=9
24．
解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD
∴
（2）∵DE∥BC，且AD=2BD
∴
∵AE=5
∴AC=
25．
∵AD∥EB∥FC，
∴EC：AC= BF：DF，
∴EC：12=7：10，
∴EC=．
26．
∵FE∥CD，
∴，
∵AD是线段AF与AB的比例中项，
∴，
∴，
∴DE∥BC．
27．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，
∴，
即．
28．
解：∵MC∥ND
∴
∵
∴
∴NB∥MA
29．
解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=10，
∴AB=4，
∴BC=10﹣4=6；
（2）如图所示：过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=12，
∴CG=12﹣7=5，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
30．
【解】(1)∵，
∴，即，
∴，
∴.
(2)∵平移AB使得A与H重合，
∴，.
∵，，∴四边形DECF为平行四边形，
∴.∵，∴
即，∴.
(3)∵的面积和四边形FCED的面积相等，
，
∴，∴，又∵，
∴四边形BDEF为平行四边形，，
∴，，
，
即这个相等的面积为6.