沪教版九年级数学上册试题第26章 二次函数单元测试（含解析）

第26章 《二次函数》单元测试
一、单选题（每题3分，共10分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各点中，一定不在抛物线上的是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
3．二次函数y＝﹣（x＋2）2＋1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
4．下列关于二次函数的图象与性质的描述，错误的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象可由函数的图象平移得到
C．该函数图象关于y轴对称 D．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
5．已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则，，，的最值情况是（ ）
A．最小，最大 B．最小，最大
C．最小，最大 D．无法确定
6．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力等因素，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度大于；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的髙度是，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：①；②；③当时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程的根，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
9．关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）
B．当m≠时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若m＞，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是﹣m+1
10．如图，二次函数图象的顶点为D，其图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．在下面四个结论中：
①；
②；
③只有当时，是等腰直角三角形；
④使为等腰三角形的值可以有两个．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．已知函数的图象是抛物线，且当时，y随x的增大而增大，则m=___．
12．若抛物线过点，则_____．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为_____________．
14．如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是___
15．抛物线的顶点为，则它与交点的坐标为_______
16．抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是__________．
17．已知点、在二次函数的图象上，若，则，的大小关系为______．（用“<”连接）．
18．在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线1分别与函数的图象在x轴上方部分和函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，设点C的坐标为（m，0），若AB=5BC，则m的值为____．
三、解答题（共66分）
19．（7分）已知二次函数．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）直接写出y＞0时x的范围
20．（7分）已知二次函数的图像经过点A(1，0)，与轴正半轴交于点，且的正切值为3．
（1）求次抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）将次抛物线向左右平移后经过原点，试确定抛物线平移的方向和平移的距离．
21．（9分）已知一个二次函数图象过点（-3，0），（1，0），（-1，-4）
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，直接写出y的取值范围．
22．（9分）已知一个二次函数的图像经过点、、．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么_____．（填“<”或者“>”）
23．（10分）已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．
（1）如果点P与点C重合，求线段的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；
（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点和点，点C在x轴上（不与点A重合），
（1）当与相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）；
（2）当与全等时，二次函数的图像经过A、B、C三点，求m的值，并求出点C的坐标；
（3）P是（2）的二次函数的图像上一点，，求点P的坐标及的度数．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过三点，点A的坐标是，点C的坐标是．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解析】
解：A．当a=0时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．是二次函数，故本选项符合题意；
C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】
分别计算出x=1或x=2时的函数值，从而求得m的值，然后根据二次函数的定义进行判断．
【解析】
解：当x=1时，，此时解得m=1，
∴点（1，1）可以在抛物线上，故选项A不符合题意；
当x=2时，，
∴点（2，2）在抛物线上，故选项B不符合题意；
当x=1时，，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，
∴点（1，2）一定不在抛物线上，故选项C符合题意；
当x=1时，，此时解得m=-1，
∴点（1，3）可以在抛物线上，故选项D不符合题意；
故选：C
3．B
【分析】
根据二次函数的性质直接求解．
【解析】
解：二次函数y＝﹣（x＋2）2＋1的顶点坐标是(﹣2，1)．
故选：B．
4．D
【分析】
根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【解析】
解：A、由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确，不符合题意；
B、该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确，不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确，不符合题意；
D、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项描述错误，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】
根据已知条件确定抛物线的开口方向及对称轴的位置，利用抛物线的轴对称性确定答案即可．
【解析】
二次函数图象经过P1(-4，y1)，P2(-1，y2)，P3(1，y3)，P4(4，y4)四点，且y3抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1(-4，y1)离对称轴的距离最大，P3(1，y3)离对称轴的距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故答案选：B．
6．D
【分析】
由题意，可求得抛物线的解析式，求出顶点坐标，在进行逐一判断即可；
【解析】
由题意，抛物线的解析式为，
，
解得，
∴，
∴当时，h取得最大值，此时，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线，故②正确；
当时，得或，故③正确；
当时，，故④正确；
故正确的有①②③④，有4个；
故答案选D．
7．C
【分析】
利用待定系数法求出此二次函数解析式，再结合二次函数的性质和解一元二次方程逐项判断即可．
【解析】
∵当时，；当时，；当时，，
∴，解得：，
故该二次函数为，且改为顶点式为．
∴，故①正确；
，故②正确；
∵，且对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，故③错误；
方程为，即，
解方程，得：，故④正确．
综上正确的为①②④，共3个．
故选C．
8．D
【分析】
由且可得，根据题意画出函数图像，根据图像分情况讨论；当时，y随x的增大而增大，可得当时y有最小值，当时y有最大值，代入并验证；当时分两种情况：当时y有最小值，当时y有最大值，或当时y有最大值，当时y有最小值，得出符合情况的值即可得出答案.
【解析】
解：如图，二次函数的大致图像如下：
且时，
，
①当时，y随x的增大而增大，
当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）；
当时y有最大值，即：，解得：或（均不符合题意，舍去）；
②当时，
当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）；
当时y有最大值，即：，解得：，
或：当时y有最大值，即：，解得：，
当时y有最小值，即：，将代入解得：，
，
此种情形不合题意；
，
；
故答案选：D.
9．D
【分析】
根据函数的图象和性质逐一求解即可．
【解析】
解：A、当m=0时，
，
当x=-1时，y=2，则不经过（-1，-2），故错误；
B、，
当m=0时，y=-x+1，函数图像与x轴只有1个交点，故错误；
C、，
函数的对称轴为直线x=，
当m＞时，＜1，故当x＜时，y随x的增大而减小，故错误；
D、当m＞0时，函数开口向上，
函数的最小值是，故正确；
故选D．
10．D
【分析】
先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】
解：①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，
∵图像与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故①正确；
②∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴
∴结论②正确．
③如图1，连接AD，BD，作DE⊥x轴于点E，
，
要使△ABD是等腰直角三角形，
则AD＝BD，∠ADB＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴点E是AB的中点，
∴DE＝BE，
即||2，
又∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴||＝2，a＞0，
解得a，
∴只有当a时，△ABD是等腰直角三角形，
结论③正确
④要使△ACB为等腰三角形，
则AB＝BC＝4，AB＝AC＝4，或AC＝BC，
Ⅰ、当AB＝BC＝4时，
在Rt△OBC中，
∵OB＝3，BC＝4，
∴OC2＝BC2﹣OB2＝42﹣32＝16﹣9＝7，
即c2＝7，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅱ、当AB＝AC＝4时，
在Rt△OAC中，
∵OA＝1，AC＝4，
∴OC2＝AC2﹣OA2＝42﹣12＝16﹣1＝15，
即c2＝15，
∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴c＜0，c，
∴a．
Ⅲ、当AC＝BC时，
∵OC⊥AB，
∴点O是AB的中点，
∴AO＝BO，
这与AO＝1，BO＝3矛盾，
∴AC＝BC不成立．
∴使△ACB为等腰三角形的a值可以有两个：．
结论④正确．
故答案选：D
二、填空题
11．
【分析】
根据二次函数的定义可得m2 1＝2，且m≠0，计算出m的值，再根据二次函数的性质进一步确定m的值．
【解析】
解：由题意得：m2 1＝2，且m≠0，
解得：m＝±，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m＝，
故答案为：．
12．9
【分析】
由题意易得点A、B关于二次函数的对称轴对称，进而可得，然后求解a的值，最后代入二次函数解析式求解b的值即可．
【解析】
解：由抛物线过点，可得：该二次函数的对称轴为直线，点A、B关于二次函数的对称轴对称，
∴，解得：，
把代入抛物线解析式得：，
∴；
故答案为9．
13．y＝ 4x2＋16x 13或y＝4x2 16x＋19．
【分析】
根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为y＝a（x 2）2＋3，由形状与抛物线y＝4x2相同可得出|a|＝4，代入后展开即可得出结论．
【解析】
解：∵二次函数的图象顶点坐标为（2，3），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x 2）2＋3．
∵形状与抛物线y＝4x2相同，
∴|a|＝4，
∴该二次函数解析式为y＝ 4（x 2）2＋3或y＝4（x 2）2＋3，
即y＝ 4x2＋16x 13或y＝4x2 16x＋19．
故答案为：y＝ 4x2＋16x 13或y＝4x2 16x＋19．
14．
【分析】
先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论．
【解析】
解：∵由函数图象可知，函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，．
故答案为：．
15．(0，a+2)．
【分析】
首先根据抛物线的顶点坐标利用顶点式求得解析式，然后令x=0求得y的值即可确定与y轴的交点坐标．
【解析】
解：∵抛物线的顶点为（1，2），
∴抛物线为，
令x=0得：y=a+2，
∴与y轴的交点坐标为（0，a+2），
故答案为：（0，a+2）．
16．
【分析】
先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移，纵坐标减解答即可．
【解析】
解：抛物线，
顶点坐标为，
向右平移1个单位，向下平移2个单位，
所得抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
17．
【分析】
先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．
【解析】
解：∵二次函数中，a=1＞0，
∴该二次函数的图象开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵二次函数的对称轴是直线x=1，且，
∴，
故答案为：．
18．2
【分析】
根据C的坐标，根据题意表示出A、B的坐标，由AB=5BC即可得到关于m的方程，解得即可．
【解析】
解：如图，
∵点C的坐标为（m，0），
∴点A（m，-m2+4m+5），点B（m，-m+3）；
当B点在x轴的上方时，
∵AB=5BC，
∴（-m2+4m+5+m-3）=5（-m+3），解得m1=2，m2=（舍去）；
故答案为：2．
三、解答题
19．
解：（1）∵二次函数y＝x2 2x-3＝（x 1）2 4，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1， 4）；
（2）当x＝0时，y＝-3，
当y＝0时，0＝x2 2x-3＝（x 3）（x+1），得x1＝3，x2＝-1，
即该函数图象与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）；
（3）∵二次函数y＝x2 4x＋3的图象开口向上，与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＜-1或x＞3．
20．
解：（1）∵，
∴，即，
把点B和点A的坐标代入解析式，得，解得，
∴，
∴顶点坐标是；
（2）令，则，解得，，
∴抛物线与x轴交于点和点，
则向左平移1个单位或向左平移3个单位，图象会经过原点．
21．
解：（1）设二次函数的表达式为，将点（-3，0），（1，0），（-1，-4）代入得
，解得
所以二次函数的表达式为
故答案为
（2）列表，
0 0
描点，平滑的曲线连接每个点，得到函数图像，如下图：
（3）观察函数图像，当时，随的增大而减小
当时，有最大值为，
当时，有最小值为
∴当时，
故答案为
22．
解：（1）设二次函数的表达式为，
已知二次函数经过A、B、C三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，
，可得，
则这个函数的解析式为，
其对称轴为直线；
（2），抛物线开口向下，
对称轴为直线x=1，x<1时，y随x的增大而增大，
又本题，．
故答案为：<．
23．
（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点，
，
，
C点在D点的左侧，C(m-2，0)，
又点P与点C重合，，
m-2=1，m=3，
，A(3，4)，P(1，0)，
；
（2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入，
得，
顶点A在第一象限，m=2，
=，当x=1时，y=3，P(1，3)，
如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，
，，
，
设PQ延长线与x轴交于点G（x，0），
又OG=PG，，解得x=5，
检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，
G（5,0），
设直线PG的解析式为：y=kx+b，
将P，G两点坐标代入得，求得 ，
PG所在直线的解析式为，
联立直线PG和抛物线解析式可得 ，
解得或，Q；
（3）如图3，点在该抛物线上，代入中，
，，
又抛物线与y轴交于点B，B（0，），
设直线BP的解析式为：y=kx+b，
代入B、P两点，，
则，直线BP的解析式为：，
令y=0，，
直线与x轴的负半轴相交，
， 或，
解得m<-2或又顶点A在第一象限，m>0,
点A与点P不重合，，
综上所述，且．
24．
解：（1）若△BOC∽△BOA，
则，则，
∴OC=m，即点C的坐标为（m，0）；
若△BOC∽△AOB，
则，则，
∴OC=4m，即点C的坐标为（±4m，0）；
∴点C的坐标为（m，0）或（4m，0）或（-4m，0）；
（2）当△BOC与△AOB全等时，点C的坐标为（m，0），
二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，
，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+4，点C的坐标为（2，0）；
（3）作PH⊥AC于H，设点P的坐标为（a，-a2+4），
∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°-∠CPH，
∴△APH∽△PCH，
∴，
即PH2=AH CH，
（-a2+4）2=（a+2）（2-a）．
解得a=或a=，即P（，1）或（，1），
如图，
当点的坐标为，时，，，
，
；
当点的坐标为，时，，．
由三角形外角的性质，得，即．
25．
（1）把A,C坐标代入得
解得
∴抛物线的解析式为=
∴顶点D（1,-4）；
（2）∵A（3,0），C（0,-3），D（1,-4）
∴的面积为3×4-×2×4-×1×1-×3×3=12-4--=3
（3）①当P点在直线AC下方时，
∵OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，又∵∠PCA=15°
∴∠OCP=45°+15°=60°
故直线PC的倾斜角为90°-60°=30°，
设直线PC的解析式为y=x+b
把C（0，-3）代入得-3=b
∴直线PC的解析式为y=x-3
联立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
②当P’点在直线AC上方时，
∵∠OCA=45°，∠P’CA=15°
∴∠OCP’=45°-15°=30°
故直线P’C的倾斜角为90°-30°=60°，
设直线P’C的解析式为y=x+n
把C（0，-3）代入得-3=n
∴直线PC的解析式为y=x-3
联立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
综上，点P的横坐标为2+，2+．