沪教版九年级数学上册试题第二十四章相似三角形单元测试（含解析）

第二十四章 《相似三角形》 单元测试（能力提升）
一、单选题（每题2分，共20分）
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
B．相似三角形的对应高的比等于对应周长的比
C．两个等腰三角形是相似图形
D．所有的正八边形都相似
2．若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥，EF∥CD，那么一定有（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
9．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如果点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，若线段长为，那么线段的长为__________．
12．若 则的第四比例项d为_________．
13．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）
14．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
15．如图，直线∥∥，直线AF分别交，，于点A，D，F，直线BE分别交，，于点B，C，E，两直线AF，BE相交于点O．若AD＝DF，OA＝OD，则＝_____．
16．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
17．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________
18．如图，在中，，于点，于点，点在有延长线上，连接交延长线于点，，，若，则的长为_____________．
19．如图，在中，．若进行以下操作，在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点，则________．
20．如图，在中，，，点E是边上一点，以为斜边往侧作等腰，连接，若，四边形的面积为12，则_________，_________．
三、解答题（70分）
21．（5分）如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值．
22．（5分）已知，且.求证：.
23．（5分）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
24．（6分）如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM．
（1）求证：CF=EF；
（2）求证：．
25．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
26．（8分）已知：如图，在中，点．分别在，上，，点在边上，，与相交于点．
求证：
当点为的中点时，求证：．
27．（8分）如图，已知在中，AD是的中线，∠DAC=∠B，点E在边AD上，CE=CD.
（1）求证：；
（2）求证：.
28．（9分）（新概念定义）若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则．
（问题解决）
如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于．
（1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积；
（2）求证：；
（3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______．
29．（9分）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
（1）（问题发现）
①当时，______；②当时，______；
（2）（拓展研究）
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）（问题解决）
在旋转过程中，求出的最大值．
30．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF＝BE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH．
①求证：BEAB；
②图2中，若CE＝4，DG＝3，求BE的长．
答案
一、单选题
1．C
【分析】
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判断；根据相似三角形的性质可对B进行判断；利用反例可对C进行判断；根据对应边的比相等，对应角相等的两个多边形相似，可对D进行判断．
【解析】
A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、相似三角形的对应高的比等于对应周长的比，所以B选项的说法正确，不符合题意；
C、由于等腰三角形的顶角和底角都不确定，无法判定两者相似，所以C选项的说法不正确，符合题意；
D、所有的正八边形都相似，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】
由黄金分割点的定义得AC=AB，AB：AC=AC：BC，则AB=AC，BC=AB-AC=AB，即可得出结论．
【解析】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，AB：AC=AC：BC，
∴AB=AC，BC=AB-AC=AB，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】
根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
【解析】
解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==2．
∴A＜B＜C．
故选：B．
4．C
【分析】
根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项．
【解析】
解：A选项错误，
∵点D、点E是AB的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
B选项错误，无法证明；
C选项正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
D选项错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．D
【分析】
过点G作交BC于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，，进而可得，，即可得．
【解析】
解：过点G作交BC于F，如图，
，，
，
，，
，
，
，
．
故选：D．
6．C
【分析】
根据平面向量的性质，一一判断即可．
【解析】
①，该选项正确；
②若，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；
③若、是实数，则，该选项正确；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，该选项正确；
⑤如果非零向量，可得、方向相同，则与所在的直线平行，该选项正确；
⑥如果与不平行，则与也不平行，该选项错误．
综上，①③④⑤正确，共个．
故选：C．
7．B
【解析】
由DE∥BC可得 ，再由EF∥CD可得，所以，即可得 ，故选B.
8．C
【分析】
首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得,，由此即可解决问题．
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，
∴AG：AB=CH：BC=1：3，
∴GH∥AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴，
∵，
∴.
故选C．
9．B
【解析】
∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，
∴，∴DF=，∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，∴=．
故选B．
10．D
【分析】
如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【解析】
解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于N，过点D作DM⊥EC于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°，，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT中，∵FN2=NT2+FT2，
∴（4m-x）2=x2+（2m）2，
解得x=m，
∵AC=AB=6，∠CAB=90°，
∴BC=AC=12，
∴CD=BD=6，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=3，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=6，
∴EC=9=5k，
∴，
∴，
∴，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴，
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】
因为AB与 PB差4，要求AB，设AB=x，PB也就表示出来了，由AP是AB与PB的比例中项，构造方程，求出即可．
【解析】
设AB长为x，则PB=x-4，
∵AP是AB与PB的比例中项，
∴42=x(x-4)，
∴x2-4x=16，
∴(x-2)2=20，
x-2=2,舍去，
x=2+2．
故答案为：2+2．
12．
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积可得ad=bc，代入数值计算即可得出答案．
【解析】
解：∵a、b、c、d成比例，
∴ad=bc，
∴d=．
故答案为：．
13．③④⑤
【分析】
两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
14．
【分析】
根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【解析】
∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
15．
【分析】
先根据题意可得，然后再根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可解答．
【解析】
解：∵AD＝DF，OA＝OD，
∴，
∵∥∥，AD＝DF，OA＝OD，
∴＝，
故答案为．
16．①③④
【分析】
根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确
【解析】
解：在△AEF和△ABC中
∵，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；
故答案为：①③④
17．5
【分析】
根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论．
【解析】
解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴
∴
∴，即①；
∵CE是∠ACB的外角平分线，
∴
∴，即②；
①+②，得．
故答案为：5．
18．
【分析】
过F作FH⊥BA交BA延长线于H，根据题意设，BD=，利用AAS证明△ABD△CBE，求得，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解析】
过F作FH⊥BA交BA延长线于H，
∵AD⊥BC，tan∠DCA=2，
∴，
设，则，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD△CBE(AAS)，
∴BD=BE，
∴DC=AE，
设BD=BE=，
∴AE+ BE=，BD=，，
在Rt△ABD中，，
∴，
解得：，
∵CE⊥AB，FH⊥BA，
∴EM∥FH，
∴△BEM△BHF，
∴，
∵BM：MF=25：38，则BM：BF=25：63，且EM=5，
∴，
∴FH=，
∵∠BAD=∠FAH，∠ADB=∠FHA=90，
∴△AFH△ABD，
∴，
而AB=AE+BE=，BD=，
∴，
∴．
故答案为：．
19．40400
【分析】
由平行线性质到，再相加得到，再根据题意类推问题可解．
【解析】
解：
∴
以此类推，4D2E2+5D2F2=20，…，4D2020E2020+5D2020F2020=20，
4(D1E1 + D2E2 +…+ D2020E2020)+5(D1F1 + D2F2 +…+ D2020F2020)=
故答案为：40400．
20．
【分析】
如图，过点作于，过点作，交的延长线于，由面积和差关系可求，通过证明，可得，可求，由勾股定理可求，，的长，通过证明，可得，可求，，由勾股定理可求解．
【解析】
解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于，
，，
，
，
，
四边形的面积为12，
，
，
等腰，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，且
，且，
，
，
，，
，
，
故答案为：，．
三、解答题
21．
过点D作的平行线交于点P，如图
∴，
∵BD:DC=2:1 ，E是 AD 的中点，
∴，
∴
∴
22．
设，从而，，，
于是（+），
又因为，所以；
.
23．
解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
24．
（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO，
∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM，
∵∠FCO=∠EFM，
∴∠FCE=∠FEC，
∴CF=EF；
（2）∵EM⊥AB，
∴∠EMF=∠COF=90°，
∵EF=CF，∠FCO=∠EFM，
∴△EMF≌△FOC，
∴FM=OC=OB，
∵EM∥CO，
∴，
∵EM∥NO，
∴，
∴
25.
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∵BE=EC，
∴，
∵FG∥BC，
∴，
∴FG=BC=．
（2）∵
∵BE∥AD，
∴AF：AE=DF：DB=2：3，
∴．
26．
证明：∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
作交的延长线于，如图，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
27．
证明：（1）∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵CD=CE，
∴BD=CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠DAC+∠ACE，∠DAC=∠B，
∴∠BAD=∠ACE
∵△ACE∽△BAD，
∴
∴；
（2）∵△ACE∽△BAD，
∴，
∴BD CE=AE AD，
∴DC2=AD AE①．
∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，
∴
∴AC2=BC·CD=2CD2②,
∴由①②可得，.
28．
（1）解：由题意得：
以BF为公共边的“共边三角形”为：、、，
由“共边三角形”的性质：，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴；
（2）证明：由“共边三角形”的性质：
即：，
∴，
∴；
（3）解：由“共边三角形”的性质：，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
29．
（1）①在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵Rt△ABC中，，
∴，
故答案为：；
②如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）当时，的大小没有变化．
证明：在中，
∵，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴∽，
∴．
（3）如图，当点在的延长线上时，最大，其最大值为，
在中，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴．
30．
解：（1）由正方形ABCD，得 AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABE和△ADF中，
∴∠BAE=∠FAD，AE=AF．
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°．
即得∠EAF=90°，
又∵AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）①连接AC，
在正方形ABCD中，∠CAB=45°，，AB=CD，
∵AE=AF，∠EAF=90°，且AH⊥EF
∴∠EAH=45°，，
∴，
∵∠BAH=∠BAE+∠EAH=∠BAE+45°，∠CAF=∠DAF+∠DAC=∠DAF+45°，
∴∠BAH=∠CAF，
∴△ACF∽△ABH，
∴，
∴，
∵CF=CD+DF=AB+BE，
∴BEAB；
②连接BG，设BE=x，则DF=x，
∵CE＝4，DG＝3，
∴CB=x+4，FG=x+3，CG=x+4-3=x+1，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF
∴AH垂直平分EF，
∴FG=EG=x+3，
在Rt△ECG中，EG2=CG2+EC2，
∴（x+3）2=(x+1)2+16，
∴x=2，
∴BE=2