沪教版九年级数学上册试题第二十五章锐角的三角比单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪教版九年级数学上册试题第二十五章锐角的三角比单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-15 07:26:45 | ||
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文档简介
第二十五章《锐角的三角比 》单元测试
一、单选题（每题3分，共10分）
1．在△中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A． B． C． D．．
3．在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长是( ).
A． B． C． D．
6．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5 米 B．5米 C．2米 D．4米
7．如图，中，，已知，，，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A.千米 B．千米
C．千米 D．千米
10．如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．计算：（﹣π）0＋（）﹣1﹣sin60°＝_____．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝_____．
13．在中，，，，那么AB的长为__．
14．如图，在中，，，，将绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝_________．
15．如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，那么的值为______．
16．如图，是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________．
17．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．
18．中，， ，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．
三、解答题（共66分）
19．（7分）如图，在中，，．
（1）求边的长度；
（2）求的值．
20．（7分）如图，四边形是平行四边形，联结，．
（1）求的度数．
（2）求的值．
21．（9分）如图，在中，是边上的高，．
求：（1）线段的长；
（2）的值．
22．（9分）如图是某地摩天轮（图1）和示意图（图2），已知线段经过圆心且垂直于地面，垂足为点，当座舱在点时，测得摩天轮顶端点的仰角为，同时测得点的俯角为，又知摩天轮的半径为米，求摩天轮顶端与地面的距离．(精确到米)
参考数据：，
23．（10分）如图，甲、乙两栋楼的高度均为90 m．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，甲楼在乙楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为53°，甲楼在乙楼墙面上的影高为AD．已知CD=40 m，若每层楼的高度均为3 m，求点C位于第几层．（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，≈1.73，≈1.41）
24．（12分）在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1:，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:．
（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7米，求坝底将会沿方向加宽多少米？
25．（12分）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
答案
一、单选题
1．A
【分析】
直接利用正弦函数的定义即可求解.
【解析】
解：在Rt△ABC中，AB=13 ， BC=5，
∴sinA＝ =，
故选：A．
2．B
【分析】
根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．
【解析】
在中，，那么锐角的正弦=，
故选：B．
3．D
【分析】
先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．
【解析】
根据勾股定理可得：，
则；；；；
故选：D．
4．B
【分析】
过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB=2，AB=3，再根据余切的意义求出结果即可．
【解析】
解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝，
故选：B．
5．B
【分析】
要求出BC的长，可以先求出CD和BD的长，再利用勾股定理求得，可以设CD=xcm， 再根据，建立关于x的方程即可求出CD和BD的长.
【解析】
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
设CD=xcm，则AD=BD=(8-x)cm，
在Rt△BCD中，，
得 ，
解得x=3，
则8-x=5，
∴BD=5cm，CD=3cm.
在Rt△BCD中，BC= =4cm.
故选B.
6．C
【分析】
如图，斜坡AB的坡度为1：2，可设DE=x，AE=2x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列方程求解即可.
【解析】
如图，斜坡AB的坡度为1：2，设DE=x，AE=2x，
在Rt△ADE中，
∵AE2+DE2=AD2，
∴(2x)2+x2=102，
解之得
x= 2，或x= -2（舍去）.
故选C.
7．C
【分析】
利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解析】
解：∵∠C=90°，∠B=α，∠ADC=β，AB=a，
∴cosB=cosα==，
则BC=a cosα，
sinB=sinα==，
故AC=a sinα，
则tanβ=，
故DC==，
则BD=BC-DC=a cosα-，
故选：C．
8．B
【分析】
过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【解析】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC BE＝67 40＝27cm．
故选B．
9．A
【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【解析】
在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.
10．A
【分析】
根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．
【解析】
解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，
设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵DE=，
∴.
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】
先运用零次幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值化简，然后计算即可．
【解析】
解：（﹣π）0＋（）﹣1﹣sin60°
＝1＋2﹣×
＝3﹣
＝．
故填：．
12．60°
【分析】
利用正弦定义计算即可．
【解析】
解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
13．8
【分析】
根据余弦函数的定义即可直接求解．
【解析】
解：∵，
∴AB=＝＝8，
故答案为：8．
14．
【分析】
如图，过点F作FG⊥AC于G，设FG=x，由旋转得∠D=∠B，求出，，利用FG∥BC，求得FG=2AG，由此列得x=2（2x-3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF，即可求得答案．
【解析】
如图，过点F作FG⊥AC于G，
设FG=x，
由旋转得∠D=∠B，
∴，
∴，
∴，
∵AD=AB=3，
∴，
∵∠FGA=，
∴FG∥BC，
∴∠AFG=∠B，
∴，
∴FG=2AG，
∴x=2（2x-3）
解得x=2
∴FG=2，AG=1，
∴，
∴，
故答案为：．
15．3
【分析】
先构造以∠ADB为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可．
【解析】
解：如图，作正方形ABEF关于直线AB对称的正方形ABGH，连接AG，BH，相交于点O；
∵正方形ABGH，
∴∠AOD=90°，OA=OB=AG，
∵正方形和正方形的边长相等，
∴正方形和正方形的边长相等，
∴AG=BD=2OA，
∴OD=OB+BD=3OA，
∴在Rt△AOD中，
==3．
故答案为3．
16．
【分析】
延长CB、AD交于F点，作，由题意得：，，，，设，则，，，解出即可得出答案．
【解析】
解：延长CB、AD交于F点，作
小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为
在中，
又坡面的坡度为
则
设，则，
解得：
（米）
故答案为：．
17．3
【分析】
如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，接着推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出两直角边的长，再依据正切值的意义可求解．
【解析】
解：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，可知AF经过点C，BE经过点F，
设网格中的小正方形的边长为1，
则AE=AB＝，
∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°．
∴CD∥BE，
∴∠AOC＝∠ABF．
∴tan∠AOC＝tan∠ABF．
∵BF＝，
AF＝，
∴tan∠ABF＝．
∴tan∠AOC＝3．
故答案为：3．
18．
【分析】
过点作，作，，，，为垂足，根据，，，可证是直角三角形，，可求△各边长，以及的长，由可求的长，即可求的面积．
【解析】
解：过点作，作，，，，为垂足，
，，，
，
，
．
，
，
，
是平行四边形，
，，，
，
在中，，
旋转，
，，，，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
且，
，
，
故答案为．
三、解答题
19．
（1）作，垂足为点E．
∵，AB=10，
∴，
∴=6，
∴；
（2）作，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴cosC=，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
20．
解：（1）过点A作，
中
；
（2）过点作，如图，
四边形是平行四边形，
中，
．
21．
解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB=，
∴，
又∵AD=12，
∴AB=15，
∴BD==9，
又∵BC=4，
∴CD=BD-BC=9-4=5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC=BC AD=AB CE
∴×4×12=×15×CE，
∴CE=，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC=，
答：sin∠BAC的值为．
22．
解：连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，
则∠AEB=∠AEC=90°，
由题意得：点A、B在圆D上，
∴DB=DA，
在Rt△ABE中，∠BAE=15°，
∴∠DBA=∠DAB=75°，∠DAE=60°，
∵OA=10米，
∴AE=5（米），
∴BE=AE×tan15°≈5×0.27=1.35（米），
∵∠EAC=76°，
∴CE=AE×tan76°≈5×4.01=20.05（米），
∴BC=BE+CE=1.35+20.05≈21（米），
答：摩天轮顶端B与地面的距离约为21米．
23．
解：如图，过点C作CE⊥PB于点E，过点D作DF⊥PB于点F，
则∠CEP=∠DFP=90°．
设楼间距为x m．
∵∠PCE=30°，∠PDF=53°，
∴PE=CE·tan 30°=x m，PF=DF·tan 53°≈1.33x m．
∵EF=CD=40 m，
∴PF-PE=40 m，
即1.33x-x=40，
解得x≈53.1，
∴PE=x≈30.6（m），
∴AC=BE=PB-PE=90-30.6=59.4（m）．
∵每层楼高为3 m，59.4÷3=198，
∴点C位于第20层．
24．
（1）过点作于．
在△中，1∶，，且米．
∴米．
∴米．
（2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于．
在△中，1∶，且米，
∴米，米．
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．
∴．
即．
∴．
米．
答：坝底将会沿方向加宽米．
25．
解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．
一、单选题（每题3分，共10分）
1．在△中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A． B． C． D．．
3．在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长是( ).
A． B． C． D．
6．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）
A．5 米 B．5米 C．2米 D．4米
7．如图，中，，已知，，，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A.千米 B．千米
C．千米 D．千米
10．如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．计算：（﹣π）0＋（）﹣1﹣sin60°＝_____．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝_____．
13．在中，，，，那么AB的长为__．
14．如图，在中，，，，将绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝_________．
15．如图，正方形和正方形的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接、，那么的值为______．
16．如图，是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________．
17．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．
18．中，， ，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．
三、解答题（共66分）
19．（7分）如图，在中，，．
（1）求边的长度；
（2）求的值．
20．（7分）如图，四边形是平行四边形，联结，．
（1）求的度数．
（2）求的值．
21．（9分）如图，在中，是边上的高，．
求：（1）线段的长；
（2）的值．
22．（9分）如图是某地摩天轮（图1）和示意图（图2），已知线段经过圆心且垂直于地面，垂足为点，当座舱在点时，测得摩天轮顶端点的仰角为，同时测得点的俯角为，又知摩天轮的半径为米，求摩天轮顶端与地面的距离．(精确到米)
参考数据：，
23．（10分）如图，甲、乙两栋楼的高度均为90 m．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，甲楼在乙楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为53°，甲楼在乙楼墙面上的影高为AD．已知CD=40 m，若每层楼的高度均为3 m，求点C位于第几层．（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，≈1.73，≈1.41）
24．（12分）在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1:，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:．
（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7米，求坝底将会沿方向加宽多少米？
25．（12分）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
答案
一、单选题
1．A
【分析】
直接利用正弦函数的定义即可求解.
【解析】
解：在Rt△ABC中，AB=13 ， BC=5，
∴sinA＝ =，
故选：A．
2．B
【分析】
根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．
【解析】
在中，，那么锐角的正弦=，
故选：B．
3．D
【分析】
先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．
【解析】
根据勾股定理可得：，
则；；；；
故选：D．
4．B
【分析】
过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB=2，AB=3，再根据余切的意义求出结果即可．
【解析】
解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝，
故选：B．
5．B
【分析】
要求出BC的长，可以先求出CD和BD的长，再利用勾股定理求得，可以设CD=xcm， 再根据，建立关于x的方程即可求出CD和BD的长.
【解析】
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
设CD=xcm，则AD=BD=(8-x)cm，
在Rt△BCD中，，
得 ，
解得x=3，
则8-x=5，
∴BD=5cm，CD=3cm.
在Rt△BCD中，BC= =4cm.
故选B.
6．C
【分析】
如图，斜坡AB的坡度为1：2，可设DE=x，AE=2x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列方程求解即可.
【解析】
如图，斜坡AB的坡度为1：2，设DE=x，AE=2x，
在Rt△ADE中，
∵AE2+DE2=AD2，
∴(2x)2+x2=102，
解之得
x= 2，或x= -2（舍去）.
故选C.
7．C
【分析】
利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解析】
解：∵∠C=90°，∠B=α，∠ADC=β，AB=a，
∴cosB=cosα==，
则BC=a cosα，
sinB=sinα==，
故AC=a sinα，
则tanβ=，
故DC==，
则BD=BC-DC=a cosα-，
故选：C．
8．B
【分析】
过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【解析】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC BE＝67 40＝27cm．
故选B．
9．A
【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【解析】
在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AO-BO= PO- PO= . 所以答案选A.
10．A
【分析】
根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．
【解析】
解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，
设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵DE=，
∴.
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】
先运用零次幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值化简，然后计算即可．
【解析】
解：（﹣π）0＋（）﹣1﹣sin60°
＝1＋2﹣×
＝3﹣
＝．
故填：．
12．60°
【分析】
利用正弦定义计算即可．
【解析】
解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
13．8
【分析】
根据余弦函数的定义即可直接求解．
【解析】
解：∵，
∴AB=＝＝8，
故答案为：8．
14．
【分析】
如图，过点F作FG⊥AC于G，设FG=x，由旋转得∠D=∠B，求出，，利用FG∥BC，求得FG=2AG，由此列得x=2（2x-3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF，即可求得答案．
【解析】
如图，过点F作FG⊥AC于G，
设FG=x，
由旋转得∠D=∠B，
∴，
∴，
∴，
∵AD=AB=3，
∴，
∵∠FGA=，
∴FG∥BC，
∴∠AFG=∠B，
∴，
∴FG=2AG，
∴x=2（2x-3）
解得x=2
∴FG=2，AG=1，
∴，
∴，
故答案为：．
15．3
【分析】
先构造以∠ADB为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可．
【解析】
解：如图，作正方形ABEF关于直线AB对称的正方形ABGH，连接AG，BH，相交于点O；
∵正方形ABGH，
∴∠AOD=90°，OA=OB=AG，
∵正方形和正方形的边长相等，
∴正方形和正方形的边长相等，
∴AG=BD=2OA，
∴OD=OB+BD=3OA，
∴在Rt△AOD中，
==3．
故答案为3．
16．
【分析】
延长CB、AD交于F点，作，由题意得：，，，，设，则，，，解出即可得出答案．
【解析】
解：延长CB、AD交于F点，作
小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为
在中，
又坡面的坡度为
则
设，则，
解得：
（米）
故答案为：．
17．3
【分析】
如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，接着推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出两直角边的长，再依据正切值的意义可求解．
【解析】
解：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，可知AF经过点C，BE经过点F，
设网格中的小正方形的边长为1，
则AE=AB＝，
∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°．
∴CD∥BE，
∴∠AOC＝∠ABF．
∴tan∠AOC＝tan∠ABF．
∵BF＝，
AF＝，
∴tan∠ABF＝．
∴tan∠AOC＝3．
故答案为：3．
18．
【分析】
过点作，作，，，，为垂足，根据，，，可证是直角三角形，，可求△各边长，以及的长，由可求的长，即可求的面积．
【解析】
解：过点作，作，，，，为垂足，
，，，
，
，
．
，
，
，
是平行四边形，
，，，
，
在中，，
旋转，
，，，，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
且，
，
，
故答案为．
三、解答题
19．
（1）作，垂足为点E．
∵，AB=10，
∴，
∴=6，
∴；
（2）作，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴cosC=，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
20．
解：（1）过点A作，
中
；
（2）过点作，如图，
四边形是平行四边形，
中，
．
21．
解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB=，
∴，
又∵AD=12，
∴AB=15，
∴BD==9，
又∵BC=4，
∴CD=BD-BC=9-4=5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC=BC AD=AB CE
∴×4×12=×15×CE，
∴CE=，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC=，
答：sin∠BAC的值为．
22．
解：连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，
则∠AEB=∠AEC=90°，
由题意得：点A、B在圆D上，
∴DB=DA，
在Rt△ABE中，∠BAE=15°，
∴∠DBA=∠DAB=75°，∠DAE=60°，
∵OA=10米，
∴AE=5（米），
∴BE=AE×tan15°≈5×0.27=1.35（米），
∵∠EAC=76°，
∴CE=AE×tan76°≈5×4.01=20.05（米），
∴BC=BE+CE=1.35+20.05≈21（米），
答：摩天轮顶端B与地面的距离约为21米．
23．
解：如图，过点C作CE⊥PB于点E，过点D作DF⊥PB于点F，
则∠CEP=∠DFP=90°．
设楼间距为x m．
∵∠PCE=30°，∠PDF=53°，
∴PE=CE·tan 30°=x m，PF=DF·tan 53°≈1.33x m．
∵EF=CD=40 m，
∴PF-PE=40 m，
即1.33x-x=40，
解得x≈53.1，
∴PE=x≈30.6（m），
∴AC=BE=PB-PE=90-30.6=59.4（m）．
∵每层楼高为3 m，59.4÷3=198，
∴点C位于第20层．
24．
（1）过点作于．
在△中，1∶，，且米．
∴米．
∴米．
（2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于．
在△中，1∶，且米，
∴米，米．
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．
∴．
即．
∴．
米．
答：坝底将会沿方向加宽米．
25．
解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．