沪教版九年级数学上册24.2比例线段-黄金分割试题（含解析）

24.2比例线段-黄金分割
一、单选题
1．已知线段的长为a，P是线段的黄金分割点，且，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知C是AB的黄金分割点，若，则AC的长为（ ）．
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
4．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC BA
5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG、GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分割点”．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则△ADC的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
10．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
12．著名画家达·芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，得到4个全等的四边形，四边形，四边形，四边形．分别交，于点M，N，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝_____cm．（结果保留根号）
14．已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．
15．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，则AC的长为_____．
16．已知线段，点c是线段的黄金分割点，．那么________．
17．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是______．
18．如图，在中，点是线段的黄金分割点（），若的面积是，则的面积是_______．
19．已知点，在线段上，，是线段中点，是线段中点，线段，则线段__________．
20．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了有关黄金矩形的问题．并建立起比例理论，他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比．所谓黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合这一比例．则在黄金矩形中宽与长的比值是______．
21．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
22．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1 AB，则线段AP1的长度为_____；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2 AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3 AP2，依次以此类推，APn的长度为_____．
三、解答题
23．（1）已知，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．
24．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
25．已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．
求证：点C是线段AB的黄金分割点．
26．已知点是线段的黄金分割点，且，，求的长度
27．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
操作：请你在如图所示的黄金矩形中，以短边为一边作正方形；
探究：在中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
28．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
29．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
30．如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值．
31．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．
（1）请你证明这个结论；
（2）延长交于点I，则正方形与矩形的面积有怎样的关系，说出你的理由．
32．阅读与思考
（图①）
黄金分割是指把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．它们的比值为．
我们可以通过下面的方法得到线段的黄金分割点：
①过点B作，使；②连接，在上截取；③在上截取．则点C为线段的黄金分割点．
如下是证明点C是线段的黄金分割点的部分证明过程：
证明：设，则，
…
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）应用：如图②是一个包装盒的封口面，线段是这个包装盒的造型线．为了视觉美观，现要在造型线上找一点作为丝带打结点．请你用尺规作图的方式找出这个点（保留作图痕迹，不写作法）．
（图②）
33．如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是　 　；四边形CEAF面积＝　 　．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝　 　时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
答案
一、单选题
1．A
【解析】
∵线段的长为a，P是线段的黄金分割点，且，∴．
2．B
【解析】
根据黄金比值求出较长线段BC，即可得出答案．
解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
故选：B．
3．D
【解析】
根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.
解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；
B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；
D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；
故选D．
4．A
【解析】
根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴，
∴选项A符合题意，
，
∴选项D不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
故选：A．
5．A
【解析】
根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=AB，
∵AB的长度为8cm，
∴AP=×8=（cm），
∴BP=AB-AP=8-（）=．
故选：A．
6．C
【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
7．A
【解析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出CD的长度，利用三角形面积公式即可解题．
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt，AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
∴==，
故选：A．
8．D
【解析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．
【详解】
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝804040，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，
故选：D．
9．B
【解析】
设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】
解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
10．C
【解析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
【详解】
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有，说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB．BC的比例中项，说法错误；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=×2=-1，说法正确；
综上可得：①③④正确，共3个．
故选：C．
11．C
【解析】
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．
【详解】
解：根据黄金比的比值，，
则，
…
依此类推，则线段，
故选C．
12．D
【解析】
过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，设BC=a，AC=b，进而可得，则有，然后可得，则有，最后可得，则问题可求解．
【详解】
解：过点C作CP⊥DE于点P，交AB于点K，如图所示：
∵四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的，
∴，
∵，，，
∴，
易得CM=NJ，
∵，
∴，
∵AB∥ED，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BC=a，AC=b，则，
∴，
由等积法可得，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∴；
故选D．
二、填空题
13．5﹣5
【解析】
根据黄金比值是列式计算即可．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝AB＝（5﹣5）cm，
故答案为：5﹣5．
14．
【解析】
先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到，把AB=2代入计算即可．
【详解】
解：∵点P在线段AB上，AP2=AB BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
，
故答案为：．
15．或或．
【解析】
根据比例三角形的定义分AB2=BC AC、BC2=AB AC、AC2=AB BC三种情况，分别代入AB=2，BC=3进行计算可得结论
【详解】
解：∵△ABC是比例三角形，且AB＝2，BC＝3，
①当AB2＝BC AC时，得：4＝3AC，
解得：AC＝；
②当BC2＝AB AC时，得：9＝2AC，
解得：AC＝；
③当AC2＝AB BC时，得：AC2＝6，
解得：AC＝（负值已舍去）；
∴当AC＝或或时，△ABC是比例三角形．
故答案为：或或．
16．
【解析】
根据黄金比值为进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=6，
∴AC=×6=3-3，
BC=6-（3-3）=9-3，
AC-BC=3-3-（9-3）=6-12；
故答案为：
17．
【解析】
先根据黄金分割的定义求出AP，然后把AP的长度代入求出AB的长即可．
【详解】
解：为的黄金分割点（），
，
．
故答案是：．
18．．
【解析】
根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出的面积．
【详解】
解：∵在中，点是线段的黄金分割点（），
∴
∵的面积是
∴的面积
故答案为：．
19．或
【解析】
根据成比例线段的性质得AC、CD、DB的长度，再根据中点的性质即可求解．
【详解】
①如图
∵，线段
∴
∵是线段中点，是线段中点
∴
∴
②如图
∵，线段
∴
∴
∴
∵是线段中点，是线段中点
∴
∴
故答案为：或．
20．
【解析】
根据黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合黄金分割比例，所以求出黄金分割比例即可，设线段长为1，较长的部分为x，则较短的部分为1-x，根据较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比，求出x，即可得到比值．
【详解】
解：设线段长为1，较长的部分为x，则较短的部分为1-x
∴
∴x1=，x2=（舍）
∴黄金分割比例为：
∴黄金矩形中宽与长的比值：
故答案为：．
21．
【解析】
根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【详解】
∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．
故答案为：10﹣20．
22． （）n
【解析】
根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB．即可得结论．
【详解】
∵线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1 AB，
则线段AP1的长度为：；
线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2 AP1，
则线段AP2的长度为：（）2；
线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3 AP2，
则线段AP3的长度为：（）3；
依次以此类推，
APn的长度为：（）n．
故答案为：；（）n．
三、解答题
23．
解：(1)∵=，
∴可设a=3k，则b=5k，
∴==；
(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，
∴PA=AB= 1，PB=AB=3 .
故答案为（1）；（2）PA=，PB=．
24．
解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，
∴DE＝DC，
∵AD=，
∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，
即，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
25．
证明：∵AB＝2，BD＝AB，
∴BD＝1．
∵BD⊥AB于点B，
∴AD＝，
∴AE＝AD﹣DE＝﹣1，
∴AC＝AE＝﹣1，
∴AC＝AB，
∴点C就是线段AB的黄金分割点．
26．∵点是线段的黄金分割点，且，
∴
∴
∴
27．
（1）如图：
以A为圆心，在AB上截取AE=AD，以D为圆心，在DC上截取DF=DA，连接EF，所以四边形AEFD为所求作的正方形；
（2）四边形是黄金矩形．
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴四边形是矩形．
设，，则有，
∴，
∴矩形是黄金矩形．
28．
解：∵，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴，，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴，
而，
∴，
∴中线不是黄金分割线．
29．
解：（1）∵P为边AB的中点，
∴AP＝AB＝1，
∴PD＝＝＝，
∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，
∴DM＝AD－AM＝3－．
（2）证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，
AD·DM＝2(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM．
（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD DM，
∴，
∴点M是AD的黄金分割点．
30．
解：如图，设，
点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，
＞
，
正方形,正方形
，
：：
：
．
31．
证明：（1）∵四边形是正方形，
∴．
设的长为，
∵点E为的中点，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴．
∴．
∴，．
∴．
即点H为线段的黄金分割点；
（2）正方形与矩形的面积相等．理由如下：
由（1）可知，
∴，
，
∴．
32．
解：（1）∵，∴．
∴在中，，
由题意得，，∴，
∴，
∴，
∴，即点C是线段的黄金分割点；
（2）如解图，点P即为丝带打结的点．（答案不唯一，合理即可）
【解法提示】①分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，交于两点，连接这两点交于点F；
②延长至N，以点D为圆心画弧，分别交于两点；
③分别以这两点为圆心以大于某一个点到点D的距离为半径画弧，两弧交的上方于点M，连接并延长；
④以点D为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，连接；
⑤以点G为圆心，长为半径作弧交于点H；⑥再以点B为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P即为丝带打结点．
33．
解：（1）连接CD、CB，如图1所示：
∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四边形DABC是菱形
又
∴四边形ABCD是正方形，
∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB CD＝2×2＝4，
故答案为：FC，4；
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
当t＝1时，DE＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴EF＝CE＝×＝，
∵Q为EF中点，
∴CQ＝EF＝＝；
（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，
设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：
当点P在AG上时，AP最短，
此时，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝＝＝，
∴AP＝AG﹣PG＝﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝﹣1，
∴E（0，1﹣），
∴DE＝2﹣（1﹣）＝+1，
∴t＝（+1）s，
故答案为：（+1）s；
设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（2，2）、E（0，1﹣）代入解析式得：，
解得：，
∴CE的解析式为：y＝x+1﹣，
令y＝0，x＝3﹣，
∴K（3﹣，0），
∴BK＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
∴＝，
∴点K是线段AB的黄金分割点．