沪教版九年级数学上册24.3三角形一边的平行线试题 （含解析）

24.3三角形一边的平行线
一、单选题
1．如图，AC是 ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是（　　）．
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．； B．； C．； D．．
3．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，与相交于点，过点的直线交于点，交于点．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
6．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　）
A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3
7．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于
A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1
9．如图，在中，，，已知，则的长是　　
A． B．3 C． D．4
10．在中，、是边上的三等分点，是边上的中线，、分为三段的长分别是、、，若这三段有，则等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG=_________．
12．如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝________．
13．如图，G为△ABC的重心，GE∥AB，则＝_________．
14．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为__．
15．如图为的重心，交于，那么=________
16．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．
17．如图的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，如果，那么______．
18．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.
19．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
20．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
21．如图，直线，且每相邻两条直线的距离相等．若直线分别与相交于点，则为___________．
22．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
三、解答题
23．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
24．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG=AF AB．
25．已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=8，
求：① GC的长；
②过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长．
26．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．
27．如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
28．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
29．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∥AB交边AC于点F，EG∥AC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．
求证：GF = BH．
30．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DEBC．
（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；
（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．
31．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8．
求：（1）的值；
（2）线段GH的长.
32．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．
（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；
（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC AC．
答案
一、单选题
1．B
【解析】
利用平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，抓住其中的两个基本图形：“A”字型图形和“8”字型图形，列比例判断即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴，
∴选项A错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AE，CD=AB，
∴，
∴，
∴选项B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥BE，
∴，
∴选项C错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥BE，
∴，
∴选项D错误；
故选B．
2．A
【解析】
抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解.
∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，A选项正确；
∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，B选项错误；
∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，C选项错误；
∵GE∥BD，∴，D选项错误；
故选：A
3．B
【解析】
做DG∥BE，交AC于点G，得到AE=EG，，问题得解．
【详解】
解：如图，做DG∥BE，交AC于点G，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
∴AE=EG，
∵， DG∥BE，
∴，
∴．
故选：B
4．A
【解析】
根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF∥AC， DE∥AB．
∴．
故A错误；
∵ DE∥AB，
∴．
故B正确；
∵DF∥AC，
∴，．
∴．
故C正确；
∵DF∥AC，DE∥AB，
∴，．
∴．
故D正确．
故选：A．
5．B
【解析】
根据平行线分线段成比例，先将CE和CF分别用含DF的式子表示，再根据EF=CF-CE列出关于DF的方程求解即得．
【详解】
解：∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
故先：B．
6．C
【解析】
如图，作DH∥BF交AC于H．利用平行线分线段成比例定理即可解答．
【详解】
如图，作DH∥BF交AC于H．
∵DH∥BF，
∴AH：HF=AD：DB=2：1，
∴可以假设HF=a，则AH=2a．
∵FG∥DH，
∴FH：EF=DG：EG=1：2，
∴EF=2a，
∴AF=3a，
∴AF：EF=3a：2a=3：2．
故选：C．
7．C
【解析】
根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项．
【详解】
解：A选项错误，
∵点D、点E是AB的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
B选项错误，无法证明；
C选项正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
D选项错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【解析】
过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案．
【详解】
过A作AF∥BC交BM延长线于F，设，
则；
∵，∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，即，
∵∥，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
故选：C．
9．B
【解析】
由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．
【详解】
∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，
∴DG∥EH∥FI；
∴，即DG=BC；
同理可得：EH=BC，FI=BC；
∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；
故选B．
10．D
【解析】
【解析】
设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF, 作FH//BM交AC于H,根据中点的性质可得EP//MF,根据BE=EF，得到BP=PM，根据平行线分线段成比例定理可得CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,则FH:QM=AH:AM=5:3, 设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,
PQ=0.9t，即可求解.
【详解】
设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF,
因为MF//AE,所以EP//MF,又因为BE=EF,所以BP=PM
作FH//BM交AC于H,CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,
FH:QM=AH:AM=5:3,
设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t
所以BP：PQ：QM=5：3：2
即x：y：z=5：3：2
故选D.
二、填空题
11．4
【解析】
过点D作交AC于点E，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出，然后代入计算即可．
【详解】
如图，过点D作交AC于点E，
∵G是△ABC重心，
∴AD，BF都是△ABC的中线，
．
，
，
．
，
．
，
，
故答案为：4．
12．4
【解析】
连接AO并延长交BC于Q，利用重心性质得AO：OQ=2：1，则AO：AQ=2：3，再证明△AEF∽△ABC，△AEO∽△ABQ，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】
解：∵连接AO并延长交BC于Q，
∵O是△ABC的重心，
∴AO：OQ=2：1，
∴AO：AQ=2：3，
∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC，
∴
∵BC＝6，
∴EF=4．
故答案为：4．
13．
【解析】
根据重心的概念和性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案．
【详解】
解析：∵G为△ABC的重心，
∴，
∵GE∥AB，
∴
∴．
14．8
【解析】
连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CE＝DF＝4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE.
【详解】
解：连接BG并延长交AC于H，
∵G为ABC的重心，
∴2，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE＝DF＝4，
∵GE∥CH，
∴2，
∴BE＝8，
故答案为：8．
15．
【解析】
根据三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理求解即可
【详解】
根据重心性质得出：
∴MN=MC,BC=2MC
∴MN:BC=1:6
所以答案为1:6
16．12
【解析】
如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【详解】
解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案为：12．
17．6
【解析】
【解析】
根据三角形重心的性质和平行线分线段成比例解答即可．
【详解】
解：的中线AD、BE相交于点G，
，
，
，
，
故答案为6
18．2
【详解】
连接AG，并延长AG交BC于D；根据重心的性质知：D是BC中点，且AG：AD=2：3；可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CD的长求出GH的值．
解：如图，连接AG，并延长AG交BC于D；
∵G是△ABC的重心，
∴AG：GD=2：3，且D是BC的中点；
∵GH∥BC，
∴；
∵CD=BC=3，
∴GH=2．
19．
【解析】
根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【详解】
∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
20．
【解析】
过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】
∵
∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∵是的角平分线，
∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△CBE≌△GBE，
∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，
解得x=3，
∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，
∴，
∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，
∴CD=3，
∵FO∥DC，
∴，
∴，
解得OE=，
在直角三角形OEF中，，
∴EF==．
故答案为：．
21．
【解析】
根据平行线分线段成比例定理回答即可求解．
【详解】
解：如图，
过点D作EF⊥，交于点E，交于点F，交于点G，
∵，且每相邻两条直线的距离相等
∴ ，
∴=，
故答案为：
22．
【解析】
过点B作BH∥AC交EF于点H，先证明△BDH≌△CDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解．
【详解】
解：过点B作BH∥AC交EF于点H，
∴，∠C=∠DBH,
∵点是边的中点，
∴BD=CD，
∵∠BDH=∠CDF，
∴△BDH≌△CDF，
∴BH=CF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
．
三、解答题
23．
解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
24．（1）∵DE∥BC，
∴，
又，AE=3，
∴，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，
∴，
∴AD AG=AF AB．
25．
①延长CG，交AB于点H
∵G是三角形的重心
∴，AH=BH=AB
∵AB=8，∠C=90°
∴CH=4，∴CG=CH=；
②由（1）可知：
∵CG=，G为MN中点
∴MN=．
26．
解：作DH∥AC交BE于H，如图，
∵DH∥CE，
∴，
∴CE=2DH，
∵DH∥AE，
∴，
∴AE=DH，
∴．
27．
解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
28．
（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．
∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．
∴
∵，∴．
29．
证明：∵ AD是边BC上的中线，∴ BD = DC．
∵ HF∥AB，∴ ，
∴ ，
即，
∵ EG∥AC，∴ ，
∴ ，
∴ HF = BG，
又∵ HF∥BG，∴ 四边形BGFH是平行四边形，
∴ GF = BH．
30．
解：（1）设S△BDE＝x．
∵，
∵DE∥BC，
∴，
∴
∵S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，
∴，
解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3．经检验x＝3是此题的解，
∴S△BDE＝3；
（2）由（1）知，
设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，
∴，
解得，
∴．
31．（1）∵EF∥BD，
∴CF:CD=EF:BD，
∵BD=12，EF=8，
∴CF:CD=2:3，
∴DF:CD=1:3，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，
∴DF:AB=1:3；
（2）∵DF∥AB，
∴FH:AH=DF:AB=1:3，
∴AH:AF=3:4，
∵EF∥BD，
∴GH:EF=AH:AF=3:4，
∴GH:8=3:4，
∴GH=6．
32．
证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
∵ON＝OM，
∴ ，
∴MN∥CD，
又∵EN∥BD，
∴四边形DMNE是平行四边形，
在△AOM和△DON中，
∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，
∴△AOM≌△DON（SAS），
∴∠OMA＝∠OND，
∵∠OAM+∠OMA＝90°，
∴∠OAM+∠OND＝90°
∴∠AHN＝90°．
∴DN⊥ME，
∴平行四边形DMNE是菱形；
（2）如图2，
∵MN∥CD，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，
∴AD⊥DC，
又∵EN⊥DC，
∴EN∥AD，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∴，
∴AN2＝NC AC．