沪教版九年级数学上册试题 第二十四章相似三角形单元测试（含解析）

第二十四章 《相似三角形 》单元测试（基础过关）
一、单选题（每题2分，共24分）
1．下列四组数不能组成比例式的是（ ）
A．2、3、4、6 B．1、2、2、4
C．0.1、0.3、0.5、1.5 D．、、、
2．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（ ）
A．放大后，是原来的2倍 B．放大后，各边长是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍 D．放大后，面积是原来的4倍
3．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE等于（ ）
A． B． C．4 D．9
4．对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法，不正确的是（ ）
A． B．如果，那么
C． D．若非零向量，则
8．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点．则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，与均为等边三角形，O为的中点，点D在边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
11．如图，在中，的平分线交于点，在延长线上取点，作交于点，交于点，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（每题3分，共30分）
13．在比例尺为1:600000的地图上，甲乙两地的距离是3，则甲乙两地的实际距离是___千米
14．如果，那么________．
15．已知x是1和4的比例中项，则x的值为________．
16．如图，上海东方明珠塔高约，若A是塔身的黄金分割点，则点A到塔底的距离约是______（精确到）．
17．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
18．如图，G为△ABC的重心，GE∥AB，则＝_________．
19．如图，已知直线，，分别交直线l于点A，B，C，交直线l于点D，E，F，且，，，，则___．
20．如图，在中，点D是边BC的中点，设 ， ，用、的线性组合表示是 ____________．
21．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．
22．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
三、解答题（66分）
23．（7分）已知，求的值．
24．（7分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
25．（8分）如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
26．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设，，那么________，__________（用向量、表示）
27．（8分）如图，建筑物BC上有一个旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点在一条直线上，点在一条直线上，均垂直于，根据以上信息，请求出这座建筑物的高．
28．（8分）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
29．（9分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，
（1）求证：；
（2）求证：．
30．（9分）如图，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE＝BA，过点A作AG∥DE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2＝BG BC；
（3）若AB＝AC，BG＝CE，联结AE，求的值．
答案
一、单选题
1．D
【分析】
根据比例的定义，把能够组成比例的选项写成比例式．
【解析】
A选项：；
B选项：；
C选项：；
D选项不能组成．
故选：D．
2．A
【分析】
用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
【解析】
解：因为放大前后的三角形相似，
放大后三角形的内角度数不变，
面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
故选A．
3．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解析】
解：∵ED∥BC，
∴ ，
即，
∴AE＝4，
故选：C．
4．B
【分析】
根据向量的概念可得出正确答案．
【解析】
解：根据向量的概念，知：
A、C、D正确；
B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误．
故选：B．
5．B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可.
【解析】
∵AD//BE//CF
∴，A不成立，
∵AD//BE//CF
∴，C不成立；
∴，D不成立；
∵AD//BE//CF
∴，B成立 ；
故选：B
6．A
【分析】
利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【解析】
解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
7．B
【分析】
根据平面向量的三角形法则，平行向量的判定，向量的加法交换律等知识一一判断即可．
【解析】
A、正确．∵；
B、错误．模相等的向量不一定相等，符合题意；
C、正确．根据向量加法的运算法则可知该结论正确．不符合题意；
D、正确．根据平行向量的判定得出结论．不符合题意．
故选B．
8．C
【分析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
【解析】
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有，说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB．BC的比例中项，说法错误；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=×2=-1，说法正确；
综上可得：①③④正确，共3个．
故选：C．
9．A
【分析】
根据中位线定理证明△NDM∽△NBC后求解．
【解析】
解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，
∴DM∥BC，DM=ME=BC，
∴△NDM∽△NBC，
∴,
∴，
故选：A．
10．A
【分析】
连接、，由已知可以推出，推出，根据锐角三角函数即可推出的值．
【解析】
解：连接、，
与均为等边三角形，为、的中点，
，，，，
，
，
即，
，
．
故选：．
11．D
【分析】
由平行推出相似三角形，根据相似三角形的判定与性质，同时结合三角形的角平分线定理即可求出答案
【解析】
∵
∴，
∴，
故A正确；
如图所示：作，，
∵CD平分
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
故B正确；
∵
∴，，
∴，
∵CD平分
∴
∴
∴
∴
故C正确；
由D选项的等式可知需要证明，结合题目已知条件无法证明其成立，
故D错误；
故选：D．
12．D
【分析】
延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，根据折叠的正方形的性质得到，在中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【解析】
解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，
∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
13．18
【分析】
这道题是已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷比例尺=实际距离列式求得实际距离，即可解答．
【解析】
解：根据题意，设实际距离为x cm，则
，
∴；
故答案为：18．
14．5：3
【分析】
根据比例式的性质求解即可求得答案．
【解析】
解：∵a：b=2：3，
∴（a+b）：b=，
故答案为：5：3．
15．．
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积可得方程，再解即可．
【解析】
解：由题意，则
，
解得：，
故答案为：．
16．289.2
【分析】
根据黄金分割点的概念，结合图形可知点A到塔底部的距离是较长线段，进一步计算出长度．
【解析】
解：根据题意得：点A到塔底部的距离0.618×468≈289.2米．
故答案为：289.2．
17．
【分析】
根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【解析】
解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
18．
【分析】
根据重心的概念和性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案．
【解析】
解析：∵G为△ABC的重心，
∴，
∵GE∥AB，
∴
∴．
19．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解析】
∵，，，
∵
即,
可得：DE=,
故答案为：．
20．
【分析】
先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得．
【解析】
，，
，
点D是边BC的中点，
，
，
故答案为：．
21．．
【分析】
过点E作EG∥AD交BC于G，然后判断出DF是△BEG的中位线，从而求出BD＝DG，再求出AE：AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求解．
【解析】
解：如图，过点E作EG∥AD交BC于G，
∵，
∴DF是△BEG的中位线，
∴BD＝DG，
∵，
∴AE：AC＝1：3，
∵EG∥AD，
∴DG：DC＝AE：AC＝1：3，
∴BD：DC＝．
故答案是：．
22．或．
【分析】
先画草图借草图分析．如图
重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值．
【解析】
由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：
第一种情况
如图1
当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．
∵∠BCA=90°
∴∠MNC=∠BCA
又由对折知：∠MCN=∠A
∴△MCN∽△ABC
由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得
（㎝）；
第二种情况
如图2
当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．
∵∠C=90°
∴∠C=∠NMB
又由对折知∠A=∠NBM
∴△ABC∽△BNM
∴
又由对折知
∴（㎝）．
综上分析得MN=㎝或㎝．
故答案为：或．
三、解答题
23．
解：设，
则x=3k，y=4k，z=7k，
∴．
24．
解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
25．
（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．
∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．
∴
∵，∴．
26．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴3，
∴3，
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵，AC＝2AO，
∴2，
∵2，ECBC，
∴，
∵AD∥BE，
∴，
∴BGBD，
∵222，
∴（22），
故答案为，．
27．
解：由题意可得，
，
即，
，
由题意可得，，
，
即，
，
，
，
这座建筑物的高为 米．
28．
（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
在和Rt△DCE中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
29．
解：（1）∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴∠AEB＝∠DCE，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
30．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵BA＝BE，BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SAS），
∴AF＝EF，
同理可得△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，
∵AG∥DE，
∴∠AFD＝∠EDF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∴AF＝FE＝ED＝DA，
∴四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，
∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形AFED是菱形，
∴AD∥FE，
∴∠BEF＝∠C，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠ABG＝∠CBA，
∴△ABG∽△CBA，
∴，
即AB2＝BG BC．
（3）解：如图，
∵AB＝AC，
∴∠ABG＝∠C，
∵∠BAG＝∠C，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，
∴∠AGC＝2∠BAG，
∵BG＝CE，
∴BE＝CG，
∴CG＝CA，
∴∠CAG＝∠CGA，
∵∠CAG＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴∠DEA＝∠ACB，
∴△DAE∽△ABC，
∴，
∵AB2＝BG BC，AB＝BE，
∴BE2＝EC BC，
∴点E是BC的黄金分割点，
∴，
∴，
∵∠EAC＝∠C，
∴CE＝AE，
∴，
∴．