2024年 5月山东省淄博市高二 (下)期中数学—淄博六中
（考试时间：120分钟满分 150分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.等比数列 {an}满足：a1+ a2= 3，a23= 2a4，则 a10等于 ( )
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
2.乘积 x1+x2+ +x6 y1+y2+ +y7 展开后的项数为 ( )
A. 6 B. 7 C. 13 D. 42
3.已知数列 an 为等差数列，a1+ a2+ a3= 9，a3+ a7= 10，则 a8= ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.函数 y= lnx+ 1x - 1的大致图象是 ( )
A. B. C. D.
5.某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N 4,σ2 σ>0 ，且使用寿命不少于 2年的概
率为 0.9，则该品牌手机电池至少使用 6年的概率为 ( )
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1
4
6. x+ 1 -2 的展开式中有理项的项数为 ( )x
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.如图，在杨辉三角中，斜线 l的上方从 1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，
10 1 1 1 1， ，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列 an ，则 a + a + a + +1 2 3 a
=
2020
( )
A. 2020 B. 2019 4021 40402021 2020 C. 2020 D. 2021
8.已知不等式 aex x+2 < x+ 1恰有 1个整数解，则实数 a的取值范围为 ( )
A. 1 2 13e , e B. 3e ,
2 C. 2 , 1 D. 2 , 1e 3e 2 3e 2
·1·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9.已知数列 an 是等比数列，则下列结论中正确的是 ( )
A.若 a3= 2，a7= 32，则 a5=±8
B.数列 a2n 是等比数列
C.若数列 an 的前n项和S = 3n-1n + r，则 r=- 13
D.若首项 a1> 0，公比 q> 1，则数列 an 是递减数列
10.下列命题中，正确的是 ( )
A. 2随机变量X服从二项分布B n,p ，若E X = 30，D X = 20，则 p= 3
B.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷 5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，
1 31
已知每次投中的概率为 2，则游戏者闯关成功的概率为 32
C. 9从 3个红球 2个白球中，一次摸出 3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布，E X = 5
D.某人在 10次射击中，击中目标的次数为X，X B 10,0.6 ，则当且仅当X= 6时概率最大
11.下列说法正确的是 ( )
A. x2+x+y 5 的展开式中，x5y2的系数为 30
B.将标号为 1，2，3，4，5，6的 6张卡片放入 3个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，2的
卡片放入同一信封，则不同的方法共有 36种
C.已知A3n=C4n，则n= 27
D.记 2+x 7 = a0+ a1 1+x + a2 1+x 2 + +a7 1+x 7 ，则 a1+ a2+ +a6= 126
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知各项都为正数的等比数列 an ，若 a8a2+ 5a5= 14，则 log2a1+ log2a2+ log2a3+ +log2a9= .
13.若函数 f x = kx- 6lnx- x2在区间 1,+∞ 上单调递减，则实数 k的取值范围为 .
14.甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门 3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每
3 2
次射门射进的概率均为 4，乙每次射门射进的概率均为 3，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次
射门未射进，则乙赢的概率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知等差数列 an 的前n项和为S ，且 S +n2n n 也是等差数列．
(1)求数列 an 的公差；
(2) a =-1 4n
2
若 1 ，求数列 a a 的前n项和Tn．n n+1
·2·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
16.在多项式 (1- 2x)5= a0+ a1(x- 1) + a2(x- 1)2+ +a5(x- 1)5中，求：
(1)a0和 a4的值；
(2) (a0+ a2+ a4) (a1+ a3+ a5)的值；
(3) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 的值；
(4) 1-2x 5 展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
17.已知函数 f(x) = 2lnx- 12 ax
2+ (2a- 1)x(a> 0)．
(1)若曲线 y= f(x)在点 (1,f(1))处的切线经过原点，求 a的值；
(2)设 g(x) = x2- 2x，若对任意 s∈ (0,2]，均存在 t∈ (0,2]，使得 f(s)< g(t)，求 a的取值范围．
·3·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
18.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收
氧气量若超过平时的 7- 8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧
状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对
男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为 200，统计得到以下 2× 2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 120 80 200
女生 100 100 200
合计 220 180 400
(1)试根据小概率值 α= 0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽
取 9人，再从这 9人中抽取 3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的 3人中女生的人数，求X的分布
列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取 12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，
求Y的数学期望．
2= n(ad-bc)
2
附：χ ( + ，其中n= a+ b+ c+ d．a b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
·4·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
19.已知函数 f(x) = lnx+ 12 a(x- 1)
2．
(1)当 a=- 12 时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 g(x) = f(x) - 2x+ 1有两个极值点 x1,x2，且 g(x1) + g(x2)≥-1- 32a，求 a的取值范围．
·5·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}2024年 5月山东省淄博市高二 (下)期中数学—淄博六中
（考试时间：120分钟满分 150分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.等比数列 {an}满足：a1+ a2= 3，a23= 2a4，则 a10等于 ( C )
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
【答案】C
a1+a2=a1(1+q)=3 a1=1【详解】 9 a23=2a4 a3=2q=a 21q = 则 a10= 2 = 512q 2
故选：C .
2.乘积 x1+x2+ +x6 y1+y2+ +y7 展开后的项数为 ( D )
A. 6 B. 7 C. 13 D. 42
【答案】D
【详解】乘积 (x1+ x2+ +x6) (y1+ y2+ +y7)展开后的项数为C16 C17= 42．
故选：D．
3.已知数列 an 为等差数列，a1+ a2+ a3= 9，a3+ a7= 10，则 a8= ( C )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【详解】由 a1+ a2+ a3= 3a2= 9，故 a2= 3，由 a3+ a7= 2a5= 10，故 a5= 5，
又 a2+ a8= 2a5，即有 3+ a8= 2× 5= 10，故 a8= 7.
故选：C .
4. 1函数 y= lnx+ x - 1的大致图象是 ( A )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】x= e时时，y= lne+ 1e - 1=
1
e > 0，排除CD；
x= 1e 时，y= ln
1
e + e- 1= e- 2> 0，排除B，
故选：A．
5.某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N 4,σ2 σ>0 ，且使用寿命不少于 2年的概
率为 0.9，则该品牌手机电池至少使用 6年的概率为 ( D )
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.1
【答案】D
【详解】由题得：P x≥2 = 0.9，故P x<2 = 0.1，
6+2
∵ 2 = 4，∴根据对称性得：P x≥6 =P x<2 = 0.1.
·1·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
故选：D.
1 46. x+ -2 的展开式中有理项的项数为 ( C )x
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
4 4 ( x-1)8
【详解】解： x+ 1 -2 = x-2 x+1 =x x x2 .
8-r 2- r
又 ( x- 1)8的展开式的通项Tr+1=Crx 2 (-1)r
T
，所以 r+1 =Cr8 2 8(-1)
rx 2 .
x
当 x的指数是整数时，该项为有理项，所以当 r= 0，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为 5.
故选：C .
7.如图，在杨辉三角中，斜线 l的上方从 1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，
10， 1 1 1 1，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列 an ，则 a +1 a
+ a + + a =2 3 2020
( D )
A. 20202021 B.
2019 4021 4040
2020 C. 2020 D. 2021
【答案】D
【详解】根据题意数列 an 中 a1= 1,a2= 3,a3= 6,a4= 10 ,观察数列特点可知 an- an-1=n,利用累加法
n n+1
可求得得 an= 2 ，
∴ 1 = 2a = 2
1 - 1
n n-1 n n+1 ∴
1 + 1 1 1 1 1 1 1，
n a1 a
+
2 a
+ +
3 a
= 2 - + 2 - +
2020 1 2 2 3
+2 12020 -
1 4040
2021 = 2021 .
故选:D.
8.已知不等式 aex x+2 < x+ 1恰有 1个整数解，则实数 a的取值范围为 ( D )
A. 1 , 2 B. 1 , 2 C. 2 , 1 D. 2 13e e 3e e 3e 2 3e , 2
【答案】D
aex x+2 < x+ 1 a x+2 < x+1【详解】由不等式 ，可得 ，
ex
设 g x = a x+2 ，f x = x+1
ex
，
f x = -x则
ex
，
当 x< 0时，f x > 0，f x 在 -∞,0 上单调递增，
当 x> 0时，f x < 0，f x 在 0,+∞ 上单调递减，
·2·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
当 x= 0时，f x 取极大值 1.
又 f -1 = 0，且 x> 0时，f x > 0，
直线 g x = a x+2 恒过点 -2,0 ，
当 a> 0时，作出 g x = a x+2 与 f x = x+1 x 的图像如下所示，e
f 0 >g 0
g x < f x 2 1 恰有 1个整数解，只需要满足 ≤ ，解得 ≤ a< ，f 1 g 1 3e 2
当 a≤ 0时，显然 g x < f x 有无穷多个整数解，不满足条件，
2 1
所以 a的取值范围为
3e , 2 .
故选:D.
·3·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9.已知数列 an 是等比数列，则下列结论中正确的是 ( BC )
A.若 a3= 2，a7= 32，则 a5=±8
B.数列 a2n 是等比数列
C.若数列 a 1n 的前n项和S = 3n-1n + r，则 r=- 3
D.若首项 a1> 0，公比 q> 1，则数列 an 是递减数列
【答案】BC
【详解】设等比数列 an 的首项为 a1，公比为 q，q≠ 0，
A选项，由于 a = a q25 3 ，所以 a5与 a3的符号相同，所以A选项错误.
a2 2
B选项， n+1
a q
2 =
n = q2，
an a
2
n
所以数列 a2n 是首项为 a21，公比为 q2的等比数列，B选项正确.
C选项，a1=S1= 1+ r，
当n≥ 2时，a =S -S = 3n-1- 3n-2= 2 3n-2n n n-1 n≥2 ，
则 a2= 2,a3= 6，
由于 a 是等比数列，所以 22n = 1+r × 6,r=- 13，C选项正确.
D选项，若首项 a1> 0，公比 q> 1，则 a2= a1q> a1，所以D选项错误.
故选：BC
10.下列命题中，正确的是 ( BCD )
A.随机变量X服从二项分布B n,p ，若E X = 30 D X = 20 p= 2 ， ，则 3
B.某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷 5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，
1 31
已知每次投中的概率为 2，则游戏者闯关成功的概率为 32
C.从 3个红球 2个白球中，一次摸出 3 9个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布，E X = 5
D.某人在 10次射击中，击中目标的次数为X，X B 10,0.6 ，则当且仅当X= 6时概率最大
【答案】BCD
1
【详解】A：E X =np= 30,D X =np 1-p = 20，可得 p= 3，A错；
5
B：利用间接法有 p= 1- 12 =
31
32，B对；
1 2 2 1
C：X= 1, , = = C3C2 = 3 = = C3C2 3，P X 1 ，P X 2 2 6 3
C35 10
=
C35 10
= 5，
3
P X=
C
3 = 33 =
1 3 3 1 18 9
10，则期望E X = 1× 10 + 2× 5 + 3× 10 = 10 = 5 ,故C正确；C5
D：X~B 10,0.6 ，所以E(X) =np= 6，当X= 6时概率最大，所以D对.
故选：BCD.
11.下列说法正确的是 ( ACD )
A. x2+x+y 5 的展开式中，x5y2的系数为 30
B.将标号为 1，2，3，4，5，6的 6张卡片放入 3个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，2的
·4·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
卡片放入同一信封，则不同的方法共有 36种
C.已知A3n=C4n，则n= 27
D.记 2+x 7 = a0+ a1 1+x + a2 1+x 2 + +a7 1+x 7 ，则 a1+ a2+ +a6= 126
【答案】ACD
【详解】A选项： x2+x+y 5 的展开式中，x5y2的系数为C25 C13 C22= 30，故A正确；
B选项：将标号为 1，2，3，4，5，6的 6张卡片放入 3个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，
1 C
2
2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有C 43 2 A
2
2= 18种 (先抽一个信封装卡片 1和 2，再将 3、4、A2
5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误；
C选项：∵A3n=C4n，
∴ n! = n! 1 1n-3 = 4! n= 4× 3× 2× 1+ 3= 27，故C正确； n-3 ! 4!× n-4 !
D选项：∵ 2+x 7 = a0+ a1 1+x + a2 1+x 2 + +a7 1+x 7 ，
∴ a7=C77= 1；
令 x= 0得，a0+ a 71+ a2+ +a7= 2 = 128；
令 x=-1得，a0= 1；
∴ a1+ a2+ +a6= a0+a1+a2+ +a6+a7 - a0- a7= 126，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知各项都为正数的等比数列 an ，若 a8a2+ 5a5= 14，则 log2a1+ log2a2+ log2a3+ +log2a9= 9 .
【答案】9
【详解】已知各项都为正数的等比数列 {an}，且 a8 a2+ 5a5= 14，
所以 a25+ 5a5= 14，解得 a5= 2或 a5=-7(舍去)，
所以 log2a1+ log2a2+ log2a3+ +log2a9= log a 92 1 a2 a3 a9 = log2a5= 9log2a5= 9log22= 9.
故答案为：9.
13.若函数 f x = kx- 6lnx- x2在区间 1,+∞ 上单调递减，则实数 k的取值范围为 -∞,4 3 .
【答案】 -∞,4 3
【详解】因为 f x = kx- 6lnx- x2，则 f (x) = k- 6x - 2x，
6
由题意可知：f (x) = k- x - 2x≤ 0在 x∈ [1, +∞)上恒成立，
整理可知 k≤ 2x+ 6x 对 x∈ [1, +∞)恒成立，
因为 2x+ 6x ≥ 2 2x
6
x = 4 3，当且仅当 2x=
6
x，即 x= 3时，等号成立，
则 k≤ 4 3，即实数 k的取值范围为 -∞,4 3 .
故答案为： -∞,4 3 .
14.甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门 3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每
3 2
次射门射进的概率均为 4，乙每次射门射进的概率均为 3，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次
109
射门未射进，则乙赢的概率为 216 ．
109
【答案】216
1 C1× 2 1- 2 × 2 × 1- 3
2
【详解】若乙射进 次，则他赢的概率为 3 3 3 4 =
1
72；
·5·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
2 2
若乙射进 2次，则他赢的概率为C2× 1- 2 × 2 × 1- 3 3 3 3 4 =
7
36；
2 3 8
若乙射进 3次，则他赢的概率为 3 = 27；
1 7 8 109
故乙赢的概率为 72 + 36 + 27 = 216 .
109
故答案为：216 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且 S +n2n 也是等差数列．
(1)求数列 an 的公差；
2
(2)若 a1=-1 4n，求数列 a a 的前n项和Tn．n n+1
【答案】(1) - 2
(2)Tn=n+ n2n+1
【详解】(1)设数列 {an}的公差为 d，则 an= a1+ (n- 1)d= dn+ a1- d.
因为 {S +n2n }是等差数列，所以Sn+1+ (n+ 1)2-Sn-n2为常数，Sn+1+ (n+ 1)2-S 2n-n = an+1+ 2n
+ 1=nd+ a1+ 2n+ 1= (d+ 2)n+ a1+ 1,
所以 d+ 2= 0,解得 d=-2，即公差为-2.
(2)因为 a1=-1,所以 an=-2n+ 1.
4n2 = 4n
2 1 1 1 1
可得 anan+1 (-2n+1)(-2n-1)
= 1+ (2n-1)(2n+1) = 1+ 2 2n-1 - 2n+1 ，
T =n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 n故 n 2 1- 3 + 3 - 5 + + 2n-1 - 2n+1 =n+ 2 1- 2n+1 =n+ 2n+1 .
·6·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
16.在多项式 (1- 2x)5= a0+ a1(x- 1) + a2(x- 1)2+ +a5(x- 1)5中，求：
(1)a0和 a4的值；
(2) (a0+ a2+ a4) (a1+ a3+ a5)的值；
(3) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 的值；
(4) 1-2x 5 展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
【答案】(1) - 1，-80
10
(2) 3 -14
(3)35
(4)系数最大的项为 80x4，二项式系数最大的项为 40x2, -80x3
【详解】(1)令 x= 1，可得 1-2 5 = a0，所以 a0=-1；
因为 1-2x 5 = -1-2 x-1 5，
所以由通项T =Ck -1 5 -kk+1 5 -2 k x-1 k 可得 a 44=C5 -1 × -2 4 =-80.
(2)令 x= 2，则 a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5=-35，①
令 x= 0，则 a0- a1+ a2- a3+ a4- a5= 1，②
5
a + a + a = -3 +1 -3
5-1
由①②解得 0 2 4 2 ,a1+ a3+ a5= 2 ，
10
所以 (a0+ a + a ) (a + a + a ) = 3 -12 4 1 3 5 4 .
(3) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 与 1+2 x-1 5展开式的系数之和相等，
令 x- 1= 1，可得 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 35.
(4) 1-2x 5 展开式的通项为Tr+1=Cr5 -2 r xr，r∈ 0,1,2,3,4,5 ，
因为 r为奇数时为系数为负数，
所以当 r= 0时，C05 -2 0 x0= 1；
当 r= 2时，C25 -2 2 x2= 40x2，
当 r= 4时，C45 -2 4 x4= 80x4，
所以 1-2x 5 展开式中系数最大的项为 80x4；
1-2x 5 展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，T =C2 -2 2 x23 5 = 40x2,T4=C35 -2 3 x3=
-80x3.
17. 1已知函数 f(x) = 2lnx- ax22 + (2a- 1)x(a> 0)．
(1)若曲线 y= f(x)在点 (1,f(1))处的切线经过原点，求 a的值；
(2)设 g(x) = x2- 2x，若对任意 s∈ (0,2]，均存在 t∈ (0,2]，使得 f(s)< g(t)，求 a的取值范围．
·7·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
【答案】(1)a= 4；(2) (0,1- ln2).
【详解】(1)由 f(x) = 2lnx- 12 ax
2+ (2a- 1)x (a> 0)，可得 f (x) = 2x - ax+ 2a- 1．
因为 f (1) = 2- a+ 2a- 1= a+ 1，f(1) =- 12 a+ 2a- 1=
3
2 a- 1，
所以切点坐标为 1, 3a2 -1 ，切线方程为：y-
3a
2 -1 = a+1 (x- 1)，
3a
因为切线经过 (0,0)，所以 2 - 1= a+ 1，解得 a= 4．
(2)由题知 f(x) 1的定义域为 (0, +∞)，f (x) =- x [ax
2- (2a- 1)x- 2]，
令 f (x) = ax2- (2a- 1)x- 2= 0 1，解得 x=- a 或 x= 2，
a> 0, - 1 < 0 - 1因为 所以 a ，所以 a < 2，
令 f (x)> 0，即 ax2- (2a- 1)x- 2< 0 1，解得：- a < x< 2，
1
令 f (x)< 0，即 ax2- (2a- 1)x- 2> 0，解得：x<- a 或 x> 2，
所以 f(x)增区间为 (0,2)，减区间为 (2, +∞)．
因为 g(t) = t2- 2t= t-1 2 - 1，所以函数 g(t)在区间 (0,2]的最大值为 0，
函数 f(s)在 (0,2)上单调递增，故在区间 (0,2]上 f(s)max= f(2) = 2ln2+ 2a- 2，
所以 2ln2+ 2a- 2< 0，即 ln2+ a- 1< 0，故 a< 1- ln2，
所以 a的取值范围是 (0,1- ln2).
·8·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
18.长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收
氧气量若超过平时的 7- 8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧
状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对
男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为 200，统计得到以下 2× 2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男生 120 80 200
女生 100 100 200
合计 220 180 400
(1)试根据小概率值 α= 0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽
取 9人，再从这 9人中抽取 3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的 3人中女生的人数，求X的分布
列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取 12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，
求Y的数学期望．
2= n(ad-bc)
2
附：χ ( + )( + )( + )( + )，其中n= a+ b+ c+ d．a b c d a c b d
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)可以认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
(2)分布列见解析
(3) 335
【详解】(1)解：零假设H0:学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，
根据题意，由 2× 2列联表中的数据，
2= 400×(120×100-80×100)
2
χ 400可得 200×200×220×180 = 99 ≈ 4.040> 3.841，
所以在 α= 0.050的独立性检验中，可以推断H0不成立，
即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取 9人，
其中男生的人数为 9× 80 10080+100 = 4人，女生的人数为 9× 80+100 = 5人，
从 9人中随机抽取 3人，所以随机变量X的可能取值为 0,1,2,3，
3 2 1
可得P( = )= C4 1 C4CX 0 5 5
C3
=
9 21
,P(X= 0) = = ，
C39 14
C1 2 3
P(X= 2) = 4C5 = 10 C3 21 ,P(X= 3) =
5 5
C C3
= ，
9 9 42
则随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
1 5 10 5
P
21 14 21 42
(3) 11解：由题意知，任抽 1人喜欢长跑的概率为 p= 20，
·9·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
所以随机变量Y服从二项分布，即Y B 12, 11 11 3320 ，所以E Y = 12× 20 = 5 .
·10·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
19.已知函数 f(x) = lnx+ 12 a(x- 1)
2．
(1)当 a=- 12 时，求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 g(x) = f(x) - 2x+ 1有两个极值点 x1,x2，且 g(x1) + g(x2)≥-1- 32a，求 a的取值范围．
【答案】(1)增区间 (0,2)，减区间 (2, +∞)
(2) [1, +∞)
【详解】(1)当 a=- 12 时，f(x) = lnx-
1
4 (x- 1)
2，x> 0，
( ) = 1 - 1 ( - )=- (x-2)(x+1)则 f x x 2 x 1 2x ，
当 x∈ (0,2)，f (x)> 0，f(x)单调递增，当 x∈ (2, +∞)，f (x)< 0，f(x)单调递减，
所以 f(x)的单调递增区间是 (0,2)，单调递减区间是 (2, +∞)；
(2)g(x) = f(x) - 2x+ 1= lnx+ 1 22 a(x- 1) - 2x+ 1，
2
( ) = 1 + ( - )- = ax -(a+2)x+1所以 g x x a x 1 2 x ，
设 φ(x) = ax2- (a+ 2)x+ 1，令 φ(x) = 0，由于 g(x)有两个极值点 x1,x2，
Δ=(a+2)
2-4a=a2+4>0
所以 x1+x2=
a+2
a >0 ，解得 a> 0．
1 x1x2= a >0
由 x1+ x = a+2 12 a ，x1x2= a，
得 g x1 + g x2 = lnx + 11 2 a x1-1
2 - 2x1+ 1+ lnx2+ 12 a x
2
2-1 - 2x2+ 1
= ln x1x 12 + 2 a x
2
1+x2 -2x1x2-2 x1+x2 +2 - 2 x1+x2 + 2
= ln 1 + 1 a
2
a+2 - 2 -2 a+2 +2 a 2 a a a - 2
a+2
a + 2
= ln 1 a 2 3a + 2 - a - 1≥-1- 2a，
即 lna- 12 a-
1
a ≤ 0
1 1
，令m(a) = lna- 2 a- a ，
(a-1)2
则m (a) = 1 1 1a - 2 - 2 =- ≤ 0，2a 2a2
所以m(a)在 (0, +∞)上单调递减，且m(1) = 0，
所以 a≥ 1，故 a的取值范围是 [1, +∞)．
·11·
{#{QQABDYgEoggAAJIAARgCUwXwCAGQkBGCAIoGRFAIoAAASAFABAA=}#}
