雅礼教育集团 2024年上期期中考试
高二数学试卷
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 已知U {1,2,3,4,5,6}, A {2,4,5}，B {1,3,5} A B ，则 U （ ）
A. {1,3, 4} B. {3,4} C. {2,4,6} D. {2, 4}
【答案】D
【解析】
【分析】先求集合 B的补集，再结合交集运算可得答案.
【详解】因U {1,2,3,4,5,6}, A {2,4,5},B {1,3,5}，则 UB {2,4,6}，
故 A∩ UB {2,4}．
故选：D．
2. 复数 z满足 (2 i)z 3 i，则 z 等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求得复数 z再去求其模 z 即得.
3 i 3 i z
2 i 5 5i
【详解】由 2 i z 3 i，可得 1 i
2 i 2 i ，2 i 5
则 z 12 1 2 2 .
故选：B
2 2
3.“0 k 1 x y”是“方程 1表示双曲线”的
2 k
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
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x2 y2
【分析】若方程 1表示双曲线，则有 k 0，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
2 k
x2 y2
【详解】因为方程 1表示双曲线等价于 k 0，
2 k
2 2
所以“0 k 1 x y”，是“方程 1表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A.
2 k
【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.
xf 4x x 1 4. 已知函数 ，则 f f 1
log2 x x 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
4
x x 1
【详解】函数 f x
，
log2x x 1
有 f 1 log21 0， f f 1 f 0 40 1 .
故选 B.
5. 已知 Sn是等差数列 an 的前 n项和，且满足 a2 4,S4 22，则 S5 （ ）
A. 65 B. 55 C. 45 D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的基本量法及前 n项和定义求得公差d ，然后计算出a3，再由等差数列的性质求得 S5 .
【详解】设数列的公差为d ，则 S4 4 d 4 4 d 4 2d 22, d 3 ，
5 a a
a3 a
2 d 7,S5
1 5 5a3 35．2
故选：D
6. 有 5名志愿者去定点帮扶 3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多
安排 2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A. 180种 B. 150种 C. 90种 D. 60种
【答案】C
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【解析】
【分析】根据题意，结合排列组合的知识，先分组再分配，即可得到结果.
【详解】由题意得，先将 5名志愿者分成 3组，只有 2,2,1一种情况，
C25 C
2 1
3 C1
即 2 15种分组方法，A2
3
再将 3组志愿者分配给 3为位老人，则共有15A3 90种安排方法.
故选：C
7. 关于函数 f (x) x3 3x 1，下列说法正确的是（ ）
① f (x)有两个极值点 ② f (x)的图象关于原点对称
③ f (x)有三个零点 ④ f (x)在 ( 1,1)上单调递减
A.①④ B.②④ C.①③④ D.①②③
【答案】C
【解析】
【分析】求得，利用导数可知 f (x)的单调性和极值，即可判断①④，根据极值的符号性判断零点的个数，
即可判断③；取特指判断奇偶性，即可判断②.
【详解】函数 f (x) x3 3x 1的定义域为R，求导得 f (x) 3x 2 3 3(x 1)(x 1) ，
当 x 1或 x 1时， f (x) 0，当 1 x 1时， f (x) 0，
可知函数 f (x)在 ( , 1), (1, )上单调递增，在 ( 1,1)上单调递减，故④正确；
因此 f (x)的极大值为 f ( 1) 3，极小值为 f (1) 1，故①正确；
而 f ( 1) 3 0, f (1) 1 0，
且当 x趋近于 时， f x 趋近于 ，当 x趋近于 ， f x 趋近于 ，
因此函数 f (x)有三个零点，③正确；
又因为 f (0) 1，则函数 f (x)不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误.
故选：C
2 2
8. 已知椭圆 C x y： 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1， F2，P为 C上一点，满足 PF1 PF ，a2 b2 2
以 C的短轴为直径作圆 O，截直线 PF1的弦长为 3b，则 C的离心率为（ ）
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A. 5 2B. 3 C. D. 3
3 2 3 3
【答案】A
【解析】
2
OM b2
3b 1
【分析】根据圆的弦长公式可得 b，进而根据平行关系可得 PF2 b，利用椭
2 2
圆定义以及勾股定理即可求解.
【详解】过O作OM PF1，
2
PF 3b 由于圆 O 1截直线 1的弦长为 3b，所以 OM b2 b，
2 2
由于 PF1 PF2，所以OM / /PF2 ,结合O是 F1F2 的中点，
所以OM 1 PF2 PF2 b，2
2
故 PF1 2a b， F1F2 F1P F2P
2 2c 2a b 2 b2 ，
b 2
化简得3b 2a，
a 3
c b2 22e 5所以 1 2 1 2 ，a a 3 3
故选：A
二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．）
9. 设m，n为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若m / / 且 n / / ，则m // n； B. 若m 且n ，则m // n；
C. 若m / / 且m / / ，则 / / ； D. 若m 且m ，则 / / .
【答案】BD
【解析】
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【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.
【详解】解：A：若m / / 且 n / / ，则m，n可能相交、平行或异面，故 A错误；
B：若m 且n ，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故 B正确；
C：若m / / 且m / / ，根据面面的位置关系定义可得 与 可能平行也可能相交，故 C错误；
D：若m 且m ，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故 D 正确.
故选：BD
10. 已知函数 f (x) 2sin 2x ，则下列结论正确的有（ ）
3
A. 函数 y f x 的最小正周期为
B. 将函数 y f x 的图象右移 个单位后，得到一个奇函数
3
C. x 5 是函数 y f x 的一条对称轴
6
5
D. ,0 是函数 y f x 的一个对称中心
6
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题中所给的函数解析式，利用正弦型函数的性质，确定出函数的周期，得到 A项正确，根据
平移变换的原则，求得移动之后的函数解析式，确定其不是奇函数，得到 B项错误；求得点对应的函数值，
确定其为对称中心的坐标，能够判断 C项和 D项的正误.
f (x) 2sin(2x ) T 4( 【详解】 ，∴ ) ，A正确；
3 3 12
将 f (x) 2sin(2x ) 的图象右移 个单位后，
3 3
g(x) 2sin 2 x 得函数 2sin 2x 的图像，
3 3 3
不满足 g( x) g(x)，所以 g(x)不是奇函数，B错误；
2sin 2 5 0 5 因为 ，所以 x 不是函数 y f (x)的对称轴，而是函数 y f (x)对称中心的横坐
6 3 6
标，C错误，D正确.
故选：AD.
11. 定义域为R的函数 f (x)，对任意 x, y R, f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y) ，且 f (x)不恒为 0，则下
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列说法正确的是（ ）
A. f (0) 0
B. f (x)为偶函数
C. 若 f (1) 0，则 f (x)关于 (1,0)中心对称
2024
D. 若 f (1) 0，则 f (i) 4048
i 1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解.
【详解】对于 A，令 x R, y 0，有 2 f (x) 2 f (x) f (0)，而 f (x)不恒为 0，则 f (0) 1，A错误；
对于 B，由 A知 f (0) 1，令 x 0, y R，有 f (y) f ( y) 2 f (0) f (y) 2 f (y) ，
即 f ( y) f (y)，则函数 f (x)为偶函数，B正确；
对于 C，若 f (1) 0，令 x 1, y R，有 f (1 y) f (1 y) 2 f (1) f (y) 0，
则 f (x)关于 (1,0)中心对称，C正确；
对于 D，显然 f (x)关于 (1,0)中心对称，又 f (x)为偶函数，则 f (1 x) f (1 x) f (x 1) ，
即 f (x 2) f (x)，因此 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x)是周期为 4的周期函数，
显然 f (1) f (3) 0， f (2) f (4) 0，即 f (1) f (2) f (3) f (4) 0，
2024
所以 f (i) 506 [ f (1) f (2) f (3) f (4)] 0，D错误.
i 1
故选：BC
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
r r12. 已知平面向量 a 2, 1 ,b 4, x ，若b与 a b 共线，则实数 x ______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
r r
【详解】 a b 2, 1 4, x 2, x 1 ，
r r
若b与 a b 共线，则 4 x 1 2x 0，
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解得 x 2 .
故答案为： 2 .
3
13. 1 2x2 1 x 的展开式中 x3的系数为___________.（用数字作答）
【答案】7
【解析】
r
【分析】由二项式展开式的通项公式可得Tr 1 C
r
3 x ，令 r 3和 r 1，据此即可确定 x3的系数.
【详解】 1 2x2 1 x 3的展开式中 x3的系数为
1 2x2 1 x 3 1 x 3 2x2 1 x 3 ，
r
由二项式展开式的通项公式可得T rr 1 C3 x C rx r3 ，
令 r 3和 r 1，
3 1
则 x3的系数为C3 +2C3=7 .
故答案为：7．
14. 若函数 f x x2 ax ln x在区间 1,e 上单调递增，则 a的取值范围是______．
【答案】（ ,3]
【解析】
1 1
【分析】求出 f (x)转化为a 2x 在区间 (1,e)上恒成立，再构造函数，结合导数，求 2x 在区间 (1,e)
x x
上的最小值可得答案.
【详解】因为函数 f (x) x2 ax ln x在区间 (1,e)上单调递增，
1
所以 f (x) 2x a 0在区间 (1,e)上恒成立，
x
a 2x 1即 在区间 (1,e)上恒成立，
x
2
令 g(x) 2x 1 (1 x e) g (x) 2 1 2x 1 ( 2x 1)( 2x 1)，则 2 2 0 ，x x x x2
所以 g(x)在 (1,e)上递增，又 g(1) 3，所以 a 3．所以a的取值范围是 ( ,3]．
故答案为： ( ,3]．
【点睛】思路点睛：求出 f (x)分离常数 a，利用构造函数法，结合导数，求得参数的取值范围.
四、解答题（本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
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15. 设函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x．
（1）求函数 f (x)的单调递增区间；
（2）a 3，b，c分别为 ABC内角A，B，C的对边，已知 f (A) 1，b 1， ABC的面积为 ，求 ABC
2
的周长．
π π
【答案】（1） kπ ,kπ ,k Z； 3 6
（2）3 3．
【解析】
【分析】（1）辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；
π 3
（2）由 f (A) 1，得 A ，由 ABC的面积为 ，得b 1，c 2，余弦定理求出 a，可求 ABC的
3 2
周长．
【小问 1详解】
f (x) 3 sin 2x cos 2x 2 3sin 2x 1cos 2x 2sin 2x ，
2 2
6
令 2kπ π π 2x 2kπ π ,k Z kπ π π ，解得 x kπ ,k Z，
2 6 2 3 6
π π
所以函数的单调增区间为
kπ ,kπ ,k Z．3 6
【小问 2详解】
f (A) 2sin 2A π π 1由
1 得 sin 2A ．
6 6 2
A (0, π), 2A π π ,13π ， 2A
π 5π , A π ，
6 6 6 6 6 3
1 3 3
S△ABC bc sin A bc ，又b 1，则 c 2，2 4 2
2 2 2
由余弦定理得 a b c 2bc cos A 1 1 4 2 1 2 3，
2 a 3
，
ABC的周长为 a b c 3 3．
16. 如图，已知多面体 FABCDE的底面 ABCD是边长为 2的正方形，DE 底面 ABCD，DE//AF，且
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FA 2DE 2．
（1）证明：CD 平面 ADEF ；
（2）求四棱锥C ADEF的体积；
（3）求平面FCE与平面 FAB所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2 6）2； （3） ．
6
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；
1
（2）由题意易知四边形 ADEF 为直角梯形，计算VC ADEF S CD梯形ADEF 可得答案；3
（3）以A为原点， AB, AD, AF 所在的直线为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面 FAB、
平面 FCE的一个法向量，再由向量的夹角公式计算可得答案.
【小问 1详解】
DE 底面 ABCD，CD 底面 ABCD，
CD DE．
又CD AD,DE AD D,DE ,AD 平面 ADEF ，
\ CD ^ 平面 ADEF ；
【小问 2详解】
由题意易知四边形 ADEF 为直角梯形，
S (1 2) 2
梯形ADEF 3．2
V 1 1C ADEF S ADEF CD 3 2 2梯形 ；3 3
【小问 3详解】
如图，以A为原点，
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AB, AD, AF 所在的直线为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),E(0,2,1),CE ( 2,0,1),FC (2,2, 2)
易知 AD 平面 FAB，
平面 FAB的一个法向量m (0,1,0)，
设平面 FCE的法向量 n (x, y, z), n CE,n FC ，
n
CE 2x z 0 z 2x , ，
n FC 2x 2y 2z 0 y x
令 x 1，得 y , z 2，所以 n (1,1,2)，
cosn ,m n
m 6
，由图可得平面 FCE与平面 FAB所成角为锐角，n m 6
故平面 FCE与平面FAB 6所成角的余弦值为 ．
6
17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，
4
数据显示关注此问题的约占 ，并将这 200人按年龄分组，第 1组[15，25），第 2组[25，35），第 3组[35，
5
45），第 4组[45，55），第 5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求 a，并估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第 1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5组的居民称为中老年组，若选出的 200
人中不关注民生问题的中老年人有 10人，得到如下 2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：
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依据小概率值 0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问 不关注民生问
合计
题 题
青少年
中老年 10
合计 200
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取 4名青少年，记录 4人中“不关注民生问题”的人数为Y ，
求随机变量Y 2时的概率和随机变量Y 的数学期望 E Y ．
2 n ad bc
2
附： ,n a b c d ．
a b c d a c b d
0.050 0.010 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）0.035；41.5岁
（2）表格见解析；有关
27
（3） P(Y 2) ；1
128
【解析】
【分析】（1）利用频率直方图面积和为 1，即可得到 a，根据频率直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出 x2，根据独立
性检验可得答案；
（3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得
Y～B 4, 1 ，可得答案
4
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【小问 1详解】
0.010 10 0.015 10 0.030 10 a 10 0.010 10 1，
a 0.035，
x 0.01 10 20 0.015 10 30 0.035 10 40 0.03 10 50 0.010 10 60 41.5，
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁；
【小问 2详解】
选出的 200人中，各组的人数分别为：
第 1组： 200 0.010 10 20人，第 2组：200 0.015 10 30人，
第 3组： 200 0.035 10 70人，第 4组：200 0.030 10 60人，
第 5组： 200 0.010 10 20人，
青少年组有 20 30 70 120人，中老年组有 200 120 80人，
参与调查者中关注此问题的约占80%, 有 200 (1 80%) 40人不关心民生问题，
选出的 200人中不关注民生问题的青少年有 30人，
2 2列联表如下；
不关注民生问
关注民生问题 合计
题
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
零假设H0 ：假设关注民生问题与性别相互独立，
2 200 90 10 70 30
2
4.6875 3.841，
160 40 80 120
根据独立性检验，可以认为零假设H0不成立，
即能依据小概率值 0.050的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关；
【小问 3详解】
30 1
由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为 ，
120 4
1
将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为 ，
4
第 12页/共 16页
1
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以Y～B 4, ，
4
k
P(Y 1 1
4 k
所以 k) Ck 4 1 ,k 0,1, 2,3, 4，
4 4
2 4 2
P(Y 2) C2 1 1 1 27所以 4 ，E(Y ) 4
1
1．
4 4 128 4
2x , 0 x 2
18. 已知函数 f (x)为定义在R上的偶函数，且当 x 0时， f x
x 6 , x 2
（1）①作出函数 f (x)在[ 10,10]上的图象；
②若方程 f (x) a恰有 6个不相等的实根，求实数 a的取值范围；
（2）对于两个定义域相同的函数 s(x)和 t(x)，若 g(x) s(x) t(x) ，则称函数 g(x)是由“基函数 s(x)和
x
t(x) ” 2 1 生成的．已知 g(x)是由“基函数 s(x) log2 x 1 和 t(x) ”生成的，若 x1 R, x2 [1, )，
2
使得 f x1 3a g x2 成立，求实数 a的最小值．
【答案】（1）①答案见解析；② (1, 4)；
1
（2） ．
6
【解析】
【分析】（1）①先利用描点法作出区间[0,10]上的函数图象，结合偶函数的对称性可得[ 10,10]上的图象，
②利用图象和实数根的个数可得实数 a的取值范围；
（2）先根据复合函数求出 g x 的最小值，利用 f (x)min 3a g(x)min 可得答案.
【小问 1详解】
2
x , 0 x 2
①当 x 0时， f x ．
x 6 , x 2
列表：
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x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f x 1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4
描点连线，图象如图，因为 f (x)为偶函数，所以 f (x)的图象关于 y轴对称，所以 f (x)在[ 10,10]上的图象
如图所示；
② f (x) a恰有 6个不相等的实根，等价于 y f (x)与 y a有 6个交点，
由图象可知当1 a 4时，有 6个交点，所以实数 a的取值范围为 (1, 4)；
【小问 2详解】
x
1
由题意， g(x) log2 x2 1 ，
2
因为 t x2 1在[1, )上为增函数， y log2 t在 (0, )
2
上为增函数，所以 y log2 x 1 在[1, )上
为增函数，
x x
y 1 因为 在[1, )
1
上为增函数，所以 g(x) log x22 1 在[1, )上为增函数，
2 2
1
所以 g(x) g(1) log 12 1 1min 2 1 ，
2 2
由（1）可知 f (x)在R 上的最小值为 0，
因为 x1 R, x2 [1, )，使得 f x1 3a g x2 成立，
所以 f (x)min 3a g(x)min ，
0 3a 1 1 1所以 ，解得 a ，所以实数a的最小值为 ．
2 6 6
19. 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆
梦困境学生”计划.活动共计 50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了 20件物品，用于拍
1 1 1
照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三 1，2，3班分别有 2 ， ， 的3 4
同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6 : 7 :8 .
（1）现从三个班中随机抽取一位同学：
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（i）求该同学有购买意向的概率；
（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自 2班的概率；
（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以 0元为
初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于 2，则在已叫价格基础上增加 1元更新叫价，若点数小于 3，
则在已叫价格基础上增加 2元更新叫价；重复上述过程，能叫到 10元，即获得以 10元为价格的购买资格，
未出现叫价为 10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其
获得该笔记本购买资格的概率（精确到 0.01）.
22 7
【答案】（1）（i） ；（ii）
63 22
（2）0.75.
【解析】
【分析】（1）设事件 A “该同学有购买意向”，事件 Bi “该同学来自 i班” i 1,2,3 .根据全概率公式即可
求解 P A ，根据条件概率公式即可求解 P B2 A ；
2 1
（2）由题意可得每次叫价增加 1元的概率为 ，每次叫价增加 2元的概率为 .设叫价为 n 3 n 10 元
3 3
的概率为 P 2n，叫价出现 n元的情况只有下列两种：①叫价为n 1元，且骰子点数大于 2，其概率为 P3 n 1
；
1 2 1
②叫价为 n 2元，且骰子点数小于 3，其概率为 P .于是得到 P P P n 3 ，构造等比数列
3 n 2 n 3 n 1 3 n 2
Pn Pn 1 ，结合累加法可求解.
【小问 1详解】
（i）设事件 A “该同学有购买意向”，事件 Bi “该同学来自 i班” i 1,2,3 .
6 7 8
由题意可知 P B1 ,P B2 ,P B ，21 21 3 21
P A B 1 ,P A B 1 11 2 ,P A B ，2 3 3 4
所以，由全概率公式可得： P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3
6 1 7 1 8 1 22
.
21 2 21 3 21 4 63
7 1
P B A P B2 P A B2 7
（ii 2 21 3）由条件概率可得 P B2 A 22 .P A P A 22
63
【小问 2详解】
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2 1
由题意可得每次叫价增加 1元的概率为 ，每次叫价增加 2元的概率为 .
3 3
设叫价为 n 3 n 10 元的概率为 Pn，叫价出现n元的情况只有下列两种：
①叫价为 n 2 1元，且骰子点数大于 2，其概率为 P
3 n 1
；
1
②叫价为 n 2元，且骰子点数小于 3，其概率为 P
3 n 2
.
P 2于是得到 n P
1
P 2 2 2 1 7n 3 ，易得 P ， P
3 n 1 3 n 2 1 3 2 3 3 3 9
1 1 1
由于 Pn Pn 1 Pn 1 Pn 2 P3 3 3 n 1 Pn 2 n 3 ，
1
于是当 n 1 2时，数列 Pn Pn 1 是以首项为 ，公比为 的等比数列，9 3
P P 1 1
n 2
故 n
n 1 n 2 .9 3
于是 P10 P1 P2 P1 P3 P2 P9 P8 P10 P9
1 9
1
9
1
2 3 3 1 1
10
0.753 1 1 4 4 3
3
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为 0.75.
【点睛】关键点睛：
第二问中关键是设叫价为 n 3 n 10 元的概率为 Pn，利用叫价为n元是在叫价为 n 1 元的基础上再叫
价 1元或在叫价为 n 2 元的基础上再叫价 2元，从而确定 Pn与 Pn 1的关系，再结合数列中的构造法和累
加法即可求解.
第 16页/共 16页雅礼教育集团 2024年上期期中考试
高二数学试卷
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 已知U {1,2,3,4,5,6}, A {2,4,5}，B {1,3,5} A ，则 UB （ ）
A. {1,3, 4} B. {3,4} C. {2,4,6} D. {2, 4}
2. 复数 z满足 (2 i)z 3 i，则 z 等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2 2
3.“0 k 1 x y”是“方程 1表示双曲线”的
2 k
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4x x 1
4. 已知函数 f x ，则 f f 1
log2 x x 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
5. 已知 Sn是等差数列 an 的前 n项和，且满足 a2 4,S4 22，则 S5 （ ）
A. 65 B. 55 C. 45 D. 35
6. 有 5名志愿者去定点帮扶 3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多
安排 2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A. 180种 B. 150种 C. 90种 D. 60种
7. 关于函数 f (x) x3 3x 1，下列说法正确的是（ ）
① f (x)有两个极值点 ② f (x)的图象关于原点对称
③ f (x)有三个零点 ④ f (x)在 ( 1,1)上单调递减
A.①④ B.②④ C.①③④ D.①②③
2 2
8. x y已知椭圆 C： 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1， F2，P为 C上一点，满足 PF1 PF2，a2 b2
以 C的短轴为直径作圆 O，截直线 PF1的弦长为 3b，则 C的离心率为（ ）
第 1页/共 5页
A. 5 2B. 3 C. D. 3
3 2 3 3
二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．）
9. 设m，n为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若m / / 且 n / / ，则m // n； B. 若m 且n ，则m // n；
C. 若m / / 且m / / ，则 / / ； D. 若m 且m ，则 / / .
10. 已知函数 f (x) 2sin 2x
，则下列结论正确的有（ ）
3
A. 函数 y f x 的最小正周期为
B. 将函数 y f x 的图象右移 个单位后，得到一个奇函数
3
x 5 C. 是函数 y f x 的一条对称轴
6
5
D. ,0
6
是函数 y f x 的一个对称中心
11. 定义域为R的函数 f (x)，对任意 x, y R, f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y) ，且 f (x)不恒为 0，则下
列说法正确的是（ ）
A. f (0) 0
B. f (x)为偶函数
C. 若 f (1) 0，则 f (x)关于 (1,0)中心对称
2024
D. 若 f (1) 0，则 f (i) 4048
i 1
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
r r
12. 已知平面向量 a 2, 1 ,b 4, x ，若b与 a b 共线，则实数 x ______．
13. 1 2x2 1 x 3 的展开式中 x3的系数为___________.（用数字作答）
14. 若函数 f x x2 ax ln x在区间 1,e 上单调递增，则 a的取值范围是______．
四、解答题（本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 设函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x．
第 2页/共 5页
（1）求函数 f (x)的单调递增区间；
（2）a，b，c分别为 ABC内角A，B，C的对边，已知 f (A) 1，b 1， ABC 3的面积为 ，求 ABC
2
的周长．
16. 如图，已知多面体 FABCDE的底面 ABCD是边长为 2的正方形，DE 底面 ABCD，DE//AF，且
FA 2DE 2．
（1）证明：CD 平面 ADEF ；
（2）求四棱锥C ADEF的体积；
（3）求平面FCE与平面 FAB所成角的余弦值．
17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，
4
数据显示关注此问题的约占 ，并将这 200人按年龄分组，第 1组[15，25），第 2组[25，35），第 3组[35，
5
45），第 4组[45，55），第 5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求 a，并估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第 1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5组的居民称为中老年组，若选出的 200
人中不关注民生问题的中老年人有 10人，得到如下 2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：
依据小概率值 0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问 不关注民生问
合计
题 题
青少年
第 3页/共 5页
中老年 10
合计 200
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取 4名青少年，记录 4人中“不关注民生问题”的人数为Y ，
求随机变量Y 2时的概率和随机变量Y 的数学期望 E Y ．
2 n ad bc
2
附： ,n a b c d ．
a b c d a c b d
0.050 0.010 0.005 0.001
x 3.841 6.635 7.879 10.828
2x , 0 x 2
18. 已知函数 f (x)为定义在R上的偶函数，且当 x 0时， f x
x 6 , x 2
（1）①作出函数 f (x)在[ 10,10]上的图象；
②若方程 f (x) a恰有 6个不相等的实根，求实数 a的取值范围；
（2）对于两个定义域相同的函数 s(x)和 t(x)，若 g(x) s(x) t(x) ，则称函数 g(x)是由“基函数 s(x)和
x
t(x) ”生成的．已知 g(x)是由“基函数 s(x) log2 x2 1 t(x) 1 和 ”生成的，若 x1 R, x2 [1, )，
2
使得 f x1 3a g x2 成立，求实数 a的最小值．
19. 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆
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梦困境学生”计划.活动共计 50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了 20件物品，用于拍
1 1 1
照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三 1，2，3班分别有 2 ， ， 的3 4
同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6 : 7 :8 .
（1）现从三个班中随机抽取一位同学：
（i）求该同学有购买意向的概率；
（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自 2班的概率；
（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以 0元为
初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于 2，则在已叫价格基础上增加 1元更新叫价，若点数小于 3，
则在已叫价格基础上增加 2元更新叫价；重复上述过程，能叫到 10元，即获得以 10元为价格的购买资格，
未出现叫价为 10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其
获得该笔记本购买资格的概率（精确到 0.01）.
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