“直线与方程”的起始课
——直线的倾斜角与斜率（第1课时）
教学设计
教材分析
公认的几何学的确立于公元300多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结，16世纪后，由于生产和科学技术的发展，天文，力学，航海等方面都对几何学提出了新的需要，17世纪法国两位数学家笛卡尔和费马创造性地借助坐标将几何与代数结合起来，创立了解析几何，使数学进入了一个新的发展时期，也就是变量数学时期。
《直线与方程》选自人教A版普通高中数学实验教材必修2第三章，拉开了高中阶段学习平面解析几何的帷幕，本章突出“坐标法”的核心地位，强调“数形结合”的思想。第一节，建立平面直角坐标系，用代数方法研究确定直线的几何要素——点与斜率；第二节，根据确定直线的几何要素，探求直线方程的几种形式，建立了直线的代数表示；第三节，通过方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系，通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离，点到直线的距离，两条平行直线间的距离等。本章的学习是进一步学习解析几何有关知识（圆的方程、圆锥曲线方程、坐标系与参数方程）做了必要的铺垫。
直线的倾斜角与斜率是直线与方程的起始课，倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率，直线的平行，垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程，通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，
根据以上分析，本节课的教学重点确定为
教学重点：体会解析几何研究问题的基本思想和方法；经历几何（倾斜角）问题代数（斜率）化的过程，代数表示（斜率）到几何直观（直线的倾斜程度）的过程。
学情诊断分析
（1）学生之前已学习过函数的解析式与平面直角坐标系中的函数图像，有了从数到形的认识，学生知道借助图形认识函数的性质，这是坐标法学习的基础。
（2）学生在初中平面几何的思维模式下，即以公理为基础用从形的角度观察、度量几何元素间的关系，对从代数角度借助坐标、方程来解决几何问题感到不自然，在“几何直观 代数表示 几何直观”的转化上会有一定的困难。
（3）直线方程的学习安排在三角函数之前，由于对正切函数不熟悉，角的正切值只停留在直角三角形中来求，因此，倾斜角的正切值等于斜率，这一概念还不能直接引入。
根据以上分析，本节课的教学难点确定为员
教学难点：倾斜角概念的形成及直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
3．教学标准设置
（1）通过观察图片、对解析几何史的讲述，了解解析几何研究问题的基本思想和方法，对本章知识结构有初步了解。
（2）理解直线的倾斜角的定义，能准确指出直线的倾斜角.
（3）理解斜率的定义及与倾斜角的关系，能通过直线的倾斜角或直线上两点的坐标求出直线的斜率。
4．教学策略分析
数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验” 。本节课采用的是“引导探究式”， 即通过提问形式，引导学生积极参与问题的探索，交流，归纳的过程，本节课以问题为载体，以知识为核心，从学生的认知水平出发，进入学生的“最近发展区”。在知识方面，从初中已学过的两点确定一条直线引出直线的倾斜角，由对倾斜角的分析得出斜率的定义和相关公式；在思想方法方面，借助于坐标系，经历几何（倾斜角）问题代数（斜率）化的过程，代数表示（斜率）到几何直观（直线的倾斜程度）的过程，渗透数形结合的思想。
本节课是本章的起始课，知识引入上难度较大，特采用多媒体辅助教学
教学流程：
二、课堂实录
（一）创设情境，初识全章
[出示幻灯片]
生活中处处都有美，美的建筑，美的图案，有立体的，有平面的，无不体现几何的美，几何学的确立源自公元300多年前欧几里得的《原本》，它是从形的角度研究几何的美，16世纪后，由于生产和科学技术的发展，天文，力学，航海等方面都有对几何学提出了新的需要，17世纪法国两位数学家笛卡尔和费马创造性地借助坐标将几何（形）与（数）代数结合起来，创立了解析几何，使数学进入了一个新的发展时期，也就是变量 数学时期。解析几何解决问的思想和方法图示：
本章知识结构： 从几何直观到代数表示
（建立直线的方程）
从代数表示到几何直观
（通过方程研究几何性质和度量）
本章将借助于坐标系从三个方面（即直线的倾斜角与斜率，直线的方程，直线的交点坐标与距离公式）来研究最简单的几何图形——直线
[评析]通过对本章整体分析和解析几发展史的讲述，激发学生对知识的探究热情和兴趣
（二）问题引导，探究新知
1．引入倾斜角
问题1：确定平面直角坐标系内直线需要哪些几何要素？
活动1：（得出倾斜角的定义）
师：对于平面直角坐标系内的一条直线L,它的位置由哪些条件确定？
生：两点确定一条直线
[出示幻灯片]
师：观察图形，过一点P可以作无数条直线，这些直线的共同点与不同点分别是什么？
生：共同点是都过点P，不同点是（可能有三种回答①方向不同②倾斜程度不同③倾斜角不同）
师：由图形可看出，过一点有无数条直线，要确定其中某一条直线还需要给出其倾斜程度
定义：（板述）
当直线l与x轴相交时：我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线l的倾斜角。
活动2：（得出倾斜角的范围）
同桌相互合作在草稿纸上建一个直角坐标系，（取一个点）用铅笔模拟成一条直线
师：（1）每条直线是否有唯一的倾斜角，反之，倾斜角相同的直线是否唯一确定？
（2）倾斜角的范围是多少？
生1：当直线l与x轴平行或重合时，我们取00作为直线的倾斜角；倾斜角相同的直线是一组平行线，只知道倾斜角不能确定直线
生2：倾斜角的范围是[00 ，1800）
师：同学们观察得非常准确，根据同学们的回答我对倾斜角作如下总结：[出示幻灯片]
每条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角是几何直观（形）的刻画直线的倾斜程度的；
倾斜角的范围是[00 ，1800）；
确定一条直线有两种方式，且两种方式是一致的。（两个点也可以确定直线的倾斜程度与倾斜角确定直线的倾斜程度是一致的）
[评析]由平面几何知识引出直线的倾斜角，符合学生的认知水平，对倾斜角的自主探索发现
尊重了学生学知识的“生成权”。
斜率概念的构建
问题2：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
活动1：（得出直线的倾斜程度（斜率）为倾斜角的正切值）
师：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量是什么？
生：可能有两种回答（①坡度②斜率）
[出示幻灯片]
师：哪个跷跷板的坡度（斜率）大？为什么？坡度与什么有关？
生：可能有两种回答（①跷起越高则坡度越大②高度/前进度大的坡度大③坡度比越大则坡度越大）
师：坡度只与跷起的高度有关吗？[出示幻灯片]
生：与高度/前进度有关即与坡度比有关。
师：哪是斜坡的倾斜角？倾斜角与坡度比有什么关系？[出示幻灯片]
生：倾斜角的正切值与坡度比相等
师：同学们回答的非常好，高度/前进度即坡度比等于倾斜角的正切值，我们称它为斜率，用小写字母κ表示即κ=tanα（α是倾斜角）
（板述）斜率的定义：把一条直线倾斜角α（α≠900）的正切值叫做这条直线的斜率。即κ=tanα
活动2：（得出随倾斜角的变化，斜率的符号怎样变化）
（几何画板演示）老师借助几何画板演示或学生亲自操作
师：我们发现，直线的斜率有时为正数，有时为负数，它的符号和直线的倾斜角具有怎样的关系呢？
生：直线的斜率为正时：00＜α＜900
直线的斜率为负时：900＜α＜1800
直线的斜率为零时：α=00
α=900时斜率不存在。
师：当倾斜角α=900时直线没有倾斜，所以斜率不存在。故κ=tanα（α≠900）（板述）
任何直线都有唯一的倾斜角，但倾斜角α=900时斜率不存在。
[评析]选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能，体现的是思维的广阔性。为了突破教学难点，从日常生活实际出发，借助信息技术工具演示，让学生感受数学知识的串联和呼应，同时体现了数形结合的思想。
斜率公式的推导
问题3：斜率的值与直线上两点的坐标有什么关系
师：有了斜率的定义，我们不仅可以由图形观察直线的斜率，还可以计算出直线的斜率。请同学们指出OA,OB,AB的倾斜角（的值）为多少度？并求出其斜率。[出示幻灯片]
生：直线OA的倾斜角为450，斜率为1,直线OB的倾斜角为1350，斜率为-1,直线AB的倾斜角为00斜率为0。
师：我们知道两点可以确定一条直线，现在A(3 ,3) ,B(-3 ,3 ) ,O(0 ,0 )能否用A，O两点的坐标计算直线的斜率呢？直线直线呢?与前面求得的是否一致?
学生相互之间讨论交流后展示
生：，，
方案二：学生可能出现以下情况
生：设C(3 ,0 ) , Rt△ACO中,
设D(-3 ,0 ), Rt△BCO中
因为直线AB与x轴平行所以倾斜角为00斜率为0。
师：以上方法用到点的坐标，答案正确，我们从求直线OA的斜率过程中可以得到，再应用到，中都成立。
师：如果直线经过两点，，求直线的斜率呢?
生:
活动：（几何画板演示证明）一方面计算，另一方面计算，展示无论怎样变总有=
师：在上述演示下，请回答课本第85页“思考”栏目的几个问题
生：（1）成立，因为分子为0，分母不为0
（2）与两点坐标的顺序无关
（3）不适合，因为分母为0。
师：同学们的分析非常好，根据同学们的分析我来归纳一下
公式=是利用直线上两点的坐标通过代数（数）的办法计算得到直线的斜率，体现了从几何直观（形）到代数表示（数）这一解析几何解决问题的方式，也与几何公理“两点确定一条直线”一致。
虽然与两点坐标的顺序无关但两点坐标的顺序要一致。
公式中也与倾斜角α=900时斜率不存在一致。
[评析]让学生在互动交流中探讨，在对“几何画板”的实践中得到证实，体会知识的探索过程，提高学习的热情
（三）典例分析，动态生成
例：[出示幻灯片]
师生活动：教师引导并要求学生画图
师：因为直线经过原点，还需要什么条件就可以画图了？
生：另外一个点
师：请同学们画出符合要求的直线
[评析]通过例题的讲解，学生的动手体验，让倾斜角与斜率在应用中生成，提高学生对倾斜角与斜率的理性认识，体会数形结合思想。
（四）归纳小结，有效建构
师：通过本节课的学习，你有哪些收获？可以从知识、方法、思想等方面谈一谈。
生：………
师:同学们归纳得非常好,我们还可以用框图的形式加以归纳: [出示幻灯片]
知识结构:
数学思想:
:
[评析]让学谈收获是加深对本节知识的理解,形成自觉内化的意示
（五）课后检测，巩固提升
（1）教材第86页练习1、2、3、4题
（2）教材第89页习题3.1A组第4、5题
作业说明：作业（1）是基础题，作用为巩固斜率的定义式和公式，要求做在课本上；
作业（2）是提高题，作用是应用斜率知识来解决问题，要求做在作业本上。
[评析]学生独立思考完成作业的过程是将知识进一步巩固的过程
板述设计
三、教学反思
通过本节课的教学实践，认识到新课程标准下的课堂教学“效在课堂，功在课外”，要想在课堂上达到满意的效果，必须在课外进行大量的准备。本节课作为本章乃至整个解析几何的起始课，在思维方式及解决问题的思想方法上需要老师的引导，在知识内容上需要从解析几何的发展史、已学过的知识和日常生活问题进行引入。从而达到思想方法的“渗透”，知识平稳的“过渡”的目的。在学法上，应让学生多参与体验，体会数形结合的思想内涵；体会倾斜角和斜率都是用来刻画直线的倾斜程度的。
可取之处：一.准备了大量的图片和几何画板课件供学生观看体验,激发学生的学习热情和学习兴趣.二.问题引领得当,从多角度引导学生突破知识难点,使知识自然生成;三.学生参与度高,在体验知识的形成过程中巩固知识.
不足之处：一.在课堂上使用了两处口语，这将在以后的教学中更加严格要求自已，努力改正;二.由于时间的关系,在课堂上给予学生的思考空间不够,教师问到哪,学生就跟到哪,学生”再创造”方面不足,我将以作业或开展课外活动的形式来弥补。
直线与方程的起始课导学案
————直线的倾斜角与斜率
学习目标：
（1）了解析几何发展史及解析几何研究问题的基本思想和方法，对本章知识有初步了解。
（2）理解直线的倾斜角的定义，能准确指出直线的倾斜角.
（3）理解斜率的定义及与倾斜角的关系，能通过直线的倾斜角或直线上两点的坐标求出直线的斜率。
课堂点对点：
几何发展史及解析几何研究问题的基本思想和方法
问题1：几何学产生于什么年代？
问题2：在以前学习的知识中有哪些知识用到了数形结合的思想？
本章知识结构初步了解 从几何直观到代数表示
（建立直线的方程）
从代数表示到几何直观
（通过方程研究几何性质和度量）
直线的倾斜角与斜率
问题1：确定平面直角坐标系内直线需要哪些几何要素？
探究1：初中平面几何知识中，确定平面直角坐标系内直线需要哪些条件？
探究2：倾斜角相同的直线是否唯一确定？倾斜角的范围是多少？
问题1的回答：确定平面直角坐标系内直线需要________或____________且两者是一致的(因为两点也可以确定直线的倾斜程度)。直线的__________是用来刻画直线的倾斜程度的,其范围是____________。
问题2：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
探究3:日常生活中常用_______表示倾斜程度(其中______=升高量/前进量)。倾斜程度又称_______,它与倾斜角的正切值_______。
探究4：直线的斜率有时为正数，有时为负数，它的符号和直线的倾斜角具有怎样的关系呢？
问题2的回答：当直线的倾斜角α=900时，______不存在;当直线的倾斜角α≠900时,tanα=______（常用小写字母k表示）。且k＞0时，α∈________; k＜0时, α∈________; k=0时, α_______。
问题3：斜率的值与直线上两点的坐标有什么关系？
探究5：A(3 ,3) ,B(-3 ,3 ) ,O(0 ,0 )能否用A，O两点的坐标计算直线的斜率呢？直线直线呢? 直线经过两点，，如何求直线的斜率? 可按以下方式思考：
1.分别求出过OA,OB,AB两点的一次函数解 析式,并写成y=kx+b的形式 .
2.分析y=kx+b中k与之前求出的斜率的关系
3．将k用两点的坐标表示
探究6：以上关系如何证明呢？
四．课堂小结：
请从知识和思想方法两方面谈谈你在本节课学到了什么？
课件31张PPT。直线与方程第三章xy倾斜角 斜率两点式一般式直线 二元一次方程 本章知识结构 从几何直观到代数表示
（建立直线的方程）点斜式直线二元一次方程 从代数表示到几何直观
（通过方程研究几何性质和度量）
两直线的位置关系
两点间的距离点到直线的距离两条平行线间的距离平行和垂直的判定相交
(一个交点)平行
(无交点)距离3.1直线的倾斜角与斜率
3.2直线的方程
3.3直线的交点坐标与距离公式 3.1直线的 倾斜角 与斜率lxyOPxy这些直线的共同点和不同点分别是什么？当直线l与x轴相交时：
我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角要确定其中某一条直线还需要给出其倾斜程度 问题1：确定平面直角坐标系内直线需要哪些几何要素？ （1）每条直线是否有唯一的倾斜角，反之，倾斜角相同的 直线是否唯一确定？
（2）倾斜角的范围是多少？思考：当直线与轴平行或重合时：我们规定它的倾斜角为直线的倾斜角的范围是[ ， ）;
确定一条直线有两种方式，且两种
方式是一致的（两个点也可以确定
直线的倾斜程度，与倾斜角确定直
线的倾斜程度是一致的） ；
倾斜角是几何直观（形）的刻画直
线的倾斜程度的
关于倾斜角：? 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?图1：图2：哪个跷跷板的坡度大？为什么？坡度与什么有关？图1：图2：哪个跷跷板的坡度大？为什么？坡度与什么有关？图1：图2：前进量前进量高度1高 度 2升高量升高 量哪个跷跷板的坡度大？为什么？坡度与什么有关？图2：前进量升高量xyABo问题2：直线的斜率与倾斜角有什么关系？ 斜率不存在哪个角是跷跷板的倾斜角？坡度（比）与倾斜角 有什么关系？斜率为正或为负时，直线具有怎样的位置？ 直线的斜率为正时：
直线的斜率为负时：
直线的斜率为零时：
时斜率不存在。问题2：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 请指出直线 、 、 的倾斜角是多少度？并计算其斜率2A（3，3）442yxB（-3，3）O注：现在A(3 ,3) ,B(-3 ,3 ) ,O(0 ,0 )能否用其坐标计算直线 的斜率呢？问题3：斜率的值与直线上两点的坐标有什么关系在上述演示下，请回答课本第85页“思考”栏目的几个问题?当直线 与x 轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么??已知直线上两点 ,运用上述公式计算直线AB的斜率时, 与A,B两点坐标顺序有关吗??当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述公式还适用吗?为什么?问题3：斜率的值与直线上两点的坐标有什么关系关于斜率：=1.公式 是利用直线上两点的坐 标通过代数（数）的办法计算得到直线的斜率，体现了将几何问题代数化这一解决问题的方式，也与几何公理“两点确定一条直线”一致。
2.虽然与两点坐标的顺序无关但两点坐标的顺序要一致。
3.公式中也与倾斜角α=900时斜率不存在一致。例：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线 及xy-3-1121这节课你有什么收获呢?确定平面直角坐标系内直线的几何要素点和倾斜角两个不同的点直线的倾斜角直线的斜率几何代数代数化数形结合作业：（1）教材第86页练习1、2、3、4题
（2）教材第89页习题3.1A组第4、5题
