课题：平面向量的概念及表示（一课时）
一、教学设计
1.教材内容分析
《平面向量》是“人教A版”数学4的第二章，本节课包括“章引言”和“2.1平面向量的实际背景及基本概念”两部分．
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用．因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法，减法，实数与向量的积，向量的数量积的运算法则等．之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法．
本章共分五大节．第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量．
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力．
本节从物理学中的位移，力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度，零向量，单位向量，平行向量，共线向量，相等向量等基本概念．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为
教学重点：向量概念，向量的几何表示，以及平行向量概念．
2．学生学情诊断
在学生的已有经验中，接触较多的是只有大小的量（数量），此外学生曾学习物理中的矢量的概念，线段的平行与共线，还有三角函数中的有向线段等．在学生的已有经验中，与本节内容相关的有：数的抽象过程，实数的绝对值（线段的长度），数的相等，0和1的特殊性，线段的平行或共线等，这些将为学生自觉，有序、有效地认知向量概念提供“固着点”．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：理解零向量，单位向量，相等向量，平行向量的含义，让学生感受向量，平行或共线向量等概念形成过程.
3．教学标准设置
本课的教学，应力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果．
4．教学策略分析
具体教学时，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系．要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——表示——定义“相等”（这件事情很重要，但往往不被注意）、“单位元”，“0元”——某些特殊关系．从而培养学生用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；使学生自然的，水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐的乐趣．
教学流程：
情景引入——探究新知——巩固提升——归纳小结
二、课堂实录
1.问题情境：
情景：在同一时刻,老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,猫在B处向东南方向10m/s的速度追,猫能否追到老鼠呢？
学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了．
设计意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会产生亲切感，有助于激发学习兴趣．
2.探究新知：
（1） 向量的概念
问题1 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？
设计意图：激活学生的已有相关经验．
（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量．）
追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．
设计意图：形成区别不同量的必要性．
（学生所举的例子有年龄、身高、面积等．）
概念抽象需要典型丰富的实例．让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备．
教师：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量
向量——既有大小又有方向的量
数量——只有大小没有方向的量
思考：判断下列说法是否正确:
① 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量.
② 坐标平面上的x轴和y轴是向量.
设计意图：由学生熟悉的知识引入，以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
（2）向量的表示
问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它．从向量的定义看，向量是既有大小又有方向的量，那么该怎样把向量表示出来呢？
教师：在物理中，我们用什么方法表示一个竖直向下的4N的力？
类比几何中有向线段及有向线段长度的表示方法，得到向量及向量
大小的表示方法
① 几何表示法：常用一条有向线段表示向量(如图所示).
② 符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，记作.(注意起终点顺序).
③ 字母表示法：可表示为.(一定要学生规范书写:印刷用黑体,书写用)
④ 向量的大小——向量长度（或称为向量的模）. 记作：.
思考：
① 与相同吗？与相同吗？
② 若，则一定有吗？
（3） 两个特殊向量
问题3 在实数集中，0和1是两个特殊的元素，0是正负分界点，有0就可以定义相反数，1是单位，作用很大。类比实数，在向量中，你认为哪些向量比较特殊？
（学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的．）
① 零向量——长度为零的向量，记作. 规定：零向量的方向是任意的。
② 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．
思考：
① 单位向量唯一吗?
② 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点，那么它们的终点的集合组成什么图形？
（4）相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的概念
问题4 观察图中的正六边形ABCDEF．给图中的任意两个线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系．（举例）
设计意图：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的形成过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物．
留给学生足够的时间，并提出问题5，组织学生交流．
问题5 你是怎样研究的？比如，你画了哪几个向量？你认为它们有怎样的关系？
相等
结论： 方向相同：大小
不相等
相等
方向相反：大小
不相等
方向既不相同也不相反
教师：任意两个非零向量之间的关系，我们将在本章中逐步学习，这节课我们先学习其中的特殊关系，，那么从方向来看大家认为哪些向量的关系是特殊的？
设计意图：引导学生由方向相同或相反的向量得出平行向量的定义．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作．规定：与任一向量平行．
教师：从大小和方向一起看，又有哪些向量是特殊的？
由学生讨论得出结论：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，记作
并得到结论：只要大小和方向不变，向量和位置无关，可以在平面内任意平移．
问题6 如果图中的三个向量的起点平移到同一起点处，
那么这三个向量的位置有何特征?
结论：平行向量又叫做共线向量。
想一想：向量的平行与线段的平行有没有区别?
设计意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程．
3.巩固提升
练习一：
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
（1）与非零向量平行的单位向量有无数个．
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．
（3）若，则直线AB与直线CD平行．
（4）若，则．
练习二：
如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中，请分别写出：
（1）与向量相等的向量有__个,分别是___________；
（2）与向量的模一定相等的向量有__个,
分别是_________________；
（3）与向量方向相反的向量有___个,
分别是______________________；
设计意图：通过两组题目，由浅入深，以学生研究讨论得出结论，能充分调动大家的积极性．
４.归纳小结 （引导学生完成）
老师补充：今天我们学习向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量这个集合，发现了其中的两个特殊向量，以及向量之间的一些特殊关系．同学们要认真体会其中的基本思路，即：从同类具体事例中抽象出共同本质特征——下定义——符号表示——认识特殊对象——考察某些特殊关系．
另外，我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合．我们知道，引进一种新的数，就要研究关于它的运算，就要研究相应的运算律．今天我们引进了一个新的量——向量，下面我们该研究它的哪些问题？如何研究？
设计意图：通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路，为本章后面的知识作铺垫．
５.课后作业
1.P77习题2.1第1、2小题。
2.在实际的生活中还有许多离不开方向和大小的实例，请大家在课后进行收集、讨论。
设计意图：通过作业，进一步内化学生的认知结构，并弄清知识和方法上的易混点、易错点；培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情．
三、课后反思
在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的．在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程，实数的绝对值（线段的长度），数的相等，单位长度，0和1的特殊性，线段的平行与共线等．因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比直线的基本关系认识向量的基本关系．使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上．
在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法．整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼．
但是本节课由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去对本节知识点上的易混点、易错点进行深入巩固，若时间充裕，可考虑布置一定数量的练习让学生在解题的过程中加深巩固本节课所学到的知识．
四、教学点评
1．起始课应把“基本套路”作为核心目标
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．因此，本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面：
（1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的特征；
（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量（主要是联系数及其运算、直线（段）的平行和共线等）；
（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路（思路）．
2．概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；另一方面要让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与．
概念的形成过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件．比如，考察司空见惯的“量”，有的“只有大小没有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比较中就产生了区别的需要，这就是向量概念的生长点．与人出生后要起名字一样，我们要给新的数学对象命名，并且要与它的本质相吻合，要区别于其他概念，“方向”就成了区别的标准，没有“方向”的叫数量，有“方向”的叫向量，概念的产生自然而然．
概念抽象需要典型实例．谁来找例子？教师自作自画，自己举例、概括，自己给定义，就可能枯燥乏味．比如，告诉学生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，学生被动听，没有参与机会，不仅枯燥乏味，而且会使学生理解不透．如果让学生举例，要求尽量举不同的例，就会迫使他们开动脑子，就有可能举出不同的、有趣的例，就会百花齐放．这样，生动活泼的场面自然形成，而且在举例过程中，有独立思考、合作交流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的机制．让学生举例可以促进学生思维的深度参与，因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础．实际上，概念教学中的“参与”，其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动．
事实上，由于数学概念的高度抽象性，对任何一个貌似简单的概念，学生往往都要费很大周折才能理解。许多教师对此不能保持高度警觉，常常认为自己容易的学生也然，没有意识到自己的“容易”是经历了千辛万苦、长期积累才得到的。这种心理导致了师生交流的许多障碍，是造成教师不是从学生的角度出发，针对学生的理解困难展开教学的主要原因。因此，教师要对这种心理保持高度警惕，努力从学生的认知水平出发，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是非常要紧的．
3．概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”
从课堂教学的要求看，概念教学的自然和水到渠成应包括两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然．“自然的概念教学过程”是上述两方面的融合．因此，向量概念的教学中，我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义（区别于“只有大小没有方向的量”）、讨论向量的表示（重点是几何表示）、定义特殊的向量、研究特殊的关系（特别是相等向量）．在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，主要强调了“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰时恰点地“以问题引导学习”，在“追问（质疑）——反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果．
4．“创造性地使用教材”的前提是深刻理解教材
“平行向量”、“共线向量”等概念，教材是这样呈现的：先介绍概念，然后以一个例子作为概念的应用与巩固；“相反向量”在向量的减法运算中给出．教科书按知识的逻辑顺序呈现，无疑是正确的．如果按教材顺序组织教学，一定能顺利完成任务，学生也会掌握得不错．但这是“教师告诉，提醒注意，练习巩固”的办法，学生的主动思维无法调动．因此我们根据教材的基本思路，先让学生研究问题4，目的是给学生参与概括概念本质特征的机会，实实在在地经历概念的形成过程．观察过程中，必然要利用向量的定义，要从“方向”和“大小”两个方面展开思考．于是，平行向量（共线向量）就很容易被概括出来；相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然．教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义．
值得指出的是，这样处理教材，自然而然地要求学生联系相关概念．比如，由图形呈现的“平行直线段”自然产生了“平行向量”；再增加长度相等、方向相同或相反，就产生了相等向量或相反向量．属差决定了向量之间的区别，就有了引入新概念的必要性．这里，学生还经历了对向量的关系进行分类的思考：以是否平行为标准，一类是共线向量（平行向量），另一类是不共线向量（不平行向量），这是由向量的“方向”属性决定的．如何区分不平行的向量？又有了引入新概念的必要性，这就是向量的夹角（这是后话）．
总之，这样处理教材后，我们构建了一个真正的问题情境，学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法．从课堂小结看，这一目标已经实现。学生不仅能说出具体知识，而且还能准确地说出“分成三个部分”——向量的表示、特殊向量、特殊关系（说成向量的性质）．这些是课本中找不到的，需要具有一定概括能力．
5．明确零向量的意义与作用，不过分纠缠于细节
本课的教学中，大多数教师都不恰当地在“零向量与任意向量平行”上狠下功夫，原因是“这是考试中的一个陷阱”．我们认为这是对零向量的意义和作用理解不到位的表现．
首先，规定“零向量与任意向量平行”是完善概念系统的需要．“平行向量”是向量间的关系定义，自然应针对全体向量而言，不能排斥零向量．因此，需要对平行向量的概念加以补充定义．由于零向量的长度为零方向任意，因此，规定“零向量与任意向量平行”也在情理之中．
因此，孤立地讨论零向量与任意向量平行没有多少意义，更不应作为考题津津乐道地考学生．本节课上，我们只明确了这一规定，没有耗费过多笔墨。否则，把注意力吸引到这里，就把简单问题复杂化了．
附：
《平面向量的概念及表示》课堂探究
思考1：在物理中，我们用什么方法表示一个竖直向下的4N的力？
思考2：在数学中，怎样把向量表示出来呢？
思考3：观察图中的正六边形ABCDEF．给图中的任意两个线段加上箭头表示向量，说说你所标注的向量之间有怎样的关系? 你是怎样研究的？
