第18章 平行四边形 习题课件 (共89张PPT) 2023—2024学年人教版数学八年级下册

(共89张PPT)
第1节　平行四边形的性质
1．平行四边形的周长为10 cm，其中一边长为3 cm，则它的邻边长为 ( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．7 cm
A层 基础练
A
2．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是 ( )
A．AO＝DO
B．CD＝AB
C．∠BAD＝∠BCD
D．AD∥BC
A
3．如图，在 ABCD中，若∠D＝3∠A，则∠A＝　 　°．　
　45　
4．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，AD＝5，则△BOC的周长为 ( )
A．11
B．12
C．13
D．14
B
5．在 ABCD中，若∠A＋∠C＝100°，则∠D的度数为 ( )
A．100° B．130° C．140° D．150°
B
6．如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝4，BC＝，则∠AOB＝　 　．　
　90 °　
7． ABCD的周长为28 cm，且AB∶BC＝2∶5，那么AB＝
　 　cm，AD＝　 　cm．
　10　
　4 　
8．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，AD＝AC＝2，则BD的长为　 　．
2
9．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，BC＝4，DE＝1，则 ABCD的周长是　 　．　
　14 　
10．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且∠ADF＝∠CBE，求证：△AFD≌△CEB．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB．
∴∠DAF＝∠BCE．
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB(ASA)．
12．(教材P44练习T2)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
证明：∵四边形ABCD
为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC．
∴∠EAO＝∠FCO．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF．
B层 提升练
13．如图，在 ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，若BM＝1，AM＝2，则CD的长为 　．
14．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为　 　．
B层 提升练
　6 　
15．如图， ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(2，0)，
(－4，0)，(0，3)，则顶点C的坐标是___________.　 　
　(－6，3)　
16．如图，在 ABCD中，分别以边BC，CD为腰作等腰三角形BCF和等腰三角形CDE，使BC＝BF，CD＝ED，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．
(2)延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：BF⊥BC．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CBG＝∠DAB．
∵△ABF≌△EDA，
∴∠AFB＝∠EAD．
∴∠GBF＝∠BAF＋∠AFB＝∠BAF＋∠EAD．
∵AF⊥AE，
∴∠EAD＋∠DAB＋∠BAF＝90°．
∴∠GBF＋∠CBG＝90°，即∠FBC＝90°．
∴BF⊥BC．
C层 拓展练
17．如图，在 ABCD中，分别以边BC，CD为腰作等腰三角形BCF和等腰三角形CDE，使BC＝BF，CD＝ED，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．
(1)求证：△ABF≌△EDA；
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，DA＝BC，∠ABC＝∠CDA．
又BC＝BF，CD＝ED，
∴AB＝ED，BF＝DA．
∵∠CBF＝∠CDE，
∴360°－∠ABC－∠CBF＝360°－∠CDA－∠CDE，
即∠ABF＝∠EDA．
∴△ABF≌△EDA(SAS)．
C层 拓展练
18．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长．
解：过A，C两点分别作AD⊥l3于点D，CE⊥l3于点E．
由题意，得AD＝3，CE＝2＋3＝5．
∵AD⊥l3，∠ABC＝90°，
∴∠DAB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°．
∴∠DAB＝∠EBC．
又∠ADB＝∠BEC＝90°，AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE(AAS)．
∴BD＝CE＝5．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝32＋52＝34．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
由勾股定理，得
AC＝＝2．
答图
第十八章 平行四边形
第2节　平行四边形的判定
A．AB∥CD，AB＝CD
B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠B＋∠DAB＝180°，AB＝CD
D．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC
1．如图，下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A层 基础练
C
2．下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．AB∥CD，∠A＝∠C
C．AD∥BC，AD＝BC
D．∠A＝∠C，∠B＝∠D
A
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
3．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝ ( )
D
4．如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝　 　cm时，四边形ABCD是平行四边形．
　8 　
5．如图，在△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△EDF的周长是
　 　cm．
　12 　
6．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，请从给定的四个条件：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠BAD＝∠BCD；④BO＝DO中选择两个，使得构成的四边形可判定为平行四边形．你的选择是　 　．(填序号)
　②③或②④　
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠CAD＝∠ACB，OA＝OC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)．
∴OD＝OB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
8．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，求△BDC的面积．
解：∵E，F分别是AB，AD的中点，EF＝2，
∴BD＝2EF＝4．
∵BD2＋CD2＝42＋32＝52，BC2＝52，
∴BD2＋CD2＝BC2．
∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°．
∴S△BDC＝BD·CD＝×4×3＝6．
9．如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．
∴∠ADE＝∠CBF＝60°．
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB是等边三角形．
∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠BCF＝60°．
∴∠EAF＝∠FCE＝120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
10．如图，已知四边形ABCD中，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C，A，AD＝CB．
(1)求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)在Rt△ACD和Rt△CAB中，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB(HL)．
(2)∵△ACD≌△CAB，
∴CD＝AB．
又AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
11．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠BAC＝∠DCA．
又AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，
∴∠EAC＝∠BAC，∠ACF＝∠DCA．
∴∠EAC＝∠ACF．
∴AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为　 　．　
B层 提升练
　2 　
13．如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，DC的中点，求证：EF＝BC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
又E，F分别是边AB，DC的中点，
∴BE＝AB，CF＝CD．
∴BE＝CF．
∴四边形BCFE是平行四边形．
∴EF＝BC．
14．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE＝CF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO．
又∠AOE＝∠COF，AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴AO＝CO．
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)．
∴AB＝CD．
∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足CF＝2AF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？
解：当点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形．
理由如下：∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
∵G为线段BF的中点，
∴DG是△BCF的中位线．
∴DG∥CF，DG＝CF．
∵CF＝2AF，
∴DG＝AF．
∴四边形AFDG为平行四边形．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB．
∵AF＝AB，
∴DE＝AF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
17． 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
E，F分别是OA，OC的中点．求证：BE∥DF．
证明：连接BF，DE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC．
∴OE＝OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴BE∥DF．
答图
18．如图，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM，BD互相平分并交于点O．求证：四边形AMCD是平行四边形．
证明：连接DM．
∵AM，BD互相平分，
∴四边形ABMD是平行四边形．
∴AD＝BM，AD∥BM．
∵M是边BC的中点，
∴BM＝CM．
∴AD＝CM．
又AD∥CM，
∴四边形AMCD是平行四边形．
答图
C层 拓展练
19．如图，在四边形ABCD中，CD＝，∠C＝30°，M为AD的中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP，取AP的中点N，连接MN，则线段MN的最小值为
　．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm．点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3 cm的速度从点D出发，沿DC，CB向点B运动，两个点同时出发，在运动多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
解：设运动时间为t秒．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝8 cm，BC＝AD＝12 cm．
当点Q在BC上，且PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则
12－t＝12＋8－3t，
解得t＝4．
∴运动4秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
21．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD，CE相交于点O．求证：OB＝2OD．
证明：分别取OB，OC的中点F，G，连接DE，EF，FG，GD．
∴FG∥BC，FG＝BC．
又D，E分别是AC，AB的中点，
∴ED∥BC，ED＝BC．
∴ED∥FG，ED＝FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
∴OF＝OD．
又OF＝OB，
∴OB＝2OD．
答图
22．如图，在 ABCD中，连接BD，点E，F在线段BD上，连接AE，EC，CF，FA．
(1)请你添加一个条件：　 　，使四边形AECF是平行四边形；(只填一个)
　BE＝DF(答案不唯一 )　
(2)根据已知及(1)中你所添加的条件，求证：四边形AECF是平行四边形．
(2)证明：如图，连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO．
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO．
∴四边形AECF是平行四边形．
答图
第十八章 平行四边形
第3节　矩形的性质和判定
A．4
B．4
C．2
D．2
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，∠AOD＝120°，则AB的长为 ( )
A层 基础练
D
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是 ( )
C
3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E，F分别是OD，OC的中点．若AC＝10，BC＝6，则EF的长为
　 　．
　4 　
4．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，若AF＝3，则GH的长为　 　．
　3　
5．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠AEB．
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B．
在△ABE和△DFA中，
∴△ABE≌△DFA(AAS)．
∴DF＝AB．
(2)解：∵∠FDC＝30°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝60°．
∴∠DAF＝30°．
由(1)得，△ABE≌△DFA．
∴DF＝AB＝4．
∴AD＝2DF＝8．
6．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且BE＝DF，连接BF．求证：四边形BFDE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴四边形BFDE是矩形．
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，CE＝BE．
(1)求证：四边形DCFE为平行四边形；
(2)求证：四边形DCFE为矩形．
证明：(1)∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC．
∴四边形DCFE为平行四边形．
(2)∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DF＝AB＝BE．
又CE＝BE，
∴CE＝DF．
∴平行四边形DCFE为矩形．
B层 提升练
8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB＝1，AC＝2，则矩形AEFC的面积为
　．
9．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD的度数为 ( )
A．15°
B．30°
C．22.5°
D．45°
B
10．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠CAE＝15°．
(1)求证：△AOB为等边三角形；
(2)∠BOE的度数为　 　．
　75°　
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC与BD相等且互相平分．
∴OA＝OB．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°．
∴∠BAO＝∠BAE＋∠CAE＝60°．
∴△AOB为等边三角形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点．若AC＝CD，求证：四边形AMCN是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵M，N分别是AD和BC的中点，
∴AM＝AD，CN＝BC．
∴AM＝CN．
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴CM⊥AD．∴∠AMC＝90°．
∴平行四边形AMCN是矩形．
C层 拓展练
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝2AB＝8，P是BC上一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，
若m＝PE＋PF，则m的值为 　．(提示：连接OP)
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是 ABCD外一点，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
证明：连接EO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC，BD的中点．
∴在Rt△EBD中，EO＝BD，
在Rt△AEC中，EO＝AC．
∴AC＝BD．
∴ ABCD是矩形．
答图
第十八章 平行四边形
第4节　菱形的性质和判定
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝ ( )
A．70° B．40°
C．75° D．30°
A层 基础练
A
2．如图，菱形ABCD的周长为36，且∠B＝60°，AC的长为　 　．
　9 　
3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，且DE＝BF．求证：EC＝FC．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠D＝∠B，CD＝CB．
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF(SAS)．
∴EC＝FC．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为边AD的中点，OE＝5，OB＝8，求菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∴OD＝8，BD＝2OD＝16．
∵E为AD的中点，
∴OE＝AD．
∴ AD＝2OE＝10．
在Rt△OAD中，
OA＝＝6．
∴AC＝2OA＝12．
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×12×16＝96．
5．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，且BD⊥BC．求证：四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC．
∵BD⊥BC，
∴BD⊥AD．
∴∠ADB＝90°．
∵E是AB的中点，
∴DE＝AB＝BE．
同理可得BF＝CD＝DF．
∴DE＝BE＝BF＝DF．
∴四边形BEDF是菱形．
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
又AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
又EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是 ( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
B层 提升练
C
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为　 　．
　60° 　
9．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3，4)，点B的坐标是(3，－4)，要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是 ( )
A．(－3，0) B．(3，0)
C．(6，0) D．(5，0)
C
10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为　 　．　
　24 　
11．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F．
(2)当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(2)OE＋OF的值不发生变化，理由如下：
如图，连接AO，
则S△ABD＝S△ABO＋S△ADO，
即BD·AG＝AB·OE＋AD·OF．
∴BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
即16×6＝10·OE＋10·OF，
解得OE＋OF＝9.6，是定值．
∴当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值不变．
答图
C层 拓展练
12．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F．
(1)求对角线AC的长；
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，边长为10，对角线BD＝16，
∴AB＝10，AG＝CG，
AC⊥BD，BG＝BD＝8．
由勾股定理，得AG＝＝6．
∴AC＝2AG＝12．
13．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(1)证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠CFE，∠DAE＝∠FCE．
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE．
在△ADE与△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
13．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
(2)连接AF，CD，如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？证明你的结论．
(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF．
又AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC．
∵AC⊥BC，
∴AC⊥DF．
∴四边形ADCF是菱形．
第十八章 平行四边形
第5节　正方形的性质和判定
1．下列说法不正确的是 ( )
A．矩形的对角线相等且互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．正方形的对角线相等且互相平分
D．平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
A层 基础练
D
A．②③
B．②④
C．①②
D．①③
2．下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是
( )
A
3．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边的长为8，则点A的坐标为 ( )
A．(8，0)
B．(4，0)
C．(4，0)
D．(8，0)
C
4．满足下列条件的四边形是正方形的有 ( )
①对角线互相垂直且相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的矩形；
③对角线相等的菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形．
A．①③④ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
D
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，
将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点
F处．若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是 ( )
A．3 B．6
C．4 D．5
B
6．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
　8 　
7．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处；将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是　 　．
　 30° 　
8．既是矩形又是菱形的四边形是　 　．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件
　 　，使矩形ABCD是正方形．
　 AB＝AD(答案不唯一) 　
　正方形　
10．如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于点F，连接AF．求证：BF＝EC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，FE⊥AC，
∴∠ACB＝45°，∠AEF＝∠CEF＝∠B＝90°．
∴∠EFC＝∠ACB＝45°．
∴EF＝EC．
在Rt△AFE和Rt△AFB中，
∴Rt△AFE≌Rt△AFB(HL)．
∴BF＝EF．
∴BF＝EC．
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，点A到EF的距离AG的长始终保持与AB的长相等，求证：∠EAF＝45°．
证明：由题意，可知AB＝AG，∠BAD＝∠B＝90°．
∵AG⊥EF，
∴∠AGE＝90°．
又AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．
∴∠BAE＝∠GAE．
同理Rt△ADF≌Rt△AGF(HL)．
∴∠DAF＝∠GAF．
∴∠EAF＝∠GAE＋∠GAF＝∠BAG＋∠DAG＝∠BAD＝45°．
12．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°．
∴∠BEC＝90°，BE＝CE．
∴四边形BECF是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；
④．
其中正确的有 ( )
B层 提升练
B
14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)．
(1)求CE的长；
(2)写出点E的坐标．
解：(1)∵四边形AOCD为矩形，D(10，8)，
∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8．
由折叠可得AF＝AD＝10，DE＝EF．
在Rt△AOF中，OF＝＝6．
∴FC＝10－6＝4．
设CE＝x，则DE＝EF＝8－x．
在Rt△CEF中，EF2＝EC2＋FC2，
即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3．
即CE的长为3．
(2)∵OC＝10，CE＝3，
∴点E的坐标为(10，3)．
15．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AD，DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．
(1)求证：△ABE≌△DAF；
(2)求证：BE⊥AF；
(3)如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，H为BF的中点，连接GH．求GH的长．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝DA．
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)．
(2)证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE＋∠BEA＝90°，∴∠DAF＋∠BEA＝90°．
∴∠AGE＝90°．
∴BE⊥AF．
(3)解：∵BE⊥AF，H为BF的中点，
∴GH＝BF．
∵△ABE≌△DAF，
∴DF＝AE＝2．
在Rt△BCF中，
BC＝5，CF＝CD－DF＝5－2＝3．
根据勾股定理，得BF＝．
∴GH＝
16．如图，在Rt△ABC中，E是两锐角的平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．
证明：过点E作EM⊥AB于点M．
∵ED⊥BC，EF⊥AC，∠C是直角，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°．
∴四边形CDEF是矩形．
∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴EF＝EM，EM＝ED．
∴EF＝ED．
∴四边形CDEF是正方形．
答图
C层 拓展练
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接CE，DF，G，H分别是CE，DF的中点，连接GH，则GH的长为 　．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点(点P不与点D，C重合)，将纸片沿AP折叠，点D落在点D'处，则CD'的最小值为　 　．
　8 　
19．如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．
(1)求证：2EF＝CD；
(2)当EF与BC满足什么关系时，四边形ABCD是正方形？并证明你的结论．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF＝FD．
又E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴2EF＝CD．
(2)解：当EF⊥BC，且BC＝2EF时，四边形ABCD是正方形．证明如下：
∵EF⊥BC，E是BC的中点，
∴EF垂直平分BC．
∴FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴FB＝FD，FA＝FC．
∴FB＝FC＝FD＝FA．
∴四边形ABCD是矩形．
∵BC＝2EF，CD＝2EF，
∴BC＝CD．
∴四边形ABCD是正方形．