沪科版2023-2024学年下学期八年级数学段考试卷 (含解析)

2023-2024学年沪科版下学期八年级数学段考试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，是边上的高，若，则（　　）

A．2 B．2.4 C．3 D．
5．已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程的根是( )
A． B． C． D．
7．2020年底，中国已建成全球规模最大的5G网络，有超过2亿5G用户，到2022年底5G个人用户普及率将比2020年底增长40%．设每年的平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，对角线、交于点O．若，，，．则化简：的结果为（　　）

A． B． C． D．
9．如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角时，已知，则剪下来图形的周长为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，正方形的边上取一点E，以为边作正方形，当点A、B、G三点共线时，若，则面积等于（ ）

A．0.5 B．0.75 C．1 D．1.5
二、填空题
11．方程的根是 ．
12．任意五边形的内角和与外角和的差为 度．
13．当时，代数式的值是 ．
14．如图1，将一张等腰三角形纸片沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片．小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了．若，则 ，矩形的面积为

三、解答题
15．计算：
(1)．
(2)．
16．解方程：
(1) ；
(2)．
17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，正方形的顶点称为格点．

(1)以格点为顶点画，使得，，；
(2)求的面积和点到的距离；
18．如图，在矩形中，将沿着折叠至的位置，点在对角线上，若，，求线段的长．

19．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，．与相交于点E．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求矩形的面积．
20．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实根分别为x1，x2，当x12+x22＝12时，求m的值．
21．如图，为的中线，点为的中点，．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
22．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，“天上王母蟠桃，人间合川枇杷”．五月正是枇杷大量上市时，某超市以相同的进价购进两批枇杷，第一批400千克，以每千克20元出售；第二批300千克，以每千克16元出售，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元．
(1)求枇杷的进价是每千克多少元？
(2)枇杷很受欢迎，该超市以比前两次每千克少2元的进价购进第三批枇杷600千克，计划两天售完，第一天将枇杷涨价到每千克20元出售，结果仅售出200千克，第二天超市决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价的基础上每降2元，第二天的销量在第一天的基础上增加20千克，到了晚上关店时还剩部分枇杷没售完，超市老板便把剩余枇杷免费分享给员工，第三批枇杷的利润恰好为4040元，求第二天枇杷的售价为每千克多少元？
23．如图，在正方形中，，垂足为．

(1)求证：；
(2)如图，平移线段，使，连接．
①求证：；
②如图，连接，当、、三点共线时，则______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意；
B、是分式方程，故不合题意；
C、是二元一次方程，故不合题意；
D、整理后为，是一元一次方程，故不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．D
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可得解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵式子有意义，
∴
解得：
故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．
3．D
【分析】数形结合，依题意画出图形，可通过选项所给条件证三角形全等，再根据平行四边形的判定定理判断即可.
【详解】解：如图所示，
A.四边形ABCD是平行四边形
又
（SAS）
四边形BEDF是平行四边形，
故A选项正确．
B．四边形ABCD是平行四边形
又
（ASA）
四边形BEDF是平行四边形，
故B选项正确.
C. 四边形ABCD是平行四边形
（AAS）
,
四边形BEDF是平行四边形，
故C选项正确.
D. 四边形ABCD是平行四边形
再加上并不能证明三角形全等，也不能通过平行四边形的判定定理直接证明，故D选项错误.
故答案为D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，灵活运用选项所给条件，结合平行四边形的性质证三角形全等是解题的关键．.
4．B
【分析】根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键．
5．A
【分析】根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
6．D
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】方程移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．D
【分析】根据题意，设每年的平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设每年的平均增长率为x，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8．C
【分析】根据平行四边形的性质可得出，，根据三角形的三边关系得m和n的取值范围，再利用二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：在中，对角线、交于点O，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴化简：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，二次根式的性质与化简，三角形三边关系的运用，解决本题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
9．D
【分析】根据折叠的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质计算即可．
【详解】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，
∵，
∴剪下的图形一个角为，有一个角为的菱形为正方形，
∵，根据勾股定理得，
故剪下来的图形的周长为，
故选D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
10．B
【分析】作交的延长线于点，由正方形的性质得，，，则，，，，可证明，得，再证明，得，设，可列方程，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：作交的延长线于点，则，

四边形和四边形都是正方形，
，，，
，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，，
，，
，
，
解得，
，
，
故选：B．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．，
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
12．180
【详解】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）·180°求出五边形的内角和，然后与外角和求差即可.
详解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，外角和为360°
所以内角和与外角和的差为：540°-360°=180°.
故答案为180.
点睛：此题主要考查了多边形的内角和和外角和，明确多边形的内角和公式（n-2）·180°和外角和为360°是解题关键.
13．
【分析】变形已知，先求出的值，利用完全平方公式得，进行计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式及完全平方公式，掌握乘法的完全平方公式是解决本题的关键．乘法的完全平方公式：．
14． /
【分析】设虚线交于点，根据题意可知为等腰三角形的高，且//，由设，由图2可知，，可得，在结合勾股定理解得，即可解得的值；由解得，再结合由图2与图3可知，，据此解出，最后由，代入的值计算即可．
【详解】解：设虚线交于点，

根据题意可得为等腰三角形的高，且//
设
由图2可知，
，
，
，
；
设
由题意知
，
如图，

由图2与图3可知
解得
当时，
故答案为：；．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线分线段成比例性质、勾股定理、矩形性质、平行四边形面积等知识，涉及方程思想，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．(1)10﹣4
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式展开，然后计算加减即可；
（2）先计算平方差公式及化简绝对值，然后计算加减即可．
【详解】（1）解：原式＝8﹣4+1+2﹣1
＝10﹣4．
（2）原式＝3﹣2+﹣1
＝．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴x-3=0或x-1=0，
∴，．
（2）解：∵，
∴a=2，b=-4，c=1，
∴ =16-8=8>0，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
17．(1)见解析；
(2)面积是，距离是．
【分析】（1）根据勾股定理作图；
（2）根据割补法求出的面积，再利用面积求出边上的高，即为点到的距离．
【详解】（1）如图所示，为所求图形；

（2）的面积为：，
设边上的高为，则：，
解得：，
所以的面积是，点到的距离是．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，勾股定理，三角形的面积，点到直线的距离，掌握勾股定理及割补法求面积是解题的关键．
18．
【分析】首先根据矩形的性质及折叠的性质得由折叠的性质的：，，，进而可在中由勾股定理求出，再设，则，，据此可在中利用勾股定理构造关于的方程，最后解方程求出即可．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
令，则，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的折叠变换，灵活运用勾股定理构造方程求解．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形为平行四边形，由矩形的性质可得，可得结论；
（2）由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，由含30度直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求矩形的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，证得四边形是菱形是解此题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）m＝2或m＝﹣2．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝m2+16，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣4，利用完全平方公式和整体代入的方法得m2﹣2×（﹣4）＝12，然后解关于m的方程即可．
【详解】（1）证明：△＝m2﹣4×（﹣4）＝m2+16＞0，
所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣4，
∵x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，
即m2﹣2×（﹣4）＝12，
∴m＝2或m＝﹣2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记根与系数关系是解题的关键。
21．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据已知条件证明，得出，进而可得，即可得证；
（2）勾股定理求得，进而可得四边形的面积等于的面积，即可求解．
【详解】（1）解： 为的中点，，
，
，
，
，
为的中线，
，
，
四边形为平行四边形：
（2），为的中线，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)枇杷的进价是每千克8元
(2)第二天枇杷的售价为每千克14元
【分析】（1）设枇杷的进价是每千克x元，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元，列出方程，解方程即可；
（2）设第二天枇杷降价y元，根据第三批枇杷的利润恰好为4040元列出方程，解方程，求出x的值，然后再求出第二天枇杷的售价即可．
【详解】（1）解：设枇杷的进价是每千克x元，根据题意得：
，
解得：，
答：枇杷的进价是每千克8元；
（2）解：设第二天枇杷降价y元，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（元），
答：第二天枇杷的售价为每千克14元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）如图1，过点作于点，证明，进而结论可知；
（2）①如图2，延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
②如图3，证明，是等腰直角三角形，，则，设，则，，由勾股定理得，解得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点作于，则四边形是矩形，

∵正方形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，

∵正方形，，
∴，，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是斜边上的中线，
∴；
②解：如图3，连接，过作于，于，于，则四边形是矩形，四边形是矩形，

∵、、三点共线，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，即，
同理（1）可知，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（2）①可知，，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由勾股定理得，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键．
答案第1页，共2页
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