2023-2024学年度(下)沈阳市五校协作体期中考试
高一 数学
考试时间：120分钟
分数：150分
试卷说明：本试卷共二部分:第一部分：选择题型（1－11题 58分）
第二部分：非选择题型（12－19题 92分）
第Ⅰ卷(选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题的，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. ，则是（ ）
第一或第二象限角 第二或第四象限角
第一或第三象限角 第二或第三象限角
对于任意非零向量，，，若，在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是( )
∥ ∥
⊥ ⊥
3.2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案。出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝，玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美。现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，，，若，，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
(
1
)
(
图1
)
4.已知向量，，若，则（ ）
5.函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）
6.若，则（ ）
或 或
7.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
8.已知，，，则下列不等式成立的是（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.四边形内接于圆，，，，下列结论正确的有（ ）
四边形为梯形 四边形 的面积为
圆的直径为 的三边长度满足
10.下列命题正确的是（ ）
向量在向量上的投影为，则.
已知，若与的夹角不为锐角，则t的取值范围为.
点在所在的平面内，且满足，则点是的垂心.
在平面直角坐标系中，，，而且三点不共线，则.
11.已知函数，则（ ）
在区间单调递增.
的图象关于直线 对称.
的值域为 .
关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为.
第Ⅱ卷(选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，，则
13.设是单位向量，且，则的范围为
14.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
在中，已知，，.
(1)求的大小；
(2)若，求函数在上的单调递增区间.
16.（15分）
已知向量，.
若∥，求.
若，函数 ；
（ⅰ）求的值域.
（ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.
17.（15分）
如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方.经测量得知AD=6米，AE=6米，AP=2米，.记（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据）
（2）求的最小值.
(
2
)高一数学试卷第6页共7页
18.（17分）
在锐角中，内角的对边分别为，的面积为，且
， .
（1）求的面积最大值.
（2）求的取值范围.
19.（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.2023-2024学年度(下)沈阳市五校协作体期中考试
高一 数学参考答案
单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C B A A B D
多选题
9 10 11
ABD ACD BCD
填空题
13. 14.
解答题
（13分）
解：（1） 在中，由正弦定理可得：
，即……………………………………2分
解得，又，故或.……………………5分
（2）由，可得，故，…………6分
………………8分
令，
解得……………………………………10分
由于，取，得；
取， 得；
取， 得；
故在上的单调递增区间为.……13分
（15分）
解：
(1)向量，.∥
…………………………2分
即
，……………………………………4分
，，…………5分
…………………………6分
设，………………7分
（ⅰ）设…………………………………………8分
由二次函数性质可得：，………………………………9分
……………………………………10分
故的值域为 ………………………………………………11分
（ⅱ）当取最小值时，即，此时，……12分
设，，…………………………………………13分
解得或 ……………………15分
(15分)
在中，，米，，，由正弦定理得，
所以，………2分
同理，在中，由正弦定理得，
所以，………………4分
所以的面积
………………6分
………………8分
当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，
所以.
综上可得,. ---------------------10分
方法二在PME中，，PE=AE — AP=4米，，，由正弦定理可知，
所以，…………2分
在中，由正弦定理可知：
所以………………4分
所以.……………………6分
又点到的距离为……………………7分
所以的面积
…………8分
当M与E重合时，；当N与D重合时，,即，，
所以.
综上可得,. ---------------------10分
⑵当即时，………………………………12分
取得最小值为.---------14分
所以可视区域PMN面积的最小值为平方米. ---------------------15分
（17分）
解：【答案】（1） （2）
【详解】，………2分
，，
，……………………………………………………4分
（1）由余弦定理得，即，
所以，………………………………………………6分
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，解得，…………………………………………8分
；……………………………………9分
当且仅当时，最大值为.……………………………………10分
（2）由正弦定理得………………11分
所以，…………………………………………………………12分
，………………………………………………14分
因为为锐角三角形，所以，，
解得，…………………………………………………………15分
则，，
；………………………………17分
19.（17分）
【答案】（1） （2） （3）
【小问1详解】
由已知中，即，………………………………2分
故，由正弦定理可得.
故直角三角形，即.…………………………………………4分
【小问2详解】
由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，………………5分
设，
由得：…………………………………………6分
，
整理得，……………………………………………………8分
则
.………………9分
【小问3详解】
点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，………………10分
，……………………………………11分
，…………………………12分
故由得，
即，………………………………………………………………14分
而，故，…………………………15分
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.…………………………………………………………17分
